整體式氣浮導軌的等間隙設計方法

宋偉，張君安

(西安工業大學 機電工程學院，西安 710021)

用多個氣浮墊裝配動導軌時，氣浮墊用球鉸支撐，這樣可以自找準平衡位置，保持氣膜間隙相等，不過需用到滑架，這時動導軌的體積大承載能力小(圖1)[1]。而用整體式導軌裝配動導軌時，動導軌的體積小承載能力大(圖2)[2]。目前使用氣浮導軌工作時，在設備的位置坐標以及承載力的計算方面，坐標的標定都是基于氣膜為等間隙的狀態。由于整體式氣浮導軌與工作裝置的連接通常是固定的，因而氣膜間隙越趨于平行，工作精度越高。但工作過程中，整體式氣浮導軌由于受到載荷或慣性力的作用，必然會產生偏載，導致導軌間隙不相等，即導軌的運動平面與固定平面不平行，從而產生偏角，直接改變了與導軌固連裝置預期的空間坐標(如圓柱度測量儀的觸頭，砂輪修形器的金剛筆等)。這種偏角也會使導軌的承載力發生變化，并且由于氣膜厚度很小，很小的偏角就有可能引起刮蹭，影響軸承穩定性。

圖1 分離式氣浮墊導軌簡圖

圖2 整體式氣浮導軌簡圖

如果能對導軌加一個預偏角，來抵消加工過程中由外載產生的偏角，從而恢復等間隙狀態，就可以大大提高導軌穩定性及其加工精度。整體式氣浮導軌的等間隙設計方法就是通過同時約束承載力與偏載力矩，對多節流孔整體式氣浮導軌的各節流孔內徑進行設計，從而控制氣體壓力分布，對偏載力矩進行預補償，解決偏角問題，進而從理論上消除整體式氣浮導軌的工作誤差，提高其工作精度。

1 等間隙設計原理

如圖3所示，可將氣浮導軌偏載簡化為斜面中心點的合力F，以及兩個坐標的偏載力矩Mx，My。圖中n1，n2為兩個斜面的法線，夾角為θ，即為文中要討論到的偏角。

圖3 導軌受偏載簡圖

由圖3可見，外載垂直于斜面，而非豎直向下。故可將F分解為水平力和豎直力。而水平力不會在此產生偏載，因而，要抵消偏載使導軌保持水平，可只討論豎直力Fz。由靜力學可知，氣膜壓力提供的承載力應該等于Fz。而氣體壓力對x軸，y軸的總力矩應分別等于Mx，My。利用氣體質量守恒原理確定的連續條件[3]，可算出偏載時各節流孔出口壓力[4]，通過Reynolds方程可得到偏載時的壓力分布，對其積分可得到Fz，Mx，My。

如圖4所示，再通過反推法：先令氣浮導軌兩平面平行，根據Reynolds方程，算出此時各節流孔出口壓力，與上述得到的一組節流孔出口壓力進行比較，得出每個節流孔出口壓力變化量；按其大小進行排序，為每個節流孔設定不同的步長，同時調節8個節流孔出口壓力，對承載力和偏載力矩進行耦合，直到使等間隙條件下得到的F1，Mx1，My1能與偏載狀態下的Fz，Mx，My分別相等；最后確定滿足承載力與偏載力矩約束條件的一組節流孔出口壓力，根據氣體質量守恒原理，可算出各孔內徑值，進而解決給定偏載下承載面的偏角問題。

圖4 校正后的導軌受力簡圖

2 控制方程

2.1 Reynolds方程

Reynolds 方程是整個氣體潤滑力學的核心，流體潤滑的基本內容均是求解 Reynolds 方程以揭示流體潤滑膜中壓力的分布規律。決定壓力分布的方程式可由 Navier-Stokes方程和連續方程經過潤滑條件下的近似處理推導而得到。文中假設氣浮導軌為靜態，系統為定常狀態，將Reynolds方程簡化后得[5]

(1)

式中：p為氣膜中氣體壓強，h為氣膜厚度。

2.2 流入軸承承載氣膜氣體流量

如圖4所示，氣浮墊承載氣膜的流量win1～win8的計算公式為[4]

(2)

式中：R為氣體常數；C0為噴嘴流量系數；P0為節流孔的出口壓力；Ps為供氣壓力；T0為供氣溫度；k為絕熱指數；ψi為第i個供氣孔的流出速度系數；di為第i個供氣孔的直徑；hii為第i個供氣孔處的氣膜厚度；(win)i為第i個供氣孔的流入流量。

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2.3 流出的氣體質量

(3)

式中：h為氣膜與大氣邊界處的間隙，a，b為導軌在x軸方向長度，c，d為導軌在y軸方向長度。

3 數值分析求解

3.1 有限差分法解Reynolods方程[6]

令f=p2，代入Reynolods方程，得

(4)

對于中間點用中心差分，得到

(5)

再利用超松弛迭代就可求出(1)式。此處選用的差分都為二階精度。

3.2 邊界條件

如圖3與圖4所示，假設導軌四周與大氣相接，則x=a，x=b時，p=pa；y=c，y=d時，p=pa，其中pa為大氣壓強。

3.3 辛普森公式

如圖4所示，設x，y平面區域為D，并把x軸長度分為m份，把y軸長度分為n份，根據已算出偏載時各節流孔出口壓力[4]，通過Reynolods方程可得到壓力分布p(i,j)。設斜面中心O點氣體壓強為po，pa為標準大氣壓，可根據以下公式得到Fz，Mx，My，即

(6)

(7)

從而推出雙重積分展開公式為

(8)

括號中3項分別用辛普森公式展開

(9)

最終可得

(10)

如果令f(x,y)=p(i,j)-pa，然后把上面公式中的a,b,c,d長度分別用±dx,±dy來代替可得

(11)

相當于把整個平面由坐標原點開始，分成很多個由9個點組成的小區域，根據(11)式可以算出每個小區域的承載力。然后根據i，j的循環語句進行疊加計算出整個面上的承載力。令f(x,y)=[p(i,j)-pa]x，或f(x,y)=[p(i,j)-pa]y可分別求得對y軸和x軸的力矩，辛普森展開式這里不再列舉，與求承載力方法相同。此處辛普森公式具有三次代數精度。

4 實例與分析

以圖2所示導軌的下部氣膜為例，設此氣膜在導軌受偏載狀態下，上、下表面如圖3所示，而在校正為等間隙氣膜以后，氣膜的上、下表面如圖4所示。為了在理論上準確地分析偏載對氣浮導軌的影響，以氣膜間隙為5 μm 為例，計算在極小氣膜間隙情況下，將不同偏角的氣浮導軌調整為等間隙導軌時所對應的各節流孔內徑設導軌的x方向邊長為120 mm，y方向邊長為60 mm，雙排8個固有孔節流供氣配置，8個節流孔序號如圖4所示，孔徑d=0.1 mm。設潤滑氣體為常溫空氣，供氣壓力Ps=0.6 MPa，動力黏度μ=1.833×10-10kgs/cm2，絕熱指數k=1.4，密度ρ=1.226×10-16kg/cm3，氣體常數R=29.27 m/K，常溫T=288 K，噴嘴流量系數C0=0.85。取x，y方向的網格劃分數m=40，n=20，取σ=10-4，誤差流量ε=3%，得到3種偏角下的節流孔內徑設計結果如下：

(1)如圖5所示，校正偏角為0.001 1′時,節流孔內徑d1=0.202 mm，d2=0.309 mm，d3=0.131 mm，d4=0.066 mm，d5=0.254 mm，d6=0.049 mm，d7=0.079 mm，d8=0.058 mm。此時承載力1 479 N。

(2)如圖6所示，校正偏角0.002 9′時，節流孔內徑d1=0.989 mm，d2=0.754 mm，d3=0.136 mm，d4=0.035 mm，d5=0.203 mm，d6=0.044 mm，d7=0.069 mm，d8=0.049 mm。承載力為1 439 N。

圖6 偏角為0.002 9′時,校正前、后的平面圖與壓力分布圖

(3)如圖7所示，校正偏角0.004 1′時，節流孔內徑d1=1.405 mm，d2=1.637 mm，d3=0.408 mm，d4=0.051 mm，d5=0.888 mm，d6=0.009 mm，d7=0.089 mm，d8=0.009 mm。承載力為1 407 N。

圖7 偏角為0.004 1′時，校正前、后的平面圖與壓力分布圖

由以上3種偏載情況可以得出：

(1)由于氣膜厚度相對于xy平面長度非常小，極小的偏角在整個平面上能產生較大的傾斜，如上述3個例子中偏角都不超過0.003′，但平面的傾斜就已經很明顯了，所以不能因為傾斜角度小而忽略由此造成的誤差。

(2)顯然以氣膜中心厚度為5 μm為基準，承載力會隨著偏角的變化而變化，并且軸承的傾斜角越大，氣浮墊損失的承載力就越多。在超高精度加工中如果盲目的用等間隙情況下的承載力來代替偏載時的承載力就會導致計算誤差，并且誤差會因偏載角度的增大而增大。

(3)對比3個實例可知，校正后的氣膜壓力分布不如偏載時那么均勻。這是因為把斜面校正成等間隙平面后，本來氣膜厚度低的地方變高，而厚度高的地方變低。根據Reynolods方程，原來壓力較大的區域整體壓力變小，而原來壓力較小的區域整體壓力變大，導致偏載力矩發生變化。要保證導軌調平以后承載力和力矩都不變，就要增大被減小區域的節流孔出口壓力，從而增大其所在區域的整體壓力，同理則應減小被增大區域的節流孔出口壓力。這樣在承載力不變的條件下對力矩進行了補償，因而校正后的壓力分布圖顯得更尖銳陡峭，不如校正前平緩。

5 結束語

通過設計節流孔內徑，解決了整體式氣浮導軌由偏載所產生的偏角帶來的生產誤差問題，從理論角度得到了一套實現對整體式氣浮導軌等間隙調平，提高氣浮導軌的工作精度和穩定性的方法。

經數值分析的結果可知，即便是5 μm的氣膜間隙，偏角在0.003′以內，氣膜承載力也會隨偏角的增大而減小近100 N，這也說明了在偏載狀態下，氣浮導軌的誤差不僅僅影響工作精度和穩定性，也會造成承載力的損失。

由于文中方法是基于理論上對氣膜間隙的精確調平，在生產加工時存在一定的局限性：當偏角過大時，理論得出的節流孔內徑設計方案會由于某些節流孔內徑過小而難以加工，所以在大傾斜度的情況下，要通過變節流孔內徑來對斜面進行嚴格的調平，以目前的生產水準來說很難實現。用此方法可以得到各節流孔內徑比例關系，在生產能力許可的條件下，對節流孔進行改造，雖不能完全根據計算結果的要求生產超小內徑節流孔，但仍能實現減小偏載傾斜度的目的。