大學數學課程研究型教學對教材編寫的要求

韓效杰，胡洪安

（1.機械工業出版社 高等教育分社，北京100037；2.周口師范學院 數學與統計學院，河南 周口466001）

1 研究型教學的發展情況

2005年教育部《關于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》［1]明確指出：“積極推動研究型教學，提高大學生的創新能力.”有的高校在研究型教學的探索過程中，采取了減少班容量，配備更多輔導教師的方式來提高教學質量.而多數高校在教師資源緊張、課時繁重的現實情況下，只能采取大班研究型教學的模式.這種大班研究型教學的模式，在美國很多高校已經探索實施了10多年時間.中科院外籍院士、哈佛大學的講座教授Mazur博士，在哈佛大學全校物理課程中實施的大班研究型教學法——PI教學法［2]，是很成功的教學模式，在教學界影響很大.密歇根州立大學杰出教授Bauer博士，專門針對大學物理大班研究型教學編寫了配套教材［3]，在美國市場占有率多年排在前三位.

在數學課程大班研究型教學方面，國外已經開展并系統研究了10多年時間.例如，都柏林理工大學Marisa Llorens教授開展大班研究型教學，并利用在線視頻來分發研究問題［4]；荷蘭HANZE應用技術大學的DingNing教授開展了統計學大班研究型教學［5]；加州大學圣地亞哥分校在“數學141（微積分初步）”課程中使用投票器進行大班研究型教學［6]；Carroll學院在線性代數課程中使用討論加投票的方式進行研究型教學［7].

國內對數學課程大班研究型教學的研究和實踐也很豐富.例如，大連理工大學在高等數學課程中進行了研究型教學［8]；南華大學在數學課程中進行了研究型教學的嘗試［9]；哈爾濱工業大學研究了研究型教學的管理建模［10]；電子科技大學在線性代數課程中嘗試了研究型教學［11]；大連海洋大學在公共數學選修課中嘗試了研究型教學［12].

研究型教學將在更大范圍內展開，而市場上的主要教材還沒有就此做好準備.

2 研究型教學模式對教材的要求

2.1 教學模式決定了教材在教學環節中扮演的角色

研究型教學是課堂時間大部分由學生的“研究活動”和“交流活動”占用的教學方式.而傳統課堂教學模式的課堂時間主要由教師傳授知識的活動占用.

教師的角色在不同教學模式下有很大差異.研究型教學模式下，教師在課堂上的角色是一個綜合的角色.教師在課堂上的主要時間，用來組織學研活動、發現學生學習的弱點、控制學生自主學習和交流的時間和節奏等.而在傳統教學模式下，教師在課堂上的角色主要是知識的傳授者，教師在課堂上的主要時間，花在把教學大綱的知識內容詳細講授給學生的活動上.因此，由傳統教學模式轉變為研究型教學模式，教師的工作內容發生了根本變化.

教材在教學環節中扮演的角色在不同教學模式下有很大差異.在研究型教學模式下，教材是學生學習大綱知識的主要渠道，學生在上課前就要把這一個教學環節應該掌握的知識在課前進行預習，并自主做各種練習.學生在課堂上的時間，主要都花在研究和交流上.教師提出的研究問題，要求學生對定義或者定理有準確和深入的理解.雖然用于研究型教學的題目難度不高，一般學生在理解所學知識的情況下，有能力在課堂上利用三至五分鐘的時間解決.但是學生如果沒有進行預習，想要在課堂上臨時學習再去解決問題，幾乎是行不通的.傳統教學模式下，教材主要是用來輔助教師講授的，學生在課堂上先聽教師講解，課后再閱讀教材時已經聽過老師的講授，教材并不是學生第一次獲取知識的渠道.

2.2 教材編寫的具體建議

鑒于在研究型教學中，教師角色和教材角色有很大轉變，教材應該主要面向學生自學的需求編寫.對于數學教材來說，這需要在很多方面進行改革.

2.2.1 增加情境創設

在傳統教學模式中，教師在講授一個數學概念或者定理之前，總會想辦法創設一種情景，將學生引入到一個對某種數學工具的需求上.這一般會通過一個有針對性的問題.有時是具體的數學問題，比如，講解矩陣的對角化之前，通過提出矩陣的多次冪的數學問題，來把學生引入一個情景，該情景需要把矩陣對角化來簡化計算.有時是實際生產或社會生活的問題，比如，在講解得出自然對數e的極限時，通過提出一個儲蓄問題，即問存款按月結息復利、按天結息復利、按小時結息復利……，按無窮小時段結息并計算復利時，利息到底應該有多少，是無窮大還是收斂到一個具體的數值.這就把學生引入到需要求一個極限的情景中，這個極限即可得出自然對數e.

在自學時，學生主要通過閱讀教材來學習.因此，教材就要努力在重要數學定義和定理的前面，增加情景創設的內容.相比以前的教材，就要在這些方面增加篇幅，用生動的語言、精美準確的圖片等手段，來形成如同教師親授一樣的情景模式.

2.2.2 詳細給出歸納分析步驟

在傳統教學模式中，教師在講授一個數學定理或者命題時，總會進行一些分析和歸納，針對問題的特點，引導學生進行一些思考，走一些“彎路”，經過一些努力之后，才把問題解決.解決問題之后，再把推理的過程整理成一個完善的、演繹的證明或者解答過程.學生在這個過程中，參與了從分析到歸納，再到整理演繹的全過程，能夠比較好地獲得分析解決問題的能力.

在自學時，需要使學生通過閱讀教材，也能獲得這種能力.為傳統教學模式編寫的教材，就不能滿足這種需要.因為，傳統的教材往往強調系統性和演繹性.對于已經在教師引導下進行了分析和歸納的學生來說，教材中給出的證明越完美、越順暢越好，因為越是這樣，越能夠高效地進行復習和總結吸收.

因此，針對研究型教學編寫的教材，要把循序漸進的分析和歸納的過程，盡可能地展現給學生.2.2.3 增加嵌入式提問

在傳統教學模式中，教師在講授的過程中，會安排一些小的提問，來引起學生的思考.有的問題是類比的，比如函數極限和數列極限性質的異同，多元函數可微和一元函數可微的異同.有的問題是抽象的，比如講解數域時，問能不能把“＋”僅僅視為一種符號來考慮代數關系的性質，這時1＋1＝2是唯一的嗎？有的問題是反直覺的，比如講解集合的勢時，（1，2）和（1，4）哪個區間包含的實數更多？等等.

在自學時，學生就需要教材上恰當的地方出現這樣的嵌入式提問.因為學生在通過閱讀教材學習時，思維主要以記憶和理解為主，容易自我限制在一個范圍內，不容易自主提出問題.傳統教材嵌入這類問題的往往很少，因為這類問題在學生聽老師講解之后再接觸時，大多不如第一次接觸問題時那么有效.有的甚至完全失去了作用.

因此，針對研究型教學編寫的教材，要在合適的地方，頻繁地嵌入一些問題，使學生自主學習時能夠進行更多思考.

2.2.4 增加來龍去脈的介紹和歷史傳承

在傳統教學模式中，教師在講授的過程中，會穿插一些來龍去脈的介紹，來提醒學生數學研究和發展的本來面目，并非是教材上那種完美的形態.比如，在講微積分符號時，介紹萊布尼茨發明的符號如何促進了微積分的發展.比如，泰勒公式的發現在當時的學界產生了非常大的影響，因為人們發現了一種用多項式逼近可微函數的強大的工具.在介紹用極限求圓周率時，可以介紹祖沖之計算圓周率時使用的計數方式.在講解矩陣理論時，可以介紹行列式的概念在歷史上先于矩陣而出現.

因此，針對研究型教學編寫的教材，要把教師在課堂上的這種安排，以及教師想講授的，但是限于課堂時間不能如愿的內容，吸收進來，使學生自主學習時能夠以發展的眼光來看待數學，并提高學生懷疑的動力和勇氣.

2.2.5 具體介紹數學的應用

在傳統教學模式中，教師在講授的過程中，對數學應用的介紹一般比較模糊，往往只有教學大綱上有的較為明確的應用才會具體介紹.而對于數學在其他領域的應用，往往只是提到在哪個領域有所應用，而沒有明確說明如何應用.比如，教師經常講數學在天氣預報領域得到很好的應用，而實際的情況是，天氣預報領域應用數學是非常晚的事情，直到20世紀才開始嘗試，到大規模計算機的成本降低后才開始減少人工預報的工作量，而現在很多國家的天氣預報依然采取專家投票的方式，而不是利用大規模數據進行數學建模.

因此，針對研究型教學編寫的教材，書中的數學應用的介紹要么不介紹，要么就要具體一些，至少要保證不使學生產生盲目的情感性的好惡.2.2.6 結合云計算、二維碼、移動和網絡技術

傳統教材中，很多內容安排受到篇幅、版式等等紙質書的限制.而在當前校園中，校園網絡基礎設施建設已經非常完善，學生手中的智能手機、平板電腦等設備也非常普遍，這就為紙質教材的延伸提供了有利的契機.

一些由于篇幅、顏色或者尺寸等原因不方便放在紙質書上的素材，可以放在云端，利用二維碼來給出鏈接.學生可以利用智能手機或者平板電腦等帶有攝像頭的設備，通過掃描書上給出的二維碼來訪問這些資源.

對于書中的習題，可以在習題旁邊給出二維碼鏈接，通過鏈接學生在做完練習之后可以直接通過掃描二維碼得到建議答案來驗證自己的計算.對于有疑問的同學，可以通過點擊某個按鈕來得到關于該題目的分步驟的提示，還可以通過點擊某個按鈕來獲得題目的詳細解答.

3 結語

教材編寫是一項需要長期堅持努力、厚積薄發型的工作.編寫周期往往長達一至兩年，而更新版次往往要經過三至五年的努力.因此，在編寫教材之前，認清教學領域里針對研究型教學發生的變化十分重要.只有針對研究型教學的需求，根據學生和教師需求，提升每一個細節的使用體驗，才能編寫出符合時代要求的好教材.

［1]中華人民共和國教育部.關于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見［EB／OL].［2014-02-15].http：／／www.moe.gov.cn／pubicfiles／business／htmlfiles／moe／moe-307／200505／7444.html.

［2]Catherine H.Crouch，Eric Mazur.Peer Instruction：Ten years of experience and results［J].American Journal of Physics，2001，69：970.

［3]Wolfgang Bauer，Gary Westfall.University Physics with Modern Physics［M].NY：McGraw-Hill，2010.

［4]llorens M.Use of on-line video for mathematics peer instruction：apilot experience［C].Valencia：IATED，INTED，2013.

［5]Ning Ding，Xiaoyan Xu.Using peer instruction with hints in introductory business statistics［J].Journal of International Education in Business，2014，7（1）：60-71.

［6]Rasmussen Chris.Math 141Precalculus［EB／OL].［2004-02-11].http：／／sdsu-dspace.calstate.edu／handle／10211.3／108203.

［7]Kelly Clinea，Holly Zulloa，Jonathan Duncanbc，et al.Creating discussions with classroom voting in linear algebra［J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，2013，8：1093.

［8]梅建琴，鄧玉萍.淺談《高等數學》中的研究型教學方法［J].課程教育研究，2013（4）：125.

［9]朱暉，王紅勇.大學數學研究型教學模式探索［J].課程教育研究，2013（22）：156.

［10]葛虹，馮玉強，韓偉一.基于研究型教學理念的數據分析與管理建模課程建設［J].大學數學，2013（1）：61-66.

［11]李紅，李厚彪，黃廷祝.《線性代數》研究型教學初探［J].大學數學，2013（4）：151-154.

［12]張麗梅，趙學達.普通高校涉海專業公共數學選修課教學的改革探討［J].大學教育，2013（3）：109-110.