Γ-函數的幾個性質及其應用

王 飛，周培桂，馬曉艷

（1.浙江機電職業技術學院，杭州310053；2.浙江理工大學，a.科技與藝術學院；b.理學院，杭州310018）

Γ-函數的幾個性質及其應用

王 飛1，周培桂2a，馬曉艷2b

（1.浙江機電職業技術學院，杭州310053；2.浙江理工大學，a.科技與藝術學院；b.理學院，杭州310018）

運用單調性l’Hospital法則獲得了Γ-函數的一些單調性質，根據這些性質主要獲得運用幾何凸性準則解決了Γ-函數的一個猜測，利用等價轉化方法改進了擬共形映射中常數Bn的精確估計。

精確估計；Γ-函數；單調性；擬共形映射；幾何凸性

0 引 言

對于正實數x和y，Γ-函數、B-函數以及ψ-函數分別定義為：

眾所周知，在經典的特殊函數、擬共形映射理論中，經常出現如下定義的“常數”［3-4］：

上述定義“常數”bn、Bn、Jn的許多不等式對特殊函數界的估計有很重要作用［4］，同時在數學的很多領域有著廣泛應用，如格拉斯曼流形的幾何子空間［5］、優化理論［6］、幾何函數論［7-9］。

在過去的半個世紀里，Γ-函數和B-函數出現在數學的概率論、幾何、分析等許多領域中，是表達某些重要量的便利工具，在數學、物理和工程技術中有著廣泛且重要的應用［2-3，10-13］。因此，研究Γ-函數、ψ-函數、B-函數的性質既具有理論意義，又具有應用價值。

近年來，多位學者研究了關于上述函數的許多性質以及不等式［3-4，8-14］。在文獻［10］的TheoremA及Theorem1.17（4）中，作者得到并改進了一系列不等式。如對n≥2，

當且僅當n=2時等號成立。

在文獻［15］中，作者提出了如下猜測：對x＞0，令

則F（x）為幾何下凸函數。

本文的目的是通過研究Γ-函數的一些單調性質，應用幾何凸性準則給出（3）有關Γ-函數猜測的完整結論。此外，利用等價轉化方法改進擬共形映射中常數Bn的精確估計。

在本文中，我們獲得了如下主要結果。

定理1對a∈（0，1），C1=1/Γ（a），函數

在（0，∞）到（0，∞）上嚴格遞減。

定理2對a∈（0，1），C2=［ψ′（1）-ψ′（a）］/2及C3=e-γ-ψ（a），函數

在（0，∞）到（0，-C2C3）上嚴格遞減。特別地，對a∈（0，1）及x∈（0，∞），雙向不等式

成立。

則存在唯一的x0∈（0.103，0.104），使得函數F（x）在（0，x0）上是幾何上凸的，而在（x0，∞）上是幾何下凸的。其中x0是方程xψ′（x）+ψ（x）-logx-2=0的唯一正根。

1 引 理

在本文中，為了證明結論和引用方便，我們需要下面的公式及幾個引理，具體內容如下所述。

下面熟知的ψ函數公式［3］：

其中x∈R+，γ為Euler常數。

如下的引理1.1參見文獻［4］Theorem 1.25，引理1.2（1）參見文獻［16］，引理1.2（2）參見文獻［3］，引理1.2（3）參見文獻［13］lemma 2.2。

引理1.1對-∞＜a＜b＜+∞，設f和g是兩個實值函數，并都在［a，b］上連續，在（a，b）上可微且在（a，b）上g′（x）≠0，如果f′/g′在（a，b）上單調上升（下降），那么函數也在（a，b）上單調上升（下降）。而且，若f′/g′的單調性是嚴格的，則F和G的單調性也是嚴格的。

（2）當x→∞時，且x為正實數，那么

其中B2n為Bernoulli數。

（3）對x∈（0，∞），

證明對g1（x）對數求導得

g′1（x）/g1（x）=g2（x）=ψ（x）-ψ（x+a）。由（6）知ψ（x）是嚴格遞增的，則g2（x）＜0。因此，g1（x）的單調性可證。

證明對數求導得

g′3（x）/g3（x）=g4（x）=ψ（x+1）-ψ（x+a）。由式（1）、（6）知g4（x）＞0，可得g3（x）的單調性。由式（1）及引理1.3可得g3（x）的極限值。

引理1.5對a∈（0，1），C1=1/Γ（a）及C2=［ψ′（1）-ψ′（a）］/2，函數

從（0，∞）到（C2，0）上嚴格遞增。

證明令h2（x）=x［ψ（x+1）-ψ（x+a）］-由（6）知，ψ″（x）在（0，∞）上嚴格遞增，故h′4（x）＞0。因此，根據引理1.1知，h1在（0，∞）上嚴格遞增。

由l’Hospital法則和（5）可得

和

證明 對數求導得

h′5（x）=h5（x）h1（x）=-｛h5（x）［-h1（x）］｝其中h1（x）由引理1.5定義。由引理1.5可知，h′5（x）＜0，故得h5（x）的單調性。由引理1.5得知，h′5在（0，∞）上嚴格遞增，h5（x）的凹凸性可證。

由l’Hospital法則及式（5）、（7）可知

和

2 主要結果的證明

在本節中，將證明本文中的主要結果，同時也將證明擬共形映射中的一個“常數”Bn的結論，進而得到其滿足的精確不等式。

定理1的證明令g5（x）=Γ（x+1）/Γ（x+a）-C1，g6（x）=x2。則g5（0）=g6（0）=0，G（x）=g5（x）/g6（x），且

其中g1（x）和g4（x）分別由引理1.3和引理1.4的證明中定義。從引理1.3、引理1.4、（8）可知：g1（x）和g4（x）在（0，∞）上是嚴格遞減的正函數。由引理1.1可得G（x）的單調性。

定理2的證明令h6（x）=C4-［Γ（x+1）/（C1Γ（x+a））］1/x和h7（x）=x，則h6（0）=h7（0）= 0，H（x）=h6（x）/h7（x），且

由引理1.5、1.6知，h8（x）在（0，∞）上嚴格遞減。根據引理1.1，易得H（x）的單調性。

運用l’Hospital法則及引理1.5、1.6，函數H（x）極限分別為

和

顯然，雙向不等式（4）成立。

定理3的證明對數求導得

根據引理1.2（3）可知，f′1（x）＜0，故f1（x）在（0，∞）上嚴格遞減。

根據引理1.2（2）和等（5）、（6）、（7），函數f1（x）的極限值分別為

和

根據f1（x）的單調性知：存在唯一的x0∈（0，∞），使得函數f1（x）在（0，x0）上為正，而在（x0，∞）上為負。此處，x0為f1（x）=0即xψ′（x）+ψ（x）-log x-2=0的唯一正根。由于f1（0.103）=0.006 19…，f1（0.104）=-0.006 37…，故x0∈（0.103，0.104）。

推論2.1函數H1（n）=2（4-）（n-1）關于n在（1，∞）上嚴格遞增。特別地，對n≥2，有

等號成立當且僅當n=2。其中α1=π2/12和β1=1 -π2/16為最佳常數。

證明 令x=1/［2（n-1）］，則當a=1/2時，函數

其中H（x）見定理2。由定理2得H1（n）的單調性。

其次，取a=1/2，由（7）知C3=4，C2=［ψ′（1）-ψ′（1/2）］/2=-ζ（2）=-π2/6，這里ζ（x）是Riemannζ函數。故

顯然，雙向不等式（9）成立。

注：（1）因Bn與bn、Jn均相關，由上面的結論也可以得到bn和Jn相應的結果。

（2）不等式（9）改進了文中不等式（2）的上下界。

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Some Properties of Gamma Function and Its AppIications

WANG Fei1，ZHOU Pei-gui2a，MA Xiao-yan2b
（1.Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering，Hangzhou 310053，China；2.Zhejiang Sci-Tech University，a.College of Science and Art；b.School of Science，Hangzhou 310018，China）

In this paper，some monotonicity properties of Gamma function are obtained by monotony L’Hospital Rule.A conjecture of Gamma function is solved by applying the rule of geometric convexity according to these properties.Precise estimate of the constant Bnin quasiconformal mapping is improved by using the method of equivalent transformation.

precise estimate；Γ-function；monotonicity；quasiconformal mapping；geometric convexity

O174

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0576-04

2014-03-05

國家自然科學基金資助項目（11171307）；浙江省教育廳科研項目基金（Y201328799）；浙江機電職業技術學院科研項目（A027114018）

王 飛（1985-），男，陜西渭南人，碩士，助教，主要從事Ramanujan模方程及特殊函數研究。