雙自由度壓電振動能量采集器的力-電輸出特性分析

展永政， 王光慶

(浙江工商大學信息與電子工程學院，浙江 杭州 310018)

引 言

便攜設備和無線傳感器使用傳統電池供電，這種電池不僅供能壽命有限、需要頻繁更換[1，2]，還引起環境污染。能量采集器通過從周圍環境(如風能、熱能和振動等)獲取能量，向超低功率的微處理設備供電。振動能量采集器由于成本低和高功率等特點引起研究者的興趣。目前，振動機電轉換機制主要通過靜電、電磁和壓電三種機制來實現[3～5]，其中，壓電式振動能量采集器(Piezoelectric vibration energy harvester, 簡稱PVEH)轉換電能時不需要額外的功率，還具有易制作，簡易機電結構和高功率密度等優點。因此，壓電振動能量采集器成為微能源研究領域的熱點。

傳統壓電振動能量采集器由壓電雙晶片或壓電單晶片懸臂梁構成，它是單自由度系統(Single-degree-of-freedom，簡稱SDOF)。雖然這種壓電振動能量采集器能夠在諧振狀態下輸出高功率，但是激發條件易受環境影響，難于保證在諧振時刻輸出高功率。因此，為了提高壓電振動能量采集器的能量轉換效率，必須研究寬頻壓電采集技術，使壓電振動能量采集器在一定的頻率范圍內產生諧振或近似諧振。Liao和Sodano采用了優化參數的方法來建立數學理論模型以拓寬頻率，但是忽略了能量采集器內部阻抗與最優負載阻抗的關系，不能準確地表明輸出功率最大化的本質[6]。Challa和Wu等利用調整頻率的方法對寬頻進行了研究[7，8]，但是這種情況只能工作于頻率變化緩慢的情況下，對頻率調節器的精度要求更高，且智能型微調節器難以實現。另外，Ma引進動態放大器建立數學模型來研究寬頻壓電振動能量采集器，但忽略了能量采集器的機電耦合效應[9]。Aldraihem和Baz利用動態放大器確定了機電模型，并研究了動態放大器對輸出功率的影響，但是忽略了系統阻尼和負載電阻對系統性能的影響[10]。

本文在原有單自由度壓電振動能量采集器模型基礎上增加一個彈性放大器，形成具有雙自由度 (Two-degrees-of-freedom，簡稱TDOF)的壓電振動能量采集器(簡稱PVEH)，達到提高能量采集器的輸出功率和拓寬工作頻帶的目的。為了能夠清楚地解析雙自由度壓電能量采集器的各參數對其輸出性能的影響，指導其輸出性能的精確預測及優化設計，本文利用有限元方法，綜合考慮采集器本體結構與負載電路間、電極與壓電陶瓷間以及采集器本體結構與彈簧間的相互耦合作用，建立了帶有彈簧放大器的雙自由度高效壓電懸臂梁振動能量采集器的有限元機電模型，并利用ANSYS有限元軟件研究了系統參數(如質量比、阻尼比以及負載電阻等)對振動特性以及電輸出特性的影響。

1 TDOF壓電振動能量采集器的構造及其建模

1.1 TDOF壓電振動能量采集器的構造

圖1是TDOF壓電懸臂梁振動能量采集器的結構示意圖。

圖1 TDOF壓電懸臂梁振動能量采集器

整個能量采集器由末端帶有集中質量Mt的SDOF壓電雙晶片懸臂梁系統和一個彈簧-質量-阻尼構成的彈性放大器系統(Elastic amplifier system, 簡稱EAS) 組成。壓電懸臂梁系統由金屬基板、雙壓電晶片、末端集中質量Mt和負載電路組成。雙壓電晶片PZT1，PZT2通過環氧樹脂黏結到金屬基板的上、下表面，它們沿厚度方向極化，且極化方向相反(如圖1“↓”、“↑”所示)，并通過串聯形式連接于外加負載電阻RL(注：該電阻為能量采集器電輸出端連接的AC-DC電路、濾波電路和電阻R等電路的等效阻抗，負載電阻RL的改變反映了電輸出端的等效阻抗的變化)。彈性放大器系統是由質量、剛度和阻尼系數分別為Mb，Kb和Cb的彈簧質量阻尼系統組成。壓電雙晶片懸臂梁的左端固定在彈性放大器的質量塊Mb上，彈性放大器安裝在基礎上。y為基礎振動位移，i為流經負載電阻RL的電流?；A產生的振動，通過彈性放大器系統放大傳遞到壓電雙晶片懸臂梁系統，使得壓電雙晶片懸臂梁系統的彎曲振動位移被放大，達到提高系統輸出能力的目的。

1.2 TDOF壓電振動能量采集器的建模

TDOF壓電振動能量采集器的結構模型中壓電晶體與金屬基體滿足本構關系：

Ts=csS，

(1)

式中T為應力矢量；S為應變矢量；E為電場矢量；D為電位移矢量；cs為金屬基體的剛度矩陣；cE為恒定場下壓電晶體的剛度矩陣；e為壓電常數矩陣；εS為介電常數矩陣；下標s和p分別代表金屬材料和壓電材料。

利用Hamilton原理和拉格朗日方程推導得到TDOF壓電系統的機電耦合動力方程[11]

(2)

利用ANSYS有限元軟件建立TDOF壓電振動能量采集器的有限元模型，表1是壓電振動能量采集器的結構參數，其中壓電陶瓷PZT壓電材料特性參數如下：

剛度矩陣(×1010N/m2)

介電常數矩陣

壓電應力常數矩陣(C/m2)

表1 TDOF壓電振動能量采集器的結構參數

TDOF壓電振動能量采集器的有限元模型建立步驟如下：

(1) 通過命令流的形式建立壓電振動能量采集器的幾何模型；

(2) 對該幾何模型定義單元類型與材料屬性；

(3) 運用在體上生成體單元和體掃描的方法劃分網格，并進行機電耦合處理和約束處理，最終生成有限元模型。

圖2為TDOF壓電振動能量采集器的有限元模型。

圖2 TDOF壓電能量采集器有限元模型

在該模型中，采用8節點六面體耦合場SOLID5 單元對壓電陶瓷進行建模，采用8節點線性結構SOLID45 單元對金屬基板建模?？紤]到復合材料黏結層的影響，即壓電陶瓷和金屬基板并不是理想黏結，并且黏結層的厚度很小，僅在幾十微米到幾百微米之間，因此采用SHELL63薄膜單元對黏結層進行建模。質點單元MASS21用于TDOF系統的集中質量Mb的建模，彈性單元COMBIN14用于TDOF系統彈簧-阻尼元件的建模。采用CIRCU94壓電電路單元對負載電阻RL單元建模，以便產生電壓、電流和輸出功率。極化方向是由PZT壓電材料特性中壓電常數矩陣決定的。PZT1和PZT2極化方向的不同主要通過改變PZT陶瓷的壓電常數d31，d33和d15的符號實現的，由于PZT1和PZT2是串聯連接的，因此PZT2的壓電常數d31，d33和d15與PZT1的壓電常數d31，d33和d15的符號相反。將圖2所示有限元模型中壓電電極的各個面進行節點耦合，耦合點設置為電壓自由度；與金屬基板相黏結的兩個壓電電極耦合成一個參考點，其參考電勢設為0，即參考地；上層壓電片電極的節點電壓自由度耦合為通用節點“1”，下層壓電片電極的節點電壓自由度耦合為通用節點“2”，節點“1”與節點“2”之間連接負載電阻RL。

2 數值仿真分析

Meq=βMρAL+Mt

(3)

(4)

式中 系數βM和βK可由Rayleigh-Ritz方法推導得到；ρ，E，I，A和L分別為壓電懸臂梁的等效密度、等效彈性模量、等效轉動慣量、截面面積和長度。

首先對模型添加約束條件和施加外力載荷，然后再對TDOF壓電振動能量采集器有限元模型進行仿真分析。先利用有限元仿真軟件ANSYS對所建立的有限元模型進行模態分析。通過命令流來設置電壓差以控制圖2中節點“1”和節點“2”之間的電路狀態，分別進行求解，并計算出相應的1階振動模態和諧振頻率。本文主要關注的是TDOF壓電振動能量采集器系統1階振型，因此，當節點“1”與節點“2”之間的電壓差為0時，即負載電阻處于短路(RL→0)狀態，此時模態頻率為42.74 Hz，如圖3所示；當節點“1”與節點“2”之間的電壓差為∞時，負載電阻處于開路(RL→∞)狀態，此時模態頻率為44.52 Hz，如圖4所示。

圖3 TDOF壓電振動能量采集器負載短路振動模態

圖4 TDOF壓電振動能量采集器負載開路振動模態

當基礎振動角頻率ω分別與彈性放大器的固有角頻率ωb及懸臂梁固有角頻率ωeq一致時，可以推導可知剛度比與質量比相等，整個TDOF系統達到諧振狀態，壓電懸臂梁的振動位移也達到最大。

圖5為當負載電阻RL=1 kΩ、基礎振動加速度為40 m/s2(注：下文未特別說明，基礎振動加速度均為40 m/s2)時，不同質量比a下的懸臂梁末端速度v和放大器加速度G隨激振頻率f的變化情況。

圖5 不同質量比a下的懸臂梁末端速度v與放大器加速度G變化曲線

從圖5(a)中可以看出，不同的質量比a下，每條懸臂梁末端振動速度隨頻率的變化曲線都有兩個峰值，峰值點的橫軸位置、縱軸大小以及兩峰值間的間距都受到質量比的影響。隨著質量比a的增大，峰值點的縱軸大小增大，兩峰值點間的間距變窄，逐漸形成一個寬頻帶窗口，這有利于拓寬壓電采集器的工作頻帶。特別指出，在質量比a=1×10-10(即a→0)和剛度比r=1×1010(即r→∞)下，TDOF壓電能量采集器縮減成SDOF懸臂梁發電系統，其末端振動速度如圖5(a)中a=1×10-10，r=1×1010曲線所示。另外，在某個質量比a下，會使得末端振動速度的谷值等于SDOF系統末端振動速度的最大值。由此說明，SDOF系統加入彈性放大器后，不僅拓寬了整個系統的工作頻帶，還提高了末端振動速度。從圖5(b)可以看出，不同的質量比a下，每條放大器相對加速度曲線都有兩個峰值，隨著質量比a的增加，左峰點的幅值減小，這表明部分彈性放大器的機械能轉換成了懸臂梁的振動能量；右峰點的幅值隨質量比a增大，這表明部分壓電懸臂梁的機械能轉換成了彈性放大器的振動能量；另外，左右峰值間距變窄，逐漸形成一個寬頻帶窗口。特別指出，在質量比a=1×10-10(即a→0)和剛度比r=1×1010(即r→∞)下，彈性放大器變成剛性，沒有起到放大作用。由圖5分析可知，合適的質量比，不僅可以提高末端振動速度，還可以拓寬頻率工作帶。

圖6為當負載電阻RL=1 kΩ時不同質量比a下的負載輸出電壓U與負載輸出功率P隨頻率f的變化情況。圖中為了便于觀察，縱坐標采用了對數形式。

由圖6可知，負載輸出電壓變化曲線和負載輸出功率變化曲線的變化趨勢與圖5(a)末端振動速度曲線趨勢相同。在質量比a=20時，負載電壓和功率輸出曲線的谷值等于SDOF系統的最大值。另外，隨著質量比a的增大， 負載的輸出電壓和功率也隨之增大。

圖6 不同質量比a下的輸出電壓U與輸出功率P變化曲線

圖7是當質量比a=20和負載電阻RL=1 kΩ時，不同阻尼比c對TDOF系統輸出功率P的影響仿真曲線。由圖7可知，隨著阻尼比c的增大，TDOF系統的輸出功率左右峰值逐漸減小，當彈性放大器的阻尼系數增大到遠超于懸臂梁系統的阻尼系數時，彈性放大器的放大作用就會失去，TDOF系統輸出功率的左右峰值就會合并為一個峰值。這說明小的阻尼比c能夠使輸出功率有所提高。

圖7 不同阻尼比c下的輸出功率P變化曲線

3 負載輸出功率優化

在SDOF壓電振動能量采集系統中引入彈簧放大器后，使得振動特性和電輸出特性有明顯的改善。對于給定的激勵條件下，負載電阻與TDOF壓電振動系統的阻抗匹配時，能夠使TDOF壓電振動系統輸出最大功率。因此，對負載輸出功率最大化進一步仿真分析與研究。

圖8是TDOF壓電振動能量采集器系統輸出功率P隨負載電阻RL的變化關系。由圖8可知，當系統的負載電阻RL趨于0時，即TDOF系統處于短路狀態，最佳匹配負載電阻為Rsc=42.3 kΩ，此時，系統負載輸出功率最大；當系統的負載電阻RL趨于∞時，即TDOF系統處于開路狀態，最佳匹配負載電阻為Roc=90.8 kΩ，此時系統負載輸出功率最大。

圖8 不同電阻下的輸出功率P變化曲線

圖9是當質量比a=20時，最佳匹配電阻對TDOF壓電振動系統的電輸出特性(輸出電壓U、輸出電流I和輸出功率P)的影響。從圖9(a)，(b)和(c)中可以看出，TDOF能量采集器在負載電阻Rsc=42.3 kΩ和負載電阻Roc=90.8 kΩ下電輸出曲線都有兩個峰值，且每條曲線的谷值都明顯地大于SDOF壓電系統的相應電輸出曲線的最大值。從圖9(a)和(b)中得出TDOF壓電系統和SDOF壓電系統的共同點：負載電阻Rsc=42.3 kΩ時的輸出電壓小于負載電阻Roc=90.8 kΩ時的輸出電壓，但輸出電流恰恰相反。除此之外，還可以知道圖9(a)中最大的峰值電壓出現在負載電阻Roc=90.8 kΩ時，而圖9(b)中最大的峰值電流出現在負載電阻Rsc=42.3 kΩ時。這說明，TDOF系統處于反諧振狀態下，能夠輸出較大的工作電壓；處于諧振狀態下，能夠輸出較大的工作電流。

圖9 不同負載電阻下電輸出的變化曲線

根據結合圖9(c)得到最佳匹配電阻下的TDOF和SDOF的對比表，結果如表2所示。表2中f代表相應匹配電阻下的諧振頻率，P代表相應匹配電阻下的輸出功率,fB代表系統的工作頻率帶寬。

表2 最佳匹配電阻下的TDOF和SDOF對比

從表中看出，系統在短路最佳匹配電阻和開路最佳匹配電阻條件下，TDOF系統的左峰值輸出功率約是SDOF系統輸出功率的10倍；TDOF系統左右峰值間的最小輸出功率(即谷值輸出功率)是SDOF系統的2倍。并且TDOF系統的工作頻率帶寬也是SDOF的5倍。

將圖9(c)與Wang等所作的單自由彈性體系壓電懸臂梁能量采集器的研究結果(如圖10所示)進行了比較[13]。雖然兩者壓電晶體的材料特性不一樣，導致兩者短路狀態和開路狀態下的諧振頻率不一樣。但是，兩者的電輸出特性和振動特性隨頻率的變化趨勢和輸出功率隨負載電阻的變化趨勢是相同的，這間接驗證了本文有限元模型仿真結果的有效性。

圖10 文獻[13]模型不同負載下的輸出功率

4 結 論

本文通過有限元軟件ANSYS對TDOF壓電振動能量采集器建立有限元模型和研究，利用有限元分析方法研究了系統參數(如質量比、阻尼比以及負載電阻等)對振動特性以及電輸出特性的影響。綜合所得出的曲線關系圖，得出以下結論：

(1) 彈性放大器不僅提高了末端振動速度，還可以拓寬頻率工作帶和提高輸出功率。在基礎振動加速度為40 m/s2條件下，系統短路諧振和開路諧振最大輸出功率分別達到4 386.5和4 263.4 mW，是SDOF系統輸出功率的10倍。TDOF系統工作頻帶寬度達到10 Hz，是SDOF系統的5倍。

(2) 大質量比a和小阻尼比c可以拓寬工作頻帶和輸出較大的功率。

(3) 反諧振狀態下的匹配電阻能夠使TDOF系統輸出較大的工作電壓；而諧振狀態下的匹配電阻能夠使TDOF系統輸出較大的工作電流。

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