基于波場分解重建多個散射體的數值方法與模擬

夏 赟，王澤文，趙學慧

（1.東華理工大學理學院，南昌330013；2.涼城四中，內蒙古自治區烏蘭察布市013750）

基于波場分解重建多個散射體的數值方法與模擬

夏 赟1，王澤文1，趙學慧2

（1.東華理工大學理學院，南昌330013；2.涼城四中，內蒙古自治區烏蘭察布市013750）

研究了重建多個散射體的逆散射問題。利用波場分解的思想，首先給出了一種基于單層位勢實現散射波和遠場模式分解的算法，將多個不可穿透的散射體產生的遠場模式，分解成與散射體個數對應的多個遠場數據；然后，利用組合牛頓法給出了數值方法，把分解后得到的遠場數據逐個重建多個散射體邊界；最后，通過數值模擬驗證了該算法的可行性。

逆散射；波場分解；組合牛頓法；多個散射體；不適定問題

0 引 言

聲波逆散射問題［1-3］是數學物理反問題研究領域中的重要研究內容之一，有著廣泛的工程應用前景。本文主要研究當入射波遇到不可穿透的聲柔障礙物時的逆散射問題，即考慮時諧聲波eikx·d在非吸收的均勻介質中傳播時，遇到多個不可穿透的柔性無限長柱體的散射問題，其中長柱體的橫截面為Di?R2，（i=1，2，…，N），邊界?Di（i=1，2，…，N）是C2連續可微的。這一問題的數學模型可表示為：給定平面入射波ui（x）=eikx·d，求散射波場us（x）滿足Helmholtz方程Dirichlet外問題，Dirichlet外問題可用下式表示：

其中us（x）是散射波場，d是入射波入射方向，k是波數，式（3）稱為Sommerfeld輻射條件。由文獻［3］知，該散射的正問題存在唯一解，且散射波us（x）有如下漸進關系：

其中u∞稱為散射波場us（x）的遠場模式，它定義在=∈S上，表征了散射波場us（x）在無窮遠處的狀態。由Rellich引理［2-3］可知，散射波us（x）與其遠場模式u∞（?x）一一對應。的形狀，也即重建多個散射體的邊界?Di（i=1，2，…，N）。

在逆散射問題研究中，對單個逆散射的重建和數值模擬的研究比較多，例如有牛頓法［2-3］、Kirsch-Kress迭代法［4］、線性采樣法［5］、探測方法［6］、組合

引理1［2-3］設us（x）∈C2（R2ˉD）為Helmholtz方程Dirichlet外問題（1）-（3）的解，如果us（x）的遠場模式u∞（）=0，則us（x）=0，x∈R2ˉD。

這里，聲波障礙物散射正問題指的是：已知入射波和散射體邊界且滿足Helmholtz方程定解問題（1）-（3），求散射波場us（x）及其所對應的遠場模式u∞）。而本文所考慮的逆散射問題是：已知入射平面波ui（x）=eibx·d及其對應的遠場模式u∞（），反求多個散射體牛頓法［7-11］等，但是，對于多個散射體的重建方法以及數值模擬的研究不多，Hassen等［12］給出了波場分解的思想方法，利用點源法實現多個散射體的重建，但沒有探討其他數值方法；王澤文等［13］研究了多個散射體重建的組合牛頓法，結合非數值方法中遺傳算法，給出了組合牛頓法的初始猜測；Hassen等［14］則討論了多個散射體情形下的正問題，但是沒有給出反問題的數值解。

本文主要利用波場分解的思想方法，結合組合牛頓法研究多個重建多個散射體的數值方法。本文首先給出一種基于單層位勢的波場分解方法與數值模擬結果，然后基于對Kirsch-Kress方法的分析給出了重建單個散射體邊界的組合牛頓法，最后基于波場分解和組合牛頓法給出了逐個重建多個散射體邊界的數值方法與數值模擬結果。

1 波場分解

Hassen等［12］將散射場和遠場模式分解成為不同障礙物散射作用的和，然后利用點源法來計算分解后的散射場，進而由分解后的散射場重建多個散射體。受此啟發，本文利用波場分解的思想方法將遠場模式分解成若干個散射場，然后給出了逐個重建多個散射體的組合擬牛頓法。為簡單起見，僅討論二個散射體的情形。設散射體D包含兩個互不連通的部分D1和D2，即D=D1∪D2且滿足= ?，其中Dj（j=1，2）的邊界上是C2光滑的。

定理2［12］設有邊界是C2光滑的區域G1和G2，且G1I G2=?，G1?和G2?，并記G：=G1∪G2。已知散射體D的散射波場us的一個分解us=+滿足：

上述定理的詳細證明參見文獻［12］。接下來討論波場分解的算法實現。將Helmholtz方程外問題（1）-（3）的解表示成單層位勢的形式，即：

則其對應的遠場模式為：

接下來所給出的散射波場分解的近似方法是：由已知的遠場模式u∞來求滿足定理2條件的散射波場和的近似方法。為此，任選區域B1和B2，且B1I B2=?，G1?和G2?，B1和B2邊界均是C2光滑的。記B=B1∪B2，令

當B包含散射體D時，方程（8）是可解的；但若散射體D不在區域B內，則方程（8）的可解性依賴于（1）-（3）的散射波場是否可以解析延拓進區域D內［3］。另一方面，方程（8）是個不適定的第一類積分方程，即若遠場模式u∞有誤差則將導致解的急劇變化。為此，需要采用Tikhonov正則化方法來求解方程（8），即解正則化方程：

對于密度函數φαj（y）引進單層位勢算子Sj，即定義

因此，上述方法實際上也實現了遠場模式的近似分解，即u∞≈+。從而，可利用通過組合Newton法分別實現散射體Dj的邊界重建。

本文給出的波場分解算法與文獻［12］給出的略有不同，即分解算法是在?Bj上進行的，這樣得到的散射波場（11）在?Gj的外部滿足Helmholtz方程，且和?

?uν

sj在邊界?Gj上都確實存在，而不用考慮它們是極限意義下的存在。

算例1 （波場分解）考慮兩個散射體，它們的邊界分別為：

和

取波數k=1，d=（1，0）T，正則化參數取0.5×10-8和精確的遠場模式u∞進行數值模擬。選取?G1與?G2分別是位于（0，3.5）和（0，-2）半徑為1.7的圓，見圖1-圖2的中心部分的圓。選取?B1與?B2分別是位于（0，3.5）和（0，-2）半徑為1.5的圓的分解結果，分別記為和，此時散射體D位于B的內部；選取?B1與?B2分別是位于（0，3.5）和（0，-2）半徑為0.7的圓的分解結果，分別記為和，此時B不包含D也不在D內。圖1-圖2分別顯示了前后兩次分解所得散射場之差的實部和虛部。圖3給出了和分別對應的遠場模式和。圖4給出了+與u∞的對比結果。

圖1-的結果

圖2-的結果

圖3 分解后的遠場模式

圖4+與u∞的對比

3 重建單個散射體的組合牛頓法

得到密度φ，即

然后，散射波場us用單層位勢表示如下：

其中密度函數φ∈L2（Γ）通過方程（13）計算得到。Kirsch-Kress方法即尋求散射體D的邊界使其在范數意義下ui+us取零的位置，即極小化泛函

從而獲得?D的近似值。由于積分核e-ik?x.y是個解析函數，所以方程（13）是嚴重不適定的。這時需要采用一些正則化的方法去解方程（13），這里選取Tikhonov方法進行求解，即求解方程（13）的Tikhonov正則化方程

其中α為正則化參數，I為單位算子，FΓ為遠場算子，即

上述Kirsch-Kress方法（13）-（17）式，以及單層位勢的連續性，自然地定義一個算子為：

因此，求解方程（19）的Newton迭代法為：

其中G′3（u∞，δ，Γ，γ）h是對應于第三項的γ的Fréchet導數，且易知：

如果不選取內部輔助曲線Γ，在方程（16）直接用近似曲線γ取代Γ，也能得到一個密度函數，故可得到如Kirsch-Kress方法中的散射波場us，即

上式與（14）的不同之處在于積分曲線和密度函數是不相同的。此時，那么方程（19）就變為

采用以下近似Newton法

來求解方程（23），其中G′3（u∞，δ，γ，γ）h=x∈γ。已知遠場模式的測量數據u∞，δ，給定γ的初始猜測γ0，經近似Newton法（24）迭代重建散射體邊界?D的方法即是組合Newton法。

4 多個散射體的重建方法與數值模擬

在重建多個散射體時，始終假設散射體Dj是以（）為中心的星形狀散射體，即其邊界?Dj的參數表示形式

其中rj（t）∈C1（［0，2π］）是取值大于零的實函數。本文提出的多個散射體的重建方法如下。

給定多個散射體的遠場模式u∞，δ，首先由第2小節給出的波場分解算法將u∞，δ分解成到和，然后由第3節給出的組合Newton法分別利用和重建散射體邊界?D1和?D2。

組合牛頓法中，我們用三角函數的參數形式表示γ，即

為了避免反問題陷阱，通過用組合位勢積分方程方法解正散射問題獲得遠場模式的模擬數據，而由前兩節給出的單層位勢途徑求反問題。正反問題算法的詳細參數化離散過程，請參閱文獻［3-4，10，13，15］。為了說明反演方法的穩定性，本文給遠場模式按下述方式加入隨機噪聲：

其中i代表的是虛數單位，“real”和”imag”分別代表的是遠場模式的實部和虛部。在數值模擬中，始終取波數k=1和入射波方向d=（1，0）T，m= 15，N=64，且當δ=0時選取正則化參數為0.5× 10-6而當δ≠0時選取正則化參數為0.5×10-3進行數值模擬。在組合牛頓迭代中，迭代停機準則取

算例2 考慮重建算例1中的兩個散射體的邊界，重建結果見圖5。

圖5 算例2的重建結果

算例3 考慮重建兩個散射體，其中它們邊界的參數方程分別為：和重建結果見圖6。

圖6 算例3的重建結果

5 結 論

本文利用單層位勢的方法，對多個散射體產生的散射波場和遠場模式給出了波場分解算法，即將散射波和遠場分解成與散射體個數相對應的多個散射波及其遠場模式，且給出了數值模擬。然后，分別利用分解后的多個遠場數據，給出了利用組合牛頓法逐個重建多個散射體邊界的方法。通過數值模擬發現，不論是對波場分解的數值模擬，還是重建多個散射體邊界的數值模擬，均表明本文給出的波場分解方案和重建方法是可行的。但是，在重建散射體邊界時，本文所給的重建方法仍然對迭代初值比較敏感，這也是需要我們進一步研究的問題。

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NumericaI Method and SimuIation for Reconstruction of MuItipIe Scatterers Based on Wave FieId Decomposition

XIA Yun1，WANG Ze-wen1，ZHAO Xue-hui2
（1.School of Science，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China；2.Liangcheng Fourth High School，Wulanchabu 013750，China）

This paper studies an inverse scattering problem for reconstruction of multiple scatterers. Applying the idea of wave field decomposition，this paper firstly provides an algorithm for realizing scattered wave and far field model decomposition based on single layer potential to decompose far field mode generated by multiple impenetrable scatterer to multiple far-field data corresponding to the number of scatterers.Then，a numerical method is proposed by combined Newton method.Far-field data gained after decomposition are used to reconstruct the boundary of multiple scatterers.Finally，the feasibility of the algorithm is verified through numerical simulation.

inverse scattering；wave field decomposition；combined Newton method；multiple scatterers；ill-posed problem

O242.1

A

（責任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0580-06

2013-12-22

國家自然科學基金（11161002）；江西省青年科學基金資助項目（20132BAB211014）；江西省教育廳科技資助項目（GJJ13460）；東華理工大學校長基金（DHXK1207）

夏 赟（1982-），女，江西南昌人，講師，碩士研究生，主要從事數學物理反問題的研究。