層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機PID控制系統研究

張 釗，郭 亮

（浙江理工大學納米測量技術實驗室，杭州310018）

層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機PID控制系統研究

張 釗，郭 亮

（浙江理工大學納米測量技術實驗室，杭州310018）

提出了一種層疊繞組式五自由度磁懸浮永磁直流平面電機的構想，針對該磁懸浮平面電機中的磁懸浮系統進行了控制系統設計。在對懸浮系統三維有限元分析的基礎上利用參數辨識法構建了磁懸浮系統非線性模型；并利用微分幾何方法，對磁懸浮模型進行完全精確反饋線性化，設計了PID控制器，并進行了樣機控制實驗。磁懸浮永磁直流平面電機懸浮高度的控制仿真和實驗結果吻合度良好，系統穩態誤差在1μm以內并具有優良的跟蹤性能。

磁懸浮平面電機；微分幾何法；反饋線性化；PID

0 引 言

在現代制造領域，超精密加工技術已經成為重要發展方向之一［1］。隨著加工精度的不斷提高，對精密加工定位平臺定位精度、行程、運動自由度和工作環境等性能的要求也越來越嚴苛［2］，傳統二維定位平臺以及接觸式、氣浮式平面電機驅動的定位平臺越來越難以滿足精密加工的要求。磁懸浮平面電機以其優越的運動定位性能，受到了越來越高的關注，將成為下一代超精密加工儀器的核心驅動部件。

磁懸浮平面電機是一個多輸入多輸出、非線性、耦合、參數攝動、抗干擾能力差的復雜系統，其高精密定位和多自由度運動的實現，在極大程度上取決于平面電機的結構與控制系統的設計，磁懸浮平面電機的發展也始終伴隨著電機結構的創新和控制技術的進步。文獻［3］中采用平衡點線性化和魯棒控制控制相結合的磁懸浮控制系統設計方法，實現了磁懸浮系統平衡點附近的精確魯棒控制；文獻［4］中對于磁懸浮系統采用了平衡點線性化與非線性PID相結合的設計方法，擴大了磁懸浮系統精確控制的范圍，但定位精度均隨著與平衡點偏差的增大而降低，且魯棒控制系統階次高、增益大，數字控制器難以實現。

本文提出了一種結構簡單、響應速度快、表面利用率高的層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機結構，并對該平面電機的磁懸浮控制系統進行了設計與研究。在非線性系統控制系統設計過程中，采用完全反饋線性化方法［5］，將非線性系統轉化為線性系統，并在線性化后的系統模型基礎上利用經典PID方法進行控制系統設計。

1 平面電機結構與工作原理

層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機結構如圖1所示，由空心繞組、定子永磁陣列和背鐵組成。

圖1 磁懸浮平面電機模型

定子部分永磁體采用二維Halbach［6-8］永磁矩陣結構，由釹鐵硼材料構成的永磁體模塊和鐵塊組成，并通過背鐵固定在磁懸浮隔震平臺上。永磁矩陣具體組合形式如圖2所示，本永磁體陣列除垂直充磁的磁極外，其余永磁體塊均沿對角線方向充磁，充磁方向彼此連接以形成三維Halbach式結構，在背鐵部分自成回路，以增強氣隙部分的磁密。圖2中通過形狀相同的99塊釹鐵硼和12塊鐵塊形成了彼此交錯的4個N極、9個S極勵磁磁場。平面電機動子部分采用層疊式空心繞組結構，由兩層沿X方向鋪設的繞組和兩層沿Y方向鋪設的繞組正交疊加構成。繞組連接方式如圖1所示，每層繞組均由單匝導體鋪設而成，每對極下的導體彼此串聯，但相鄰極間彼此并不相連，從而組成了多相的直流電機結構，以方便進行磁場的微調節，并進行多個自由度的調整［9］。

圖2 定子永磁體充磁3D示意

當動子中繞組電流如圖1中箭頭所示時，即可構成所示的環流，形成與永磁體磁極分布結構相同的垂直磁極；各磁極磁通密度由所在區域等效電流中的直流分量決定，磁極位置由等效環流的位置決定，并隨等效電流交流分量的變化而移動。統一調節空心繞組中的直流分量，調節動子磁極磁通密度，實現動子部分懸浮氣隙微調，分別調節同方向排列的兩側多相繞組中的直流分量，破壞磁極磁通密度的對稱性，實現動子部分繞x軸、y軸的旋轉；統一調節相同排列方向繞組中的交流分量，調節等效環流的水平位置，實現動子沿x、y方向的水平運動。因此，該磁懸浮平面電機能夠實現動子懸浮、二維平動以及繞x、y軸旋轉，共5個自由度的運動。

2 平面電機磁懸浮系統模型

利用3D有限元分析方法對平面電機定子永磁矩陣上方的磁通密度進行分析，得到氣隙高度為1 mm時水平和垂直氣隙磁通密度分布曲線，分別如圖3-圖5所示，可以看到勵磁磁場中z方向的各個垂直磁極以及x、y方向的水平分量均具有良好的對稱性，若忽略繞組端部影響，當繞組電流分布均勻且關于永磁體中心線反向對稱時，根據洛倫茲力定律可推知，導線的水平推力為0，垂直方向的懸浮力達到最大。

圖3 x方向磁通密度3D曲線

圖4 y方向磁通密度3D曲線

圖5 z方向磁通密度3D曲線

取動子位移、速度和繞組電流為系統狀態變量，根據洛倫茲力公式、運動學原理及電路原理，磁懸浮系統運動模型如下式所示，

其中：

m：動子部分質量，313.16 g；

l：磁場中每根直導線長度，每根直導線長度相同；

fd：系統干擾；

N表示在每根導線中心線上的磁通密度取點個數，Bjki表示第k層，第j根直導線中心線上所取第i個點的磁通密度。

利用有限元分析結果，計算在不同氣隙高度下，單層直導線的值，得到隨氣隙高度變化表，如表1所示。

表1-氣隙變化

表1-氣隙變化

氣隙高度/mm 磁密強度/T 0.5 12.285 7 1.0 10.944 7 1.5 10.232 6 2.0 9.429 1 2.5 8.729 4 3.0 8.155 9 3.5 7.505 3 4.0 6.985 6 4.5 6.493 8

其中：M、γ為待辨識參數；利用最小二乘法進行參數辨識，得M=1.402，γ=0.1503。

在控制器與磁懸浮平面電機空心繞組間加入電壓控制電流源（VCCS）驅動器，使空心繞組中的電流按照比例關系隨控制電壓信號變化，則磁懸浮系統模型轉變為如下形式：

令：f（x）=［x20］T，g（x）=［0 B/m］T；將重力加速度看作常值擾動，暫時不予考慮，則磁浮系統電流控制模型可以簡化為式（4）的形式，是一個典型的單輸入單輸出二階仿射非線性系統。

3 磁懸浮系統模型線性化

為實現磁懸浮系統的大范圍精確控制，在磁懸浮系統模型線性化過程中采用基于微分幾何理論的完全精確反饋線性化方法，將磁懸浮仿射非線性模型完全轉化為串聯積分形式的線性化系統模型。

對磁懸浮平面電機磁浮模型選取如下坐標變換：

則原系統模型可以轉化為：

其中：

平面電機磁懸浮系統完全精確線性化模型如圖6所示。

圖6 磁懸浮系統完全精確線性化模型

4 PID控制系統設計與仿真

以基于微分幾何理論的非線性反饋作為控制系統內環，將磁懸浮系統完全轉化為線性系統，那么可以采用線性系統控制器設計方法設計磁懸浮控制系統。由于PID控制技術具有結構簡單、參數調整方便、工作可靠、穩定性好、環境適應性強等優點［10］，因此采用該技術構建不完全微分PID控制器，如圖7所示。

其中：Kp，Ki，Kd分別為比例、積分、微分參數；T為慣性環節時間常量，取為0.000 5。

利用MATLAB/SIMULINK軟件搭建平面電機磁懸浮PID控制系統仿真模型，如圖8所示，其中零階保持器sampletime為0.001s，兩個單位延時代表實際數字控制器引入的系統延時。

圖7 不完全微分PID控制器

圖8 磁懸浮控制系統仿真模型

利用MATLAB/NCD參數尋優工具箱，結合控制系統模型進行PID離散控制系統仿真，得到PID參數如下：Kp=6.310 5、Ki=0.004 7、Kd= 0.028 1。其1 mm階躍響應如圖9所示，上升時間為0.015 s，超調為40%，穩定時間為0.1 s，靜差為0，能夠實現1 k Hz頻率下的快速、無靜差控制。

圖9 PID控制系統階躍響應曲線

5 實驗與結果分析

為了驗證理論分析結果并證實電磁懸浮的可行性，制造了樣機并搭建磁懸浮系統控制實驗平臺。樣機中動子表面積略大于永磁體，邊長約為120 mm，四個角上利用滾珠式直線軸承與豎直導軌相連，導軌上安裝渦流傳感器實現懸浮高度的實時測量。利用MATLAB/RTW快速原型化xPC目標作為數字控制器，16位NI-6221為數據采集卡，KAMAN KD 2306為電渦流位移傳感器，VCCS為磁懸浮系統驅動器，RC二階低通濾波電路為反饋回路濾波器，搭建磁懸浮系統控制實驗平臺，如圖10所示，其中xPC目標控制系統穩定實時運行頻率為1 k Hz（本硬件條件下），VCCS驅動器電壓-電流比例系數為0.489倍，零漂為0.002 7 A，RC二階低通濾波電路截止頻率為437 Hz。

圖10 磁懸浮PID控制系統

利用MATLAB/SIMULINK搭建RTW控制框圖，如圖11所示，包括傳感器信號處理、PID控制器、動子重力補償、非線性系統反饋線性化、驅動器補償等多個模塊。

圖11 磁懸浮PID控制器RTW模型

磁懸浮系統的1 mm階躍響應如圖12所示，可以看到在實際1 k Hz實時控制頻率下，磁懸浮PID控制系統階躍響應超調為24%，上升時間為0.018 s，穩定時間為0.12 s。

圖12 控制系統1 mm階躍響應仿真與實驗對比

驗證所設計的磁懸浮PID控制系統的控制精度，在1 mm氣隙高度進行1μm的連續階躍響應實驗，如圖13所示。

驗證所設計控制系統的大范圍控制精度，即驗證磁懸浮系統完全精確線性化模型的線性化程度，在1.7 mm周圍進行1μm的階躍響應實驗，如圖14所示。

驗證PID控制系統的大范圍快速跟蹤能力，在氣隙1.3 mm下進行了峰-峰值為1 mm、頻率為10 rad/s的正弦跟蹤實驗，如圖15所示。

圖13 控制系統1 mm周圍1μm階躍

圖14 控制系統1.7 mm周圍1μm階躍

圖15 控制系統1 mm正弦跟蹤

對樣機懸浮PID控制系統仿真與實驗的數據進行對比。首先，在1 mm階躍響應中系統上升過程和穩態過程兩者結果幾乎完全相同，但由于樣機中直線軸承引入的摩擦力帶來的阻尼效果，系統動態過程中超調量減小、穩定時間增加；其次，在系統連續1μm階躍響應中，由于控制系統硬件條件限制和外部干擾，使得系統出現抖動，但不影響系統的穩態運行，且穩態精度小于1μm；再次，通過1 mm和1.7 mm兩個氣隙高度的1μm階躍，可以看到完全線性化模型基礎上設計的控制系統在實際運行中能夠實現大范圍的精確控制，驗證了線性化模型的正確性。最后，控制系統1 mm峰-峰值的正弦跟蹤實驗中，可以看到系統仿真和實驗結果曲線幾乎完全重合，對比實驗數據得到系統跟蹤延遲小于0.015 s，跟蹤小于40μm，具有較好的跟蹤性能。

6 結 論

本文采用參數辨識方法建立了層疊繞組式永磁直流平面電機懸浮非線性系統模型，通過非線性反饋線性化和PID控制器相結合設計了控制系統。仿真和實驗驗證了所提出磁懸浮平面電機精密微運動的可行性，結果表明，建立的控制系統能夠實現懸浮控制精度為1μm的大范圍精確控制，并且具有優良的跟蹤性能。

［1］袁巨龍，王志偉，文東輝，等.超精密加工現狀綜述［J］.機械工程學報，2007，43（1）：35-48.

［2］彭祎帆，袁 波，曹向群.光刻機技術現狀及發展趨勢［J］.光學儀器，2010，32（4）：80-84.

［3］Sinha P K，Pechev A N.Nonlinear H∞controllers for electromagnetic suspension systems［J］.IEEE Trans. Automat Contr，2004，49（4）：563-568.

［4］劉恒坤，郝阿明，常文森.磁懸浮系統的非線性PID控制［J］.控制工程，2007，14（6）：653-656.

［5］Hung J Y.Nonlinear control of a magnetic levitation system［C］//Industrial Electronics，Control and Instrumentation，1991：Proceedings IECON’91，1991 International Conference on.IEEE，1991：268-273.

［6］Jiang H，Zhou G，Huang X L，et al.Analytical force calculations for high precision planar actuator with halbach magnet array［J］.IEEE Trans Magn，2009，45（10）：4543-4546.

［7］Han Q，Ham C，Phillips R.Four-and eight-piece Halbach array analysis and geometry optimisation for Maglev［C］//Electric Power Applications，IEE Proceedings.IET，2005，152（3）：535-542.

［8］Trumper D L，Kim W J，Williams M E.Design and analysis framework for linear permanent magnet machines［J］.IEEE Trans Ind Appl，1996，32（2）：371-379.

［9］Guo L，Chen B.Study on performances of novel electromagnetic drive micromanipulator［C］//Electrical Machines and Systems，2008：ICEMS 2008 International Conference on.IEEE，2008：3750-3753.

［10］毛 勇，控制電機轉速的PID算法綜述［J］.機電信息，2011（6）：43-44.

Study on PID ControI System of OverIapped Winding PMDC MagIev PIanar Motor

ZHANGZhao，GUO Liang
（Nanometer Measurement Lab，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

This paper proposes overlapped winding five-freedom-degree permanent magnet Direct-Current（PMDC）maglev planar motor and designs the control system in allusion to the maglev system in the planar motor.Based on 3D finite element analysis of the maglev system，this paper utilizes parameter identification method to construct nonlinear model of the maglev system.Besides，differential geometry method is used for complete accurate feedback linearization of the maglev model.PID controller is designed. Prototype control experiment is conducted.Simulation and experiment results of suspension height of PMDC maglev planar motor coincide well.The steady-state error of the system is less than 1μm and the tracking performance is excellent.

maglev planar motor；differential geometry；feedback linearization；PID

TP23，TP273.5

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0525-07

2014-01-13

國家自然科學基金（51005213）；浙江省自然科學基金資助（LY14E070008）

張 釗（1988-），男，山東棗莊人，碩士研究生，研究方向為納米測量技術與儀器。

郭 亮，E-mail：lguo@zstu.edu.cn