高山滑雪動力學模型的建立與分析

萬佳　范麗君

摘 要：針對高山滑雪中的建模問題，通過對影響滑雪運動員成績的各種因素的分析，得到滑雪者在不同環境下運動過程的動力學模型。再在問題給出的條件及一定的合理假設下，通過MATLAB對模型的求解得到運動員到達終點時的速度及滑行時間。

關鍵詞：高山滑雪；動力學模型；MATLAB

中圖分類號：O29

現今高山滑雪運動在世界范圍內廣泛興起，并且是作為冬季奧運會比賽中的一項熱點項目[1]。而確定影響運動員滑行速度的因素是一項較為重要的工作[2-3]。為此，為了簡明扼要抓住本質，本文不考慮滑雪的技術動作。假設運動員下山時都是直線滑行，并且為滾落線方向。坡長度600米，坡面與水平面夾角15度。本文建模分析在下列三種情形下哪位運動員先到達終點：（1）不同體重，例如60公斤和80公斤，相同的滑雪板，硬雪道。（2）相同體重，腰寬一樣長度不同的滑雪板，例如長度分別為165厘米、185厘米，硬雪道。（3）相同體重，分別使用競技滑雪板、全地域滑雪板，長度都為180厘米，宣雪道。

1 模型建立與求解

1.1 問題①的模型建立與求解。運動員在滑雪時，直滑降[4]過程中假設雪地較平而滑雪板沒有離開地面，可以用平面鉸接來近似描述滑雪板與雪地的關系。首先把滑雪板和滑雪者作為一個整體，人對滑雪板的作用力以及雪地對滑雪板的作用力都簡化為一集中力和力偶，相當于一個滑塊在雪地上運動為單自由度系統。如圖1所示：

對運動員的滑行受力情況進行分析可知：

取g=9.8m/s2，ρa=1.2kg/m3，Cd=0.45，A=0.3m2，u=0.03，m分別為60kg、70kg、80kg，通過MATAB編程對式（4）（5）進行求解?？傻玫襟w重為80kg運動員滑行速度為26.88m/s，用時最短首先到達終點。

1.2 問題②的模型建立與求解。本問題定義載荷函數 ，該函數用于反映作用在滑雪板上各個點的摩擦系數，實際上各個點的階段摩擦力是不同的，且偏離直接作用面越遠的地方所受摩擦力越小。x為單位面積元。

單位長度上的摩擦力微元為：

根據牛頓第二定律有：ma=mgsinα-（fr+fa）

將式（6）代入上式，積分整理后得：

取g=9.8m/s2，u=0.03，ρa=1.2kg/m3，Cd=0.45，A=0.3 m2，L分別為165cm，185cm時，通過MATAB編程對式（7）（8）進行求解?？傻玫竭x用長度為185cm滑雪板的運動員滑行速度為25.13m/s，用時最短首先到達終點。

1.3 問題③的模型建立與求解

宣雪道較松軟，運動員滑行過程中會產生壓痕。此時，滑雪板除受重力、雪道與滑雪板間的摩擦力外還受到雪對滑雪板的阻力，此阻力與運動員滑行時產生的壓痕深淺度有關。在此同樣引入載荷函數 來反映滑板上各個點的摩擦系數。

用乘以負載分布函數的力近似于發生形變后的力：

F1=μ（x）·fs（fs是正壓力）

單位寬度上的摩擦力微元為：

對運動員下滑過程受力分析可知：

當人靜止站立在雪道上時，雪的深度與fs有關，滑行時深度與重量成正比，與速度成反比，即：

深度越大fn越大，有：fn=kh

將fr，fn代入式（9），積分整理后得：

取L=180cm，g=9.8m/s2，u=0.03，W分別為70mm，100mm時，通過MATLAB編程對式（10）（11）求解?？傻玫竭x用腰款為100mm全地域滑雪板的運動員滑行速度分別為25.08m/s，用時最短首先到達終點。

2 模型的評價

針對模型一，本文考慮了空氣阻力對運動員滑雪的影響，并巧妙的運用了微積分的思想建立滑雪過程中時間分別與路程、速度的關系。該模型可對不同體重的人到達終點的時間，具有實際意義。針對模型二和三，本文定義了負載函數，建立了摩擦系數與滑雪板長和寬的關系，利用這個關系得到問題結論，具有較好的借鑒價值。

參考文獻：

[1]斯萬德·福蘭德森.冬奧會滑雪項目的歷史演變[J].體育文化導刊，2006：74.

[2]陳曦煒.高山滑雪科研現狀研究綜述[J].黑龍江科技信息，2011（22）：247.

[3]鄭偉濤，張子華，韓久瑞.高山滑雪科研現狀綜述[C].第十一屆全國冬季運動會科學大會論文集，2008.

[4]王旭東，崔英波，安林彬.大眾滑雪基本技術探析[J].冰雪運動，2003（05）.

[5]張德豐.MATLAB數值計算方法[M].北京：機械工業出版社，2010.

作者簡介：萬佳（1989-），女，江西撫州人，研究生，研究方向：數學建模。

作者單位：江西理工大學 理學院，江西贛州 341000

基金項目：本文為江西省教育廳青年基金項目（項目編號：GJJ13377）階段性研究成果。