一種適用于任意陣列的極化和二維DOA聯合估計算法

鄭均杰，劉國峰，王曉東

（92785部隊，河北秦皇島066200）

極化敏感陣列不僅能夠獲取信號的空間到達角信息，而且可以獲取信號本身所具有的極化信息。因此，相比于標量傳感陣列，極化敏感陣列有許多獨特的性能優勢[1-2]。比如說較強的抗干擾能力、穩健的檢測性能、極化多址和較高的系統分辨率等。鑒于極化敏感陣列的優勢，極化敏感陣列信號處理成為了陣列信號處理領域中的研究熱點。同樣，極化敏感陣列在民用和軍事上有著廣泛的應用。比如在移動通信系統中，利用極化敏感陣列可以進一步克服多徑衰落干擾和共信道干擾等。在軍事上，利用極化敏感天線陣列可以提高機載雷達抑制地雜波能力和地基雷達抗干擾能力等[2]。

有關陣列信號極化和二維DOA 參數聯合問題，國內外學者已做了一定的相關工作。比如，文獻[3-5]基于均勻網格的平面陣應用ESPRIT的方法可以估計出二維角度和極化信息。文獻[6]提出了可以適用于任意陣列結構的二維求根DOA 和極化聯合估計算法，文獻[7]基于圓柱陣列提出的迭代ESPRIT 的方法估計二維角度和極化信息等?？諘r二維處理是在進行空域處理的同時引入了對時域信息處理，充分利用了信號有用信息，可以降低對陣列結構的約束，提高抗噪能力[8-9]。本文提出了基于時空處理的極化和二維DOA聯合估計算法并進行了論證和仿真。

1 陣列結構與數據模型

對于任意幾何結構的N元陣列，第n個陣元的坐標為(pnx,pny,pnz)。選擇不在同一條直線的3 個陣元p0、p1、p2和作為導引陣元，設p0位于坐標原點，陣列結構如圖1 所示，圖中pn( 0≤n≤N-1) 表示第n個陣元的位置矢量。用ex表示x軸的單位矢量，ey表示y軸的單位矢量，ez表示z軸的單位矢量，pn與ex、ey和ez的關系為：

圖1 陣列模型Fig.1 Array model

假設有K個已知載頻為ω0，波長為λ的不相關窄帶信號源s1(t),s2(t),…,sK(t)入射到陣列，其入射角分別為 (θ1,?1),(θ2,?2),…,(θK,?K) ，極化狀態為。為了避免多值，這里0 ≤γk≤π/2；0 ≤ηk≤2π(1 ≤k≤K) 。設每個陣元的極化輻射方向圖相同。

則第n個陣元的輸出為：

式中：n=0,1,…,N-1；u為考慮信號極化狀態后的?和θ方向的極化系數矢量，且

sk(t)為第k個入射信號，sk(t)= ||Ekexp(j(ω0t+Ψk))， ||Ek為幅度，Ψk為[0,2π]內均勻分布的初始相位；rk為第k個信號的傳播矢量，且

nn(t)為加性噪聲矢量，其均值為零，且各陣元間互不相關。

2 極化和二維DOA聯合估計

2.1 時空估計矩陣構造

p0、p1、p2為已經校準陣元，令其作為導引陣元。

定義陣元p0與各陣元的相關函數為：

定義陣元p1與各陣元的相關函數為：

定義陣元p2與各陣元的相關函數為：

由式（2）可知：

[9]中的方法構造如下時空矩陣：

其中，diag{}· 表示對角矩陣，則式（5）~（7）的矩陣形式為：式（8）~（10）具有類似結構，類似于對陣列輸出做快拍采樣，對R0(τ)、R1(τ) 和R2(τ) 以時間延遲τs(τs=Ts,2Ts,…,NT,Ts需要小于2π/ω0s) 為單位進行M(M≥K)次采樣，得到2N×M維的“偽快拍矩陣”：

式（11）~（13）可以分別寫成：

式（14）～（16）中，S=[]Rs(Ts),Rs(2Ts),…,Rs(NTs) 。分別對“偽快拍矩陣”求自相關和互相關矩陣為：式（17）～（19）中，RSS為S的自相關矩陣。

參考DOA矩陣方法[9]，定義“時空估計矩陣”為：

定理1：如果A與RSS滿秩，Φ無相同的對角元素，則時空估計矩陣的K個非零特征值等于Φ中K個對角元素，而這些值對應的特征向量等于相應的信號導向矢量，即RA=AΦ。

其證明見文獻[10]。觀察和不是滿秩的。但其奇數行和偶數行分別構成等價的滿秩矩陣。因此，對時空估計矩陣進行特征分解同樣可以得到A和Φ1，對的特分解可以得到A和Φ2。

此時，

式（22）、（23）中，0N表示1×N的零矩陣。

2.2 參數配準

由于Φ1和Φ2是2 次獨立的特征分解得到的,其特征值與特征向量的排列次序是隨機的。因此，需要對2 次分解的參數進行配準[9]。將特征分解得到的A記為A1，特征分解得到的A記為A2。因為特征值與特征向量存在對應關系，所以A1與A2只是在列向量的排列次序上存在差異，即

式中，{P}· 為置換算子，由K×K維置換矩陣P實現。

P的任意一行或一列中有且只有一個元素為1，其余元素為0。由于Φ中的對角元素與A中的列向量存在固定的對應關系，因而可以將算子P作用于A2，使它的列向量與A1的列向量對齊，類似地將相同的操作作用于Φ2：

這樣，使得Φ′2與Φ1的對角元素配準，且由式（24）可得到

在得到了對齊的Φ1和Φ′2后，由式（22）、（23）有：

由于3 個導引陣元不在一條直線上，可以從上式中唯一地解出θk和?k。為了保證不出現角度的周期性模糊，3個導引陣元的間距不能超過半波長[11]。

A的偶數行和奇數行分別是信號θ和?方向的信號導向矢量，定義[12]：

這樣取任意陣元的θ和φ方向的信號導向矢量比，得到ξk，則有：

3 仿真實驗

實驗1：采用圖2的6元陣，坐標分別為p0(0,0,0)，p1(λ/4,0,0) ，p2(λ,λ,0) ，p3(0,λ/4,0) ，p4(0,λ,λ) ，p5(0,0,λ/2)。設各陣元輻射方向圖相同且為全向，令p0、p1、p3做導引陣元。

圖2 陣列結構Fig.2 Array structure

有2 個互不相關窄帶信號源入射，其極化與二維波達角參數對(θk,?k,γk,ηk)，分別為(30°,30°,45°,5°)和(70°,40°,50°,10°)，采用200次快拍和100次偽快拍，信噪比為20 dB，進行500 次獨立的Monte-Carlo 實驗。圖3和圖4分別給出了二維波達角與極化特性的估計結果。

圖3 二維波達角估計結果Fig.3 Results of 2D DOA estimation

圖4 極化特性估計結果Fig.4 Estimation results of polarization characteristics

從圖3 和圖4 可以看出，本文提出的算法可以利用較少的采樣數據正確地估計出信源的二維波達角與極化特性，其適用于任意陣列。唯一要求是3 個導引陣元間隔不能超過半個波長。

實驗2：陣列與信源設置同實驗1，采用200 次快拍和100次偽快拍，進行500次獨立實驗，圖5給出了2個信源二維波達角估計的最小均方根誤差（RMSE）隨信噪比的變化曲線，圖6 給出了信源極化特性估計的最小均方根誤差（RMSE）隨信噪比的變化曲線。

定義信源k的二維波達角估計的均方根誤差為

定義信源k的極化特性估計的均方根誤差為

由圖5和圖6可以看出，隨著SNR的增加，算法估計的均方根誤差逐漸減小，估計的精度逐漸高，說明了算法的有效性。

圖5 二維波達角估計結果的RMSE隨SNR變化曲線Fig.5 Estimate results the 2D DOA of RMSE changed with SNR

4 結束語

本文提出了基于信號時空特征結構的二維DOA和極化聯合估計算法。該算法通過陣元間的互相關函數將空域的陣列數據變換到時空域，利用時空域上的偽快拍數據矩陣構造時空估計矩陣。通過時空估計矩陣特征分解得到的特征值和特征矢量可以同時估計出信源的波達方向和極化特性，無須譜峰搜索，參數配對算法簡單，計算量較小。在滿足3 個導引陣元間距不超過半個波長條件時，該算法適用于任意陣列。仿真實驗驗證了算法的有效性。

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