一種對稱α穩定分布噪聲環境下DOA估計新算法*

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(信息工程大學 信息系統工程學院，鄭州 450002)

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一種對稱α穩定分布噪聲環境下DOA估計新算法*

馬金全**，葛臨東，童 莉

(信息工程大學 信息系統工程學院，鄭州 450002)

脈沖噪聲環境下波達方向(DOA)估計是陣列信號處理領域一個新興研究方向。針對α穩定分布噪聲環境下經典MUSIC算法性能退化的問題，提出了一種新的基于非線性壓縮核函數(NCCF)的DOA估計算法。該算法利用基于NCCF的有界矩陣代替了MUSIC的協方差矩陣，通過對有界矩陣進行特征分解確定信號子空間和噪聲子空間，借用MUSIC譜估計公式進行譜峰搜索，得到DOA的估計值。仿真結果表明，NCCF-MUSIC算法運算復雜度較低，相比于基于分數低階統計量(FLOS)的MUSIC方法和基于廣義類相關熵(GCAS)的MUSIC算法，該方法具有更好的準確度和穩定性。

波達方向估計; α穩定分布; 非線性壓縮核函數; MUSIC 算法; 非高斯信號處理

1 引 言

波達方向(Direction Of Arrival,DOA)估計是陣列信號處理的重要研究內容之一，在雷達、聲納、通信等領域具有重要的應用價值。多重信號分類(MUSIC)算法在特定條件下具有較好的分辨力、估計精度和穩定性，現已成為一種DOA估計的經典方法[1]。近年來，隨著α穩定分布理論的研究進展，許多結果表明用α穩定分布來描述大氣噪聲和人為脈沖干擾優于采用高斯分布的模型[2]。為了提高脈沖噪聲環境下MUSIC算法的估計性能，多種新算法被提出，例如FLOM-MUSIC[3]、TF-FLOM-MUSIC[4]、GCAS-MUSIC[5]等。然而，上述算法要么依賴于對穩定分布噪聲特性參數的先驗知識，要么算法實現復雜度較高，從而影響了算法的實際應用。

在對稱α穩定分布噪聲條件下，本文提出了一種新的基于壓縮核函數的MUSIC算法(簡稱為NCCF-MUSIC)，該算法不依賴于對噪聲先驗知識的了解，并且算法復雜度低，具有良好的估計穩定性。

2 信號處理模型

2.1均勻圓陣MUSIC算法

均勻圓陣陣列結構圖如圖1所示，圓陣半徑為r，陣元個數為M。假設信號個數為D，sk(t)為波長λ的遠場信號源(k=1,2,…,D)，入射方向分別為(θk,βk)，其中θk為信號方位角(0≤θk≤2π)，βk為信號俯仰角(0≤βk≤π/2)；假定信號互不相關，各陣元噪聲ni(t)為相互獨立(i=1,2,…,M)的高斯噪聲，并與信號不相關，則陣列輸出為

x(t)=As(t)+n(t)

(1)

其中：

x(t)=[x1(t)x2(t) …xM(t)]T
s(t)=[s1(t)s2(t) …sD(t)]T
n(t)=[n1(t)n2(t) …nM(t)]T
A=[a(θ1,β1)a(θ2,β2) …a(θD,βD)]

且a(θi,βi) (i=1,2,…,D)定義為

(2)

其中，μi=sinβi(2πr/λ),γn=2π(n-1)/M,(n=1,2,…,M)。此時接收信號的協方差矩陣為

R=E[xxT]=ASAT+σ2I

(3)

式中，σ2為噪聲方差，S=E[ssT]，I為單位矩陣。

圖1 均勻圓陣陣列結構圖Fig.1 Structure of uniform circular array

對R作特征分解，可得特征值λ1≥λ2≥…≥λD≥λD+1=…=λM。其中，小特征值是由噪聲貢獻的，由其對應的特征向量張成了噪聲子空間EN；由前D個大特征值對應的特征向量張成了信號子空間ES。

由于信號子空間ES與噪聲子空間EN正交，可得標準MUSIC算法譜函數公式為

(4)

P(θ,β)的峰值對應的方向即為信號源方向。

2.2穩定分布與幾何信噪比(GeometricSNR)

穩定分布一般由其特征函數E[eiθX]給出[6]：

E[eiθX]=exp{iμθ-γ|θ|α[1-iβsgn(θ)ω(t,α)]}

(5)

式中，α為特性參數(0<α≤2)，決定分布的拖尾程度，α=1時ω(t,α)=(2ln|θ|)/π，α≠1時ω(t,α)=tan(απ/2)；μ為位置參數(-<μ<)，表示分布的中值或均值；γ為尺度參數(γ>0)，描述分布的分散程度；β為對稱參數(-1≤β≤1)，確定分布的斜度，當β=0時稱為對稱α穩定分布(簡記為SαS)。

對于任意服從α穩定分布的隨機變量X，當0<α<2時，滿足

E[|X|p]<, 0≤p<α

(6)

E[|X|p]=,α≤p

(7)

當α=2時，SαS分布為高斯分布，此時有

E[|X|p]<, 0≤p

(8)

由于α穩定分布噪聲不存在有限的二階矩，因此通常采用幾何信噪比(GSNR)設定信號與噪聲的功率比[7]：

(9)

2.3穩定分布噪聲環境下的DOA估計

對于服從α穩定分布的隨機變量(0<α<2)，一般不具有有限方差，因而不能用基于方差或二階統計量有限的假設進行信號處理，故而基于二階統計量的MUSIC算法不再適用，通常利用分數低階矩(FLOM)進行分析處理。

定義：對于聯合SαS分布的隨機變量X和Y，其特征指數(0<α≤2)，則定義X和Y的分數低階協方差(FLOC)為[8]

(10)

式中運算<·>的含義為

=|z|p-1z*

(11)

文獻[3]提出的FLOM-MUSIC算法用FLOM矩陣代替MUSIC算法的協方差矩陣進行DOA估計，取得了較好的效果。在此基礎上，其他學者又提出了PFLOM- MUSIC[9]、數據加權分數低階DOA[10]等算法，有效改善了經典MUSIC算法的性能。但由于這些算法必須先估計出特性參數α，故而影響了其應用。

文獻[4]提出了一種空間時頻多重信號分類TF- FLOM-MUSIC算法，該算法在Wigner-Ville分布(WVD)的基礎上，定義了x(t)的分數低階矩空間時頻分布矩陣(FLOM-STFDM)Z(t,f)={Zij(t,f)}(i,j=1,2,…,M)，其中,

(12)

式中,xi(t)和xj(t)表示第i個和第j個接收信號，N為數據矩形窗的長度，0

為了克服特性參數估計帶來的不利影響，文獻[5]提出了一種基于廣義類相關熵的MUSIC算法，該算法定義了SαS分布隨機變量X和Y的廣義類相關熵(GCAS)

(13)

式中,σ為核長，a、b為正常數。

GCAS-MUSIC算法用基于GCAS的矩陣代替協方差矩陣進行DOA估計，在較低信噪比條件下得到高精度的DOA估計，但是該算法仍然存在計算復雜度較高的問題。

3 基于非線性壓縮核函數的DOA估計

3.1非線性壓縮核函數及其性質

隨機變量X和Y同服從參數為α的SαS分布(1<α≤2)且μ=0，定義其非線性壓縮核(Nonlinear Compress Core，NCC)函數

(14)

式中，Y*為Y的共軛，實常數σ≥1為尺度因子。

命題1：基于NCCF的二階統計量是有界的，且

(15)

=|X|p-1X*。

證明：假設隨機變量X和Y的聯合概率密度函數為p(x,y)，則

(16)

(17)

由于聯合概率密度函數p(x,y)≥0，若在定義域-

(18)不難發現，函數w(x,y)和v(x,y)具有如下對稱特性：

w(-x,y)=w(x,-y)=-w(x,y)
v(-x,y)=v(x,-y)=-v(x,y)

(19)

w(x,y)=w(-x,-y),v(x,y)=v(-x,-y)

(20)

又由于

(21)

根據函數w(x,y)和v(x,y)的對稱特性，若要式(18)成立，僅需證明0≤x,y<時下式成立：

(22)

顯然，x=y=0時等號成立；0

(23)

又由于

(24)

故而命題得證。

3.2基于NCCF的DOA估計：NCCF-MUSIC算法

根據式(14)的定義，對于均勻圓陣輸出信號x(t)，本文構建了類似于協方差矩陣的基于NCCF的有界矩陣CM×M，其第i行第j列元素Cij可表示為

(25)

式中xi(t)和xj(t)分別表示接收信號矢量的第i個和第j個信號,則其估計值為

(26)

其中，xi(k)和xj(k)分別為xi(t)和xj(t)的采樣數據，L為快拍數。

根據命題1的證明可知，CM×M是有界的。因此，類似于MUSIC算法中的協方差矩陣，基于NCCF的矩陣CM×M同樣可進行特征值分解(EVD)，形成信號子空間和噪聲子空間，從而可以應用于DOA估計。NCCF-MUSIC波達方向估計算法流程如下：

式中,0≤θ≤2π，0≤β≤π/2;

4 仿真實驗與結果對比

設定接收陣列為陣元個數M=8的均勻圓陣，陣元半徑為r=λ/2(λ=c/fc)。利用MATLAB，設定幾何信噪比GSNR=20 dB，快拍數L=2 048，尺度因子σ2=64，SαS噪聲的特性參數α=1.5；產生4路發送信號si(t)=cos(ωct+sinωit)，其中載波頻率為fc=7 MHz，f1=100 kHz，f2=200 kHz，f3=300 kHz和f4=500 kHz。將4路信號分別從不同的方向(θ1,β1)=(50°,15°)，(θ2,β2)=(130°,40°)，(θ3,β3)=(200°,55°)和(θ4,β4)=(315°,70°)進入陣列，圖2給出了NCCF-MUSIC算法的仿真結果。

圖2 基于NCCF-MUSIC算法的譜估計Fig.2 Spectrum estimation based on NCCF-MUSIC method

4.1不同噪聲特性對算法的影響

定義DOA估計的準確匹配率為

(27)

在發射信號和陣列結構不變的情況下，設定L=2 048，σ2=64，改變SαS脈沖噪聲的特性參數(α=1.0～2.0)，在GSNR=10 dB和20 dB條件下，利用MATLAB對NCCF-MUSIC、GCAS-MUSIC、FLOM-MUSIC和TF- FLOM-MUSIC算法獨立進行400次蒙特卡羅仿真實驗，各種算法的匹配分值結果如圖3所示。

圖3 不同噪聲特性與幾何信噪比下各種DOA估計匹配率比較Fig.3 Comparison of the matching scores among different DOA methods under different noises and GSNR

定義多個信號DOA估計的混合均方誤差為

(28)

(29)

(30)

圖4 不同噪聲特性下DOA估計誤差的性能比較Fig.4 Comparison of the standard deviation among different DOA methods under different noises and GSNR

從仿真結果可以看出，在不同信噪比和噪聲環境下，NCCF-MUSIC算法的DOA估計在準確率和穩定性方面都明顯優于其他算法。

4.2快拍數對算法的影響

設定SαS脈沖噪聲的特性參數α=1.6，GSNR=20 dB，在不同的快拍數下對各種DOA算法性能進行了比較。其中，各種算法的匹配分值結果如圖 5所示，估計值的標準方差如圖 6所示。結果顯示，隨著快拍數的增加，NCCF-MUSIC算法具有更好的穩定性。

圖5 不同快拍數下各算法的估計準確率Fig.5 Comparison of the matching scores among different DOA methods with different number of snapshots

圖6 不同快拍數下各算法估計值的標準方差Fig.6 Comparison of the standard deviation among different DOA methods with different number of snapshots

5 總 結

針對脈沖噪聲環境下GCAS-MUSIC、FLOM- MUSIC和TF-FLOM-MUSIC算法中存在的問題，本文提出了一種基于非線性壓縮核函數MUSIC(NCCF-MUSIC)算法。該算法所采用的非線性壓縮核函數表達形式簡單，易于實現，非常適合實際應用。計算機仿真實驗結果表明，NCCF-MUSIC算法的DOA估計準確率優于上述算法，并且具有更好的穩定性，具有進一步實用化的潛力。

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MA Jin-quan was born in Zhangye,Gansu Province,in 1975. He received the M.S. degree from Xidian University in 2005. He is now an

associate professor. His research concerns signal analysis and software defined radio.

Email: ma7q@163.com

葛臨東(1946—)，男，山東臨沂人，教授、博士生導師，主要研究方向為通信信號處理、軟件無線電等；

GE Lin-dong was born in Linyi,Shandong Province,in 1946.He is now a professor and also the Ph.D. supervisor.His research concerns communication signal processing and software defined radio.

Email: ge_lindong@163.com.

童莉(1978—)，女，湖北荊州人，博士，講師，主要研究方向為信號分析與信息處理。

TONG Li was born in Jingzhou,Hubei Province,in 1978.She is now a lecturer with the Ph.D. degree. Her research interests signal analysis and information processing.

Email: tttocean@163.com.

本刊2013年度下載量前10位論文

(數據來源：www.teleonline.cn，統計截止日期：2013年12月25日)

本刊編輯部

The Basis and Advanced Program of Henan Province(No.132300410049)

ANewDOAAlgorithmBasedonNonlinearCompressCoreFunctioninSymmetricα-stableDistributionNoiseEnvironment

MA Jin-quan,GE Lin-dong,TONG Li

(School of Information System Engineering,Information Engineering University,Zhengzhou 450002,China)

Direction of arrival (DOA) estimation in the impulse noise environment is a new research direction in the array signal processing field. To solve the problem of performance degradation when applying classic MUSIC algorithm for DOA estimation in the α-stable distribution noise environment,a novel DOA estimation algorithm based on a nonlinear compress core function(NCCF) is provided and named as the NCCF-MUSIC. To obtain a DOA estimation,the NCCF-MUSIC method replaces the covariance matrix in MUSIC by a bounded matrix based on the NCCF,and then determines the signal subspace and the noise subspace by feature decomposition,and finally,introduces the MUSIC spectrum estimation algorithm to make a spectral peak searching. Simulation results show that the new NCCF-MUSIC method with a lower computation cost has the higher performance in accuracy and validity than the MUSIC methods based on fractional lower order statistics (FLOS) or based on generalized correntropy-analogous statistics (GCAS).

DOA; α-stable distribution; nonlinear compress core function;MUSIC algorithm; non-Gauss signal processing

10.3969/j.issn.1001-893x.2014.01.007

馬金全，葛臨東，童莉.一種對稱α穩定分布噪聲環境下DOA估計新算法[J].電訊技術，2014,54(1):34-39.[MA Jin-quan,GE Lin-dong,TONG Li. A New DOA Algorithm Based on Nonlinear Compress Core Function in Symmetric α-stable Distribution Noise Environment[J].Telecommunication Engineering,2014,54(1):34-39.]

2013-10-10；

：2014-01-15 Received date:2013-10-10；Revised date：2014-01-15

河南省基礎與前沿計劃項目(132300410049)

ma7q@163.com Corresponding author：ma7q@163.com

TN911.23

：A

：1001-893X(2014)01-0034-06

馬金全(1975—)，男，甘肅張掖人，2005年于西安電子科技大學獲碩士學位，現為副教授，主要研究方向為信號分析、軟件無線電；

**< class="emphasis_bold">通訊作者：ma7q@163.comCorrespondingauthor：ma7q@163.com