馬爾科夫對稱離散信道級聯信道容量研究*

王睿甲，王 星，程嗣怡，周東青

（空軍工程大學航空航天工程學院，西安 710038）

馬爾科夫對稱離散信道級聯信道容量研究*

王睿甲，王 星，程嗣怡，周東青

（空軍工程大學航空航天工程學院，西安 710038）

基于有限維的級聯馬爾科夫對稱信道矩陣，其轉移概率的極限一定存在，推導出當n足夠大時，輸出符號的概率分布不依賴于輸入的概率分布，使得信道容量為零，信道阻塞。n為信道級聯的上限。針對主對角元素概率值不同將信道矩陣劃分為惰性信道和靈敏信道，并通過仿真分析得出信道的級聯上限n與矩陣維數無關，與信道矩陣主對角元素呈正相關。

馬爾科夫鏈，對稱離散信道，信道容量，級聯上限

引言

馬爾科夫鏈［1］是通信系統中常見的一類離散信道模型，對于馬爾科夫鏈的信道轉移矩陣（狀態轉移矩陣），文獻［1］中只討論了一步轉移的信道容量問題，對于二元對稱信道，文中指出了其信道容量為零的問題。實際應用中，信道通常是級聯的。對于有限維的實對稱信道級聯后由于極限分布的存在，使得輸出符號熵H（Y）和噪聲熵H（Y|X）相等，使得信道容量C=0［2］。

本文通過分析對稱轉移矩陣的極限分布，推出n步轉移后的對稱信道的極限分布為均勻分布且信道矩陣收斂到一常數，從而使得級聯后的信道容量為零，即信道阻塞。所以，有限維實對稱信道級聯一定會導致信道容量的下降，那么有必要研究實對稱信道理想條件下的級聯上限。

1 對稱離散信道模型

文獻［1］中采用的離散信道數學模型，如下頁圖1所示。圖中輸入和輸出信號都采用矢量表示。輸入信號X=（X1X2… Xi… XN），輸出信號Y=（Y1Y2… Yi… YN）其中i=1，2，…，N表示時間或空間的離散值，條件概率P（y|x）描述了輸入和輸出之間的統計關系。概率空間［X P（y|x） Y］描述了信道的統計特性。

傳遞概率可用矩陣形式表示：

圖1 離散信道數學模型

稱為信道的傳遞矩陣又稱為信道矩陣，式（2）表示該矩陣行和為1。本文研究的信道矩陣為實對稱信道矩陣如下所示：

根據信道矩陣的特點有：

2 對稱離散信道阻塞分析

對于對稱信道矩陣P，可以計算r（P）=N，即P是滿秩矩陣，特征值為：

由于P滿足式（2），且有一特征值為1，則λ1對應的特征向量為：

即下式成立：

文獻［2］中討論了馬爾科夫鏈當n→∞時轉移概率pij（n）的極限問題，即信道矩陣級聯的極限問題，給出了遍歷馬爾科夫鏈轉移概率的極限滿足：

pj稱為轉移概率的極限分布。文獻［2］中給出了有限維遍歷平穩馬爾科夫鏈極限分布的求法［3］，極限分布pj滿足：

式中P為實對稱信道矩陣［4］，PT=P推出：

根據式（7），可以得出：

信道級聯模型如圖2所示。

圖2 信道級聯圖

文獻［1］中給出的對稱信道，信道容量計算公式為：

因此，信道容量［5-6］為：

由于級聯后的信道P（Y）=PJ，輸出符號一定是等概分布的，所以推出：

不難發現級聯后H（Y）=H（Y|X）符號熵等于噪聲熵，此時的信道容量［7］：

文獻［1］中指出了二元強對稱信道，信道容量為零，說明這種信道存在信道阻塞的問題，經過以上的推導，不難發現對于一般的實對稱信道，當信道級聯［8］時，會存在信道矩陣收斂到常數問題，從而使得信道容量為零，發生信道阻塞問題。因此，對于實對稱信道矩陣而言可得出：實對稱信道矩陣n步轉移收斂后的信道容量為零。

該結論說明，對于一般的實對稱信道在理想的條件下，信道的級聯一定是存在一個上限的。

3 仿真與分析

通過分析，發現對稱信道存在級聯的上限，對于不同的主對角概率的對稱信道而言，其級聯上限有什么區別，呈現何種規律是我們所關心的。

仿真假設信道模型是實對稱的轉移矩陣，主對角概率a∈［0.1，0.9］，以步長0.2連續取值，矩陣維數從2維到100維，考察矩陣維數對轉移矩陣級聯上限是否存在影響，仿真結果如圖3所示。

圖3 矩陣維數影響圖

從圖中看出，隨著矩陣維數的增加，級聯上限趨于穩定，即轉移矩陣級聯上限與矩陣維數無關。隨著轉移矩陣P中主對角元a的增加，信道級聯的上限增大，對于a值較大的惰性信道（a=0.9），級聯上限相比a值較小的靈敏信道有明顯的增加。

4 結 論

實對稱信道矩陣的極限分布一定存在且為均勻分布，實對稱轉移矩陣級聯后的信道容量為零，即存在級聯上限。

通過仿真發現級聯上限與信道矩陣維數無關，依賴于信道主對角元素的大小，主對角元素越大，級聯上限值越大。

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［3］汪榮鑫.數理統計.［M］.西安：西安交通大學出版社，1986：56-57.

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［7］周炯槃，丁曉明.信源編碼原理［M］.北京：人民郵電出版社，1996.

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Analysis on Channel Obstruct of Markov Syemmetry Disperse Channel Capacity

WANG Rui-jia，WANG Xing，CHENG Si-yi，ZHOU Dong-qing
（School of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi'an 710038，China）

Based on markov syemmetry disperse channel in series，the limit probability exists.When being infinite，output probability is independ of the input probability making the Channel Capacity be zero and channel obstruct.n is the upper limit of the cascade channel.The channel is classified as two types by the value of main diagonal，one is inertia channel，the other is delicacy channel.The simulated analysis shows that the upper limit of the cascade channel isn't related to the dimension of matrix but related to the the value of main diagonal.

markov chain，syemmetry disperse channel，channel capacity，upper limit

TN97

A

1002-0640（2014）11-0040-03

2013-08-20

2013-11-17

陜西省自然科學基金資助項目（2012JQ8019）

王睿甲（1990- ）男，陜西咸陽人，碩士研究生。研究方向：信息與信號處理。