基于IR-SFS算法空間目標紅外影像3D重建

曾 蔚，王匯源*，劉瑩奇，王 斌，張振鐸，曾子晗

(1.山東大學信息科學與工程學院，山東濟南250100;

2.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033;

3.北京聯合大學自動化學院，北京100095)

1 引言

光學成像是獲取目標三維模型的重要手段之一，美國麻省理工大學的Horn認為圖像的明暗變化隱藏三維信息［1-3］，并于1970年提出明暗恢復形狀(Shape From Shading，SFS)算法用于 NASA月球表面圖像三維重建。傳統的SFS算法假設光源為無限遠處的點光源或平行光［2］，但考慮到紅外(Infrared，IR)目標具有自身輻射，灰度明暗變化不僅隱藏三維信息還包括溫度信息，在SFS三維重構中的理論模型和具體實現方法有待研究。本文分析了空間目標紅外成像特性，建立IR-SFS算法用于紅外圖像三維重建。

SFS算法是基于單幅灰度圖像非接觸式三維測量，無需相機標定和目標先驗信息，該算法相關的研究主要解決下述問題［4-8］:輻射模型的建立、光照和反射率估計、欠定偏差分方程(Partial Differential Equation，PDE)方程組的解法，以及與其它三維重構方法的融合。其理論的核心思想是電磁波輻射理論與光度學，通過輻射模型將輻射源、輻亮度、物體的幾何形狀關聯在一起，求解輻射方程組可以獲得物體表面形狀。SFS輻射模型與真實輻射模型相比存在較多的簡化處理，比如光源位置和強度估計、反射率估計，欠定PDE方程組病態求解，物體形狀的光滑約束，傳感器成像過程模型被忽略等等。這樣做的結果是，SFS算法的適應性和運算速度極高，但其精度卻大打折扣，且數十年來被廣泛研究而尚未形成完備的理論和應用體系。

主要的SFS輻射模型有漫反射輻射模型(Lambertian)、鏡反射輻射模型(Phong)，以及混合輻射模型，這3種經典的模型均只考慮了物體對輻射能量的反射，對于一般的可見光成像來說，這種假設是非常合理的，而對于不透明物體，其表面紅外輻射能量是反射輻射和自身輻射的疊加。在紅外成像領域對傳統的SFS輻射模型進行擴展研究，構建充實完備的理論模型和具體算法，可以提高紅外影像三維重建的精度。

上述3種模型中，Lambertian輻射模型應用最廣泛，且與遠距離暗弱目標成像領域的空間目標表面輻射模型比較相符。本文提出的IR-SFS算法正是對該模型在紅外成像領域的理論模型和三維重建實現算法的擴展研究，研究對象是空間目標(包括衛星、航天飛機、空間站等)。為了盡量提高三維重建的精度，詳細的理論研究、參數運算和算法設計是必不可少的，研究內容涵蓋了:空間目標和地基傳感器的坐標變換，外部紅外光源的位置和強度的詳細分析和計算，自身輻射強度計算，自身輻射對SFS三維重建影響的仿真分析;依據以上理論和仿真分析結果，提出SFS紅外溫度場概念，利用離散余弦變換(DCT)估計溫度場形狀，通過自身紅外輻射能量和反射輻射能量的比例系數，獲得紅外差值圖，然后進行三維恢復。一系列分析和計算，雖然算法比較復雜，但實驗結果可獲得更高的信噪比，驗證了算法的有效性。該算法不能像立體視覺的方法那樣獲得盡可能高的模型精度，對于空間目標紅外成像來說，立體視覺的方法難以實現。

本文第二部分講述傳統的SFS算法;第三部分分析空間目標紅外成像特性并建立IR-SFS輻射模型;第四部分為IR-SFS輻射模型仿真分析;第五部分為IR-SFS算法說明;第六部分為實驗結果和分析;第七部分為全文的總結。

2 傳統的SFS算法

傳統的SFS算法一般假設目標為朗伯體，表面光滑連續;存在唯一光源，發出平行光。其歸一化表面輻射圖和歸一化灰度圖相等，輻射方程為:

3 空間目標紅外成像特性分析

參照傳統SFS算法，空間目標紅外成像特性分析的假設條件為:

(1)目標為朗伯體，表面光滑連續，在成像波段內有單一的反射率和發射率;

(2)外部輻射包括:太陽輻射、大氣和地球反照的太陽輻射、地球紅外輻射;

(3)目標具有溫度場，發出自身紅外輻射。

3.1 理論基礎

在上述假設條件的基礎上，展開紅外輻射的基礎理論分析，然后結合傳統SFS算法的輻射模型，推導出IR-SFS輻射模型方程。

(1)坐標系

坐標系如圖1所示，地平坐標系O-XYZ以傳感器為原點，正東為X軸，正北為Y軸，天頂為Z軸，成像時的偏角和仰角為α和β;目標坐標系OXYZ以目標為原點，兩者齊次坐標變換矩陣H如式(2)。傳感器觀測參數以前者為參考;三維模型Z=Z(x，y)以后者為參考。

圖1 坐標系Fig.1 Coordinates

(2)外部輻射和自身輻射

太陽輻射Q1，大氣和地球對太陽輻射的反照輻射Q2，地球紅外輻射Q3，如式(3)～(5);自身輻射Q4如式(6)［9］。

式中，dA為微面元，ρ為反射率，ε為發射率，S為太陽輻射常數，γ1、γ3為成像波段因子，R為地球半徑，h為軌道高度，λ為大氣透過率;Q'4為等效黑體輻射強度，由溫度T和成像波段［λ1，λ2］根據普朗克輻射定律、斯蒂芬-玻爾茲曼定律計算獲得;Fs為成像類型因子，FΩ為大氣和地球反射因子;F1、F2、F3、F4為形狀因子，采用蒙特卡洛方法計算獲得，基本計算式如式(7)～(10)。

3.2 建立IR-SFS輻射方程

綜合上述理論得紅外輻射圖Q=Q1+Q2+Q3+Q4，根據傳統SFS輻射理論O=Q(x，y)－E(x，y)，整理并離散化得IR-SFS輻射方程:

式中:c1是第一輻射常數;c2是第二輻射常數;σ是斯蒂芬-玻爾茲曼常數;T(i，j)是熱力學溫度場圖。

4 IR-SFS輻射方程仿真分析

式(11)所示IR-SFS輻射方程與式(1)所示傳統SFS輻射方程的差異在于ζ4(i，j)項。下面考慮兩種情況分析它對目標幾何形狀的影響:(1)ζ4(i，j)=0，即自身輻射為 0，只考慮目標對外界輻射的反射，此時對應傳統SFS算法的輻射模型;(2)ζ4(i，j)≠0，即自身輻射不為 0，同時考慮目標對外界輻射的輻射以及目標自身輻射，對應本文提出的IR-SFS輻射模型。三維重建過程中，欠定PDE方程組求解方法采用Ping-Sing Tsai and Mubarak Shah 的線性化方法［7］，Newtong-Raphson迭代次數20次。

4.1 第一種情況 ζ4(i，j)=0

灰度級為L的圖像中兩相鄰微面元dA1、dA2(如圖2(a))，灰度值(g1，g2)，光源矢量(0，0，1)。

圖2 微面元dA1與dA2的灰度圖和三維模型Fig.2 Gray image and 3D model of microfacet dA1，dA2

將各參數代入式(1)，利用Tsai方法求解出三維模型見圖2(b)。其中dA1，dA2在三維模型中梯度(p1，q1)、(p2，q2)為q1=q2=p1=0，p2=|z1－z2|。法向矢量夾角θ為:

仿真參數:L=8，g1=0，g2=0∶255 遞增。

仿真結果:求得θ變化曲線如圖3所示，其中最小、最大值分辨角分別為 θmin=0.81°和θmax=74.47°。

圖3 仿真結果曲線［ζ4(i，j)=0，dA1和dA2的夾角為θ］Fig.3 Simulation results［ζ4(i，j)=0，θ is the angle between dA1and dA2］(calculated by Tsai method)

仿真結果分析:像素間灰度差異越大，法向矢量角度越大，若像素灰度值變化則會導致三維形狀失真;最大分辯角僅為74.47°，無法表示大于該角度的幾何形狀，這也是“假設物體表面光滑”的理論依據。

4.2 第二種情況 ζ4(i，j)≠0

第二種情況，分析ζ4(i，j)＞0對三維重構模型的影響，即θ的變化情況。

假設條件:目標前景的溫度和發射率一致，自身輻射強度等效灰度值ζ4(i，j)＞0。不失一般性灰度級取值為L=8，前景灰度范圍從(0，255)變為(0+ζ4，255+ζ4)，背景灰度范圍仍為(0，255)。dA1，dA2在新圖像中灰度值(g'1，g'2)=［255·(g1+ζ4)/(255+ζ4)，255·(g2+ ζ4)/(255+ζ4)］，θ的新值為 θ'。

仿真參數:取 ζ4=0∶100∶10 000，g1=0，g2=0∶255。

圖4 仿真結果曲線［ζ4(i，j)≠0，dA1和dA2的夾角θ'］Fig.4 Simulation results［ζ4(i，j)≠0，θ'is the angle between dA1and dA2］(calculated by Tsai method)

仿真結果:θ'的變化見圖4(a);峰值信噪比(PSNR)估計見圖4(b)。隨著自身輻射的增強，角度估計值逐漸惡化，見表1;當ζ4=50時，最大角度失真達到2.76°;當ζ4=500時，最大角度失真達 23.92°。

仿真結果分析:自身輻射對三維模型有弱化效應，弱化程度與信噪比有關;隨著溫度逐漸升高弱化效應是漸變的。

表1 仿真結果Tab.1 Simulation results

5 基于IR-SFS三維重建算法

基于上述研究，提出針對空間目標紅外影像三維重建的IR-SFS算法。

首先，根據已知條件進行目標紅外成像特性分析，計算目標、太陽、地球的相互位置關系，外部輻射強度。其次，提出漸變溫度場概念，溫度場信息隱藏在圖像的低頻區域;通過DCT變換和低通頻域濾波器H(i，j)得到溫度場，利用普朗克輻射定律、斯蒂芬-玻爾茲曼定律計算其等效輻射強度，按照能量比例因子獲得歸一化自身輻射圖ζ4，進而得紅外差值圖［E(i，j)－ ζ'4(i，j)］。然后，根據Tsai方法求解目標三維模型。最后，根據SFS評價因子EQ1(收斂性)、EQ2(收斂到預期值)、EQ3(運算速度)、EQ4(魯棒性)、EQ5(主觀評價)對算法結果進行分析。

此外，基于溫度場估計需要對溫度場類型(即濾波器類型)、溫度范圍和溫度場半徑進行估計，不同的估計值會得出不同結果。因此，增加評價因子EQ6，即在不同的參數設定下，計算目標反射輻射和自身發射輻射強度，以及三維模型的截面周長、截面積、曲面面積、體積、平均高度和最大高度的等效估計值。本文提出的IR-SFS算法流程如圖5(a)所示;傳統的SFS算法并沒有考慮紅外影像中目標自身輻射，如果將其直接應用于紅外影像則沒有第二、三、四個環節，其算法流程如圖5(b)所示。

圖5 算法流程圖Fig.5 Flow sheet of IR-SFS algorithm and traditional SFS algorithm

5.1 溫度場估計

溫度場屬于低頻分量，通過低頻濾波器提取溫度場的空間分布特征，并根據前述的空間目標紅外特性分析將溫度場映射到合理的強度，獲取紅外差值圖。

下式為溫度場空間分布特征估計方法:式中:DCT是離散余弦變換;IDCT是離散余弦逆變換;H(i，j)是頻域低通濾波器;T(i，j)是溫度場估計值。限于本文的篇幅和研究重點，僅選用以下3種常用低通濾波器［13-16］進行算法測試:

式中:RT是溫度場濾波器截止頻率，σ1，σ2是溫度場高斯低通濾波器方差，均稱之為溫度場半徑。

5.2 紅外差值圖

經過前述紅外特性分析獲得外部輻射系數ζ1、ζ2、ζ3和溫度場T(i，j)，然后根據普朗克輻射定律、斯蒂芬-玻爾茲曼定律計算輻射強度，并歸一化為ζ4(i，j)，根據式(21)得到紅外差值圖:

5.3 評價因子EQ6

式中，Ω表示ROI區域，Ω'表示Ω的八連通邊界。由于該算法的三維模型高度無量綱，EQ6對測試算法具有參考價值，但不都代表絕對物理量;如果高度信息經過標校的話，會具有較好的實際含義。

6 實驗結果及分析

算法程序用 Matlab7.0在 Intel i5-3470的CPU，4GB內存的計算機上實現。圖6為進行算法測試的STS107紅外影像［10］，它是“哥倫比亞航天飛機失事前四天，利用3.67 m望遠鏡長波紅外攝像機獲得的高清晰圖像”［11］，目標信息見表 2［10，12］。

表2 STS107目標參數Tab.2 Parameters of target STS107

圖6 STS107目標圖像Fig.6 Image of target STS107

為描述方便，測試參數溫度場估計濾波器、溫度場半徑、溫度估計范圍和迭代次數，分別以TF、TR、TD和Iter表示。由于缺乏STS107目標的真實三維模型，難以對重建結果進行客觀評價，我們首先對人工合成的紅外目標的紅外影像進行算法測試。

6.1 人工合成目標實驗

分別利用SFS算法和IR-SFS算法對人工合成的球體、圓柱體衛星的紅外影像進行三維重建，比較兩者重建模型的視覺效果、與真實模型的差值和峰值信噪比。

(1)合成球體衛星

假設存在一球體空間目標，半徑r=10 m，我們能觀察到衛星的一側，其曲面方程為:

表面梯度為:

人工合成目標的條件和方法:假設成像類型是地影成像，等效紅外光源矢量(0，0.15，1)，軌道高度為280 km，衛星蒙皮反射率為0.7，成像波段為8.3～9.2 μm，大氣透過率為0.45，根據式(12)～(14)計算出目標反射外界輻射平均強度為3.76 W/m2;衛星溫度為250～400 K的隨機值(本文測試值為300 K)，紅外發射率為0.3，只考慮成像波段內的紅外輻射，根據式(14)計算出平均輻射強度為3.41～41.00 W/m2;根據式(28)、(29)生成理想球體衛星模型見圖7(a、b)，根據式式(11)、(21)合成的衛星紅外圖像如圖7(c)所示。

圖7 球體衛星圖Fig.7 Images of hemi-sphere satellite

分別采用傳統的SFS算法、本文提出的IRSFS算法對圖7(c)表示的目標紅外影像進行三維重構，其中欠定 PDE方程組求解方法采用Ping-Sing Tsai and Mubarak Shah的線性化方法［7］，Newtong-Raphson迭代次數 20次。SFS算法測試參數Iter=20，生成三維模型見圖8(a)，與真實模型的差值圖見圖8(b);IR-SFS算法測試參數 TF=H3，TR=20，TD=250 ～350 K，Iter=20，生成三維模型見圖8(c)，與真實模型的差值圖見圖8(d);由于已知真實的三維模型，可以計算出迭代過程中的PSNR，見圖9。

圖8 球體衛星紅外圖三維重建模型Fig.8 3D reconstruction results of hemi-sphere satellite

圖9 球體衛星紅外圖三維重建實驗PSNRFig.9 3D reconstruction PSNR of hemi-sphere satellite

結果分析:從圖8、9可以看出兩種算法都可以重建出目標的三維模型，并且都存在一定的誤差。進行比較發現:原SFS方法雖然也能收斂，但是由于沒有考慮目標自身輻射對三維重建的影響，迭代過程中信噪比僅為5.3 dB左右;而本文IR-SFS算法一定程度上考慮了自身輻射，雖然沒能完全消除誤差，但是隨著迭代過程誤差減小的更快，PSNR比原SFS算法提高約13 dB。

(2)合成圓柱衛星

假設存在一個圓柱形的衛星，尺寸底半徑r=4 m、高h=10 m，傳感器能觀察到目標的一側，其曲面方程為:

表面梯度為:

人工合成目標的條件和方法與前述球體衛星一致。理想半圓柱體衛星平面圖見圖10(a)，其三維圖見圖10(b)，紅外圖像見圖10(c)。目標實際溫度為恒定的300 K，在IR-SFS算法中估計目標溫度為250～400 K，而SFS算法中忽略目標溫度，因為目標的真實溫度往往是未知的，IR-SFS算法通過對目標的紅外特性分析，大致已知了其真實溫度范圍，理論上來說更逼近真實溫度值;傳統的SFS算法重建的三維模型、以及誤差圖見圖11(a)、11(b)，本文的IR-SFS算法重建的三維模型和誤差圖分別見圖11(c)、11(d)。迭代過程中，與真實模型的PSNR，見圖12。結果分析:從圖11、12可以看出兩種算法都可以重建出目標的三維模型，并且都存在一定的誤差。進行比較發現:雖然新方法沒能完全消除誤差，但是較原SFS方法PSNR提高約25 dB。

圖10 圓柱衛星Fig.10 Images of cylindrical satellite

圖11 圓柱衛星紅外圖三維重建模型Fig.11 3D reconstruction results of cylinder satellite

圖12 球體衛星紅外圖三維重建實驗PSNRFig.12 3D reconstruction PSNR of cylinder satellite

6.2 STS107三維重建實驗一

通過人工合成目標的仿真實驗，驗證了新算法在一定程度上提高了重建三維模型的準確度。下面在空間目標STS107真實紅外影像上進行三維重建實驗。

圖13 實驗結果Fig.13 Test results

初步測試參數:TF=H1，TR=50，TD=200～300 K，Iter=15。測試結果如圖13所示，可以看出，紅外差值圖目標細節比原圖有所改善，重建模型對目標各部位的細節表現豐富。

結論和分析:由溫度場估計獲得的紅外差值圖重建的三維模型具有較好的顯示度。

6.3 STS107三維重建實驗二

這部分詳細地介紹三維重建實驗以及實驗分析。評價因子包括EQ1～EQ6，以及 SFS和 IRSFS效果對比。根據本文的重點，對EQ5、EQ6實驗進行了較詳細的說明。

(1)SFS和 IR-SFS的 EQ1、EQ2、EQ3對比實驗

SFS 實驗參數:Iter=50，光照方向(0，0，1);IR-SFS實驗參數:TF=H1、H2、H3，TR=50，TD=200～350 K，Iter=50。

由于缺乏目標的真實模型作為參考，收斂均方誤差(MSE)值為相鄰兩次迭代的均方誤差;PSNR的參考模型是最后一次迭代的三維模型。

圖14 SFS與IR-SFS的MSE和PSNR對比Fig.14 MSE and PSNR of IR-SFS compared with SFS

實驗結果 MSE見圖14(a)，PSNR見圖14(b)，從圖中可以看出IR-SFS較SFS均具更佳的收斂性。第50次迭代誤差從2.58e－004減小為1.85e－5;PSNR統計平均提高11.47 dB;50次迭代的對比實驗共耗時約12 s，能滿足非實時數據處理的一般要求。

(2)魯棒性評價(EQ4)

圖15(a)為被高斯噪聲污染的目標紅外影像，圖15b為經過中值濾波的影像，圖15(c)為重建結果。重建的三維模型具有一定的主觀評價，目標的機翼、機艙、尾翼等的三維模型均被明顯重構出來，說明算法對噪聲具有一定程度的魯棒性。由于本文算法實質是考慮目標自身輻射作為一種噪聲對SFS三維重構的影像，其它形式的噪聲對SFS算法的魯棒性影響將在后續論文中深入研究。

(3)主觀評價(EQ5)

圖15 EQ4測試Fig.15 Test results of EQ4

測試參數:TF=H1、H2、H3，TR=10、50，TD=200～280 K、200～350 K，Iter=15。

圖16 IR-SFS三維重構圖(TF=H1或H2或H3，TR=10或50，TD=200～280 K或200～350 K)Fig.16 3D models of IR-SFS algorithm(TF=H1、H2、H3，TR=10、50，TD=200 ～ 280 K，200 ～350 K)

測試結果:三維模型見圖16，其中圖16(a，b，c，d)為 TF=H1 產生的三維模型，圖16(e，f，g，h)為 TF=H2 產生的三維模型，圖 16(i，j，k，l)為TF=H3產生的三維模型，圖下標3個參數分別表示TF、TR、TD的取值。將SFS算法直接應用于紅外圖像，得到的三維模型如圖17所示。分析:從圖16可以看出，濾波器為H1、H3，溫度場半徑等于50時，航天飛機頂部艙門、尾翼、機艙內方形部件具有較佳顯示度;濾波器為H2，溫度場半徑等于10時，航天飛機機艙空間有明顯凹陷感;SFS算法能重建出目標的三維模型，對各部分也具有顯示度;對比兩種算法對目標不同部件的表現度，如飛機尾翼的形狀，機艙內方形部件形狀，頂部兩側機翼的形狀，主觀比較之下新算法對目標細節的顯示效果有所優化。

圖17 SFS算法重建的三維模型Fig.17 3D model obtained with SFS algorithm

結論:IR-SFS算法參數 TF、TR 、TD、Iter的優化能表現出目標的不同特性，較SFS算法對目標細節的表現力有所改善。

(4)溫度遞增實驗(評價因子EQ5和EQ6)

分別對TF=H1、H2、H3 3種溫度場估計濾波器進行測試，由于對TF=H2、H3進行的測試結果與TF=H1基本一致，在此僅對TF=H1的情況進行說明。

測試參數:TF=H1，TR=50，TD=200 ～220∶1∶1 000 K，Iter=20。EQ6 測試結果見圖 18，以及重構三維模型見圖19。

圖18 EQ6(溫度遞增實驗)的測試結果Fig.18 Test results of EQ6 with TD increasing

圖19 溫度遞增實驗三維模型Fig.19 3D models with TD increasing

分析:隨著溫度升高，自身輻射強度增大，幾何形狀參數不斷減小，三維模型的主觀評價在TD=380左右逐漸下降。

結論:溫度估計差異對EQ6具有較大影響，不易獲得穩定值;對于當前樣本，溫度估計為200～380 K時，3D模型具有較好的主觀評價，這與文獻［10］中對空間目標的實際溫度范圍估計一致。

(5)溫度場半徑遞增實驗(評價因子EQ5和EQ6)

測試參數:TF=H1、H2、H3，TR=1∶1∶455，TD=200～350 K，Iter=15。

TF=H1、H2、H3時的EQ6評價結果基本一致，在此僅將TF=H1的EQ6測試圖列在圖20中;TF=H1、H2、H3時重建的三維模型分別見圖21、22、23，分別進行主觀評價。

圖20 EQ6(溫度場半徑遞增實驗)的測試結果Fig.20 Test results of EQ6 with TR increasing

圖21 溫度場半徑遞增實驗三維模型(TF=H1)Fig.21 3D model with TR increasing at TF=H1

圖22 溫度場半徑遞增實驗三維模型(TF=H2)Fig.22 3D model with TR increasing at TF=H2

圖23 溫度場半徑遞增實驗三維模型(TF=H3)Fig.23 3D model with TR increasing at TF=H3

分析:當溫度場半徑小于50時，EQ6各參數存在極大值、極小值，目標不同細節的表現度差異較大;當溫度場半徑大于50時，EQ6參數趨于穩定，模型的形狀變化不大，并且對航天飛機船艙、尾翼、機翼具有較好的細節表現度。

結論:通過優化溫度場半徑可以獲得目標穩定的三維模型，且具有較好的主觀評價，當前目標的TR優化參數為50。

7 結語

本文將SFS算法擴展為IR-SFS算法，建立了IR-SFS輻射模型和三維重建算法，并進行了仿真分析，在此基礎上對合成球體、圓柱體衛星和真實的空間目標STS107的紅外影像進行了算法驗證。對于STS107紅外影像，當參數優化為溫度范圍估計TD=200～350 K、溫度場半徑TR=50、迭代次數大于Iter=15次時，目標的頂部艙門、尾翼、機艙、機艙內的方形部件具有較好的顯示度，算法的收斂性、信噪比和三維模型的主觀評價較原SFS算法有一定程度的改善。在今后工作中，要對溫度場估計方法和參數優化進行深入研究，比如濾波器的設計，溫度場半徑的選取，溫度范圍的設定方法等。

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