基于子空間類法的陣列誤差有源校正方法

(電子科技大學電子工程學院,四川成都611731)

0 引言

對陣列誤差的低魯棒性,一直以來都是高分辨空間譜估計技術走向實用化的一個瓶頸[1],所以準確估計陣列誤差、提高測角精度是國內外學者研究的熱點[2-5]?，F有的陣列校正方法通?？梢苑譃樽孕Ｕ怺6]和有源校正類[7]。自校正類方法通常根據某種優化函數對空間信源的方位與陣列的擾動參數進行聯合估計,陣列自校正可以不需要方位已知的輔助信源,而且可以在實際方位估計時在線完成。但是,信源方位和陣列誤差參數之間往往相互耦合,使得自校正中參數估計的可辨識性很難得到保證[8]。有源校正通過在空間設置方位精確已知的輔助信源來對陣列擾動參數進行離線估計,本文主要討論有源校正方法。

現有的有源校正算法很多,但是針對同時存在多種陣列誤差的校正算法還比較少。文獻[6]利用信號子空間和噪聲子空間的正交性,提出了同時對通道幅度相位參數、陣元間互耦參數和入射角參數進行估計的自校正方法,但該方法需要對通道幅度相位參數、陣元間互耦參數的初值進行精確的估計。文獻[9]提出了一種針對均勻線陣中互耦誤差、陣元幅相誤差、位置誤差和多普勒頻率估計方法,但實際中目標方位信息未知,所以存在目標方位和陣列誤差參數之間的耦合,使得校正中參數估計的可辨識性降低。

本文提出了一種同時估計陣列位置參數、陣元幅相參數及陣元互耦參數的方法。該方法采用單個校正源,通過旋轉陣列天線得到多個校正方位的樣本數據,從而達到多個信源獨立分時校正的效果;利用特征分解,得到信源導向矢量的估計值,根據信號空間和噪聲空間的正交性得到代價函數,循環迭代估計出陣列位置參數、陣元幅相參數及陣元互耦參數。利用本文所提算法可以對同時校正多種陣列誤差,通過計算機模擬仿真和實際陣列天線的校正實驗均驗證了該算法的性能。

1 信號模型及處理

M個陣元的均勻線陣,陣元間距d為半波長,在陣元遠場中,信號源在以線陣法線為參考的θ處。以第一個陣元為參考陣元,假設理想的陣元位置為((i-1)d,0)(i=1,2,…,M)。接收到的快拍數據可以表示為

式中,S(t)為發射信號復包絡;N(t)為M×1陣列 噪 聲 矢 量;a0(θ)=[1,…,ex p(-iφ0m),…,exp(-iφ0M)](m=1,…,M)為陣列接收導向矢量,其中;K為快拍數。

陣列的協方差矩陣R定義為

式中,Rs=E[S(t)SH(t)]為信號源的協方差矩陣,I為單位矩陣,σ2為噪聲功率。

考慮陣列誤差時,接收到的快拍數據可以表示為

式中,互耦矩陣C為M×M維由陣元間互耦引入的誤差矩陣,均勻線陣的互耦矩陣是Toeplitz陣;G=diag[1,g2exp(iφ2),…,g Mexp(iφM)]為陣元的 幅 相 誤 差;a(θ)=[1,…,exp(-iφm),…,ex p(-iφM)]T,其中,[d1,d2,…,d M]為陣元的實際位置,且滿足d i=(i-1)d+Δd i,Δd i為第i個陣元的位置擾動。

則陣列的協方差矩陣為

2 參數估計算法

對R進行特征分解得到：

式中,λ1為最大特征值。由子空間原理可知,歸一化信號源導向矢量的估計值,其中e1為R的最大特征值對應的特征矢量,e11為e的第一個元素。定義E M=[e2,e3,…,e M],其各列張成噪聲子空間,且與陣列流型張成的空間正交。

由信號空間和噪聲空間的正交性,可以構造代價函數為Q=arH(θ)E M(E M)Har(θ),當ar(θ)為真實的陣列導向矢量(或者ar(θ)很接近真實導向矢量)時,代價函數Q取得最小值?；跁r空矩陣特征分解的基本原理,采用迭代算法估計陣列誤差參數。算法具體原理和步驟如下：

① 令循環次數r=0,給定C的初始值C0(一般取為單位矩陣I)。

② 天線陣列處在可精密旋轉的轉臺上,轉動線陣天線陣列,使天線連續轉動J個角度θj(j=1,…,J)(利用多次的數據可更準確地估計陣列誤差參數,尤其是在求陣列位置誤差參數時可利用最小二乘估計),獲得每個角度的樣本數據,根據式(4)計算協方差矩陣R j,并將R j進行特征分解估計

將R j(j=1,…,J)分別進行特征分解得到最大特征值對應的歸一化特征矢量構成areal(θj)。a m_real(θj)為areal(θj)的第m個元素,由式(4)可得

顯然,各陣元的幅度因子[9]為

將式(7)兩邊取相位,由于函數exp(·)的周期性,存在相位模糊問題,則

記p(θj)=[arg(a1_real(θj)),…,arg(a M_real(θj))]T,c(θj)=[c1(θj),c2(θj),…,c M(θj)]T,φ =[φ1,φ2,…,φM]T,d=[d1,d2,…,d M]T,則由式(9)得

由式(10)可得

式中,c′(θj)=[c′1(θj),…,c′M(θj)]T=c(θj+1)-c(θj)亦為整數組成的列向量,記

在陣元位置誤差不太大時,對于均勻線陣,d1,d2,…,d M近似為線性變化,選取合適的c′(θj),使Δp′m(θj)滿足近似線性變化。c′m(θj)的選取采用如下方法：

由于第一個陣元為參考陣元,p1(θj)=arg(a1_real(θj))=0,φ1=0,由式(9)可推知c′1(θj)=0。

對m＞2,c′m(θj)=-round[(m=3,4,…,M;j=1,2,…,J-1),round[x]等于最接近x的整數。

由式(12)可得

記為Y=B·X,其中Y=[Δp′(θ1),…,Δp′(θJ-1)],,X=[sinθ2-sinθ1,…,sinθJ-sinθJ-1]。

上式中Δp′(θj)是測量值,θj是已知值,則可以解出d。當J=3時,式(13)有唯一解,當J＞3時,式(13)為超定方程,其最小二乘解為B=YXT(XXT)-1。

陣元位置由下式估計：

將上式代回到式(10),則可由θj方向的數據估計出陣元的相位：

由式(15)可知,相位模糊不影響陣列天線相位φ的校正,即可寫為

最后用J個φj的平均值來估計相位φ,即

④ 由信號空間和噪聲空間的正交性,構造代價函數：

根據文獻[5],若C為Toeplitz陣,式(18)可以寫為

式中,c=C1k(k=1,2,…,L),L為C的第一行非零元素個數;M×L維矩陣T j=T1j+T2j,

如果限制c的第一個元素為1,即對c加上一個約束條件cHw=1(w=[1,0,0,…,0]T),采用拉格朗日乘子法在cHw=1的條件下使代價函數Q j取得最小值,可得到c的估計式：

式中,F j=THj E jM(E jM)HT j為L×L維矩陣。為提高精度,可由J次估計的的均值作為最后估計的,再由得到C r+1。

⑤ 計算總的代價函數為

當|Q r-Q r+1|＞ε(事先設定的門限),令r=r+1,轉到③繼續循環,否則循環結束。

3 仿真驗證

為了驗證上述方法的正確性,進行了相應的算法仿真,仿真條件：采用8陣元均勻線陣,d=[0,1.20,1.90,3.20,4.23,4.69,5.88,7.11],g=[1,1.3,0.7,1.1,1.2,0.8,1.2,0.7],φ=[0°,80.21°,-34.38°,5.73°,-51.57°,36.67°,8.02°,-22.92°],c=[1.000 0,-0.127 4-0.357 7i,0.3521+0.4001i],天線陣列轉動角度分別為20°,40°,60°,80°,ε=1×10-9,信噪比SNR=20 dB。

圖1給出了仿真校正的代價函數隨循環次數變化曲線,由圖可見,本方法是收斂的,代價函數隨著循環次數的增加而逐漸減小,在循環開始時收斂速度較快,循環30次以后逐漸變慢,最后收斂到穩定值。表1、表2為計算機仿真校正結果,從表1、表2可以看出,本文所提算法可以很好地校正陣列誤差,包括陣元幅相誤差、陣列位置誤差和陣元互耦誤差。校正得到的估計值與陣列誤差參數的真實值基本吻合。]

圖1 仿真校正代價函數隨迭代次數的變化曲線

表1 陣元位置、幅相誤差的計算機仿真校正結果

表2 互耦系數的計算機仿真校正結果

4 實驗驗證

實際陣列天線處于可精密旋轉的轉臺上,為8陣元均勻線陣,陣元間距為0.028 3 m(標稱值),在天線陣列200 m以外有一信源發射C波段正弦波信號,天線陣列轉動角度分別為-30°,0°,30°,ε=1×10-9信噪比約為30 dB。

圖2給出了實際天線陣列校正的代價函數隨循環次數變化曲線,由圖可見,跟仿真實驗結果一致,該校正方法是收斂的,代價函數隨著循環次數的增加而逐漸減小,在循環開始時收斂速度較快,循環4次以后逐漸變慢,最后收斂到穩定值。由于影響實際天線陣列校正的因素較多,例如天氣、地面環境等,所以代價函數最后收斂的穩定值比仿真校正時的穩定值大。

圖2 實驗校正代價函數隨迭代次數的變化曲線

表3、表4為實際天線陣列各陣列誤差參數的校正結果,把校正得到的誤差參數補償到陣列接收數據中,再進行MUSIC譜估計,就可以消除陣列誤差對MUSIC譜估計的影響了。

表3 實際天線陣列互耦系數校正結果

表4 實際天線陣列陣元位置、幅相誤差校正結果

圖3是實際天線陣列誤差校正前后MUSIC譜估計的對比關系圖。從圖中可以看出,存在陣列誤差的情況下,MUSIC算法的旁瓣電平很高,而且峰值嚴重偏離了真實的來波方向。采用本文所提的迭代方法對陣列誤差進行校正,再進行MUSIC處理,從圖中可以看出,陣列誤差校正后的譜峰已經相當尖銳,旁瓣電平比未校正時低了很多,而且峰值出現的位置基本與來波方向一致。

5 結束語

本文基于時空矩陣特征分解的基本原理,提出了采用迭代算法同時估計陣列位置參數、陣元幅相參數及陣元互耦參數的方法?？紤]了各種誤差同時存在的情況,更符合實際應用背景。仿真和實測數據驗證了本文所提方法收斂性能好。由仿真數據校正得到的陣列誤差參數的估計值與真實值基本吻合,說明該方法誤差參數校正的精度高。并對比了實測數據陣列誤差校正前后的MUSIC譜,陣列誤差校正后的MUSIC譜峰更尖銳,旁瓣更低,DOA估計精度大大提高。所以該方法的實用性很高,可用于實際系統陣列誤差的校正。

圖3 陣列誤差校正前后的MUSIC譜對比

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