姜全德
摘 要:極限的計算是高等數學教學的重要內容之一,該文就若干種常用的求極限的問題進行分析,針對不同題型,采用不同方法,并總結歸納了應用每種求極限方法應注意的要點。
關鍵詞:極限 計算 方法
中圖分類號:O211 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2014)08(a)-0227-01
1 運用極限的定義證明極限的值(用定義,找到N)
在利用數列極限定義證明為數列的極限時,重要的是對,要能夠指出定義中所說的這種正整數確實存在,但沒有必要去求最小的,故在解決具體問題時,可用放大方法。
2 運用極限的四則運算求極限
極限的四則運算只適用于每個式子極限存在且分母極限不為0的情況,且只限于“有限個”,“有限個”很關鍵;若無限個,四則運算不再適用。
3 約去零因子
例如我們考慮到時函數的變化趨勢,在這一變化過程中但,因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式,一般“”的未定式,我們首先考慮約去零因子。
4 分子分母同除以變量最高次冪
此種方法適用于變量趨于無窮,且分子分母是變量的冪函數的分式,首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。
5 應用兩個重要極限求極限
應用兩個重要極限解題時要注意兩公式特點,一定構造出公式的形式后方可應用。
公式的特點:(1)中部分要相同;(2)。
公式的特點:(1)中部分要相同;(2)。
6 用等價無窮小代換求極限
應用等價無窮小代換,需要注意的是,等價無窮小代換只適用與積與商,且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個因式而不能代替其中加、減式的某一項。
7 利用無窮小量的性質求極限
當應用“有界函數與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質時,一定有一個函數極限是0即是無窮小量。
8 運用無窮小與無窮大關系求極限
應用無窮大與無窮小互為倒數關系,可以求極限。
9 用迫斂性求極限
應用迫斂性求極限時,找到的一個比其大的函數和一個比其小的函數,這兩個函數的極限值要存在且相等。
10 利用單調有界定理求極限
利用單調有界定理證明時,應注意放縮方向,單調遞增函數需有上界則極限存在;單調遞減函數需有下界,則極限存在。
11 函數連續性求極限
注意:當函數連續時,極限符號與函數符號可交換順序。
12 運用洛必達法則求極限
有些題目可以直接應用洛必達法則求解,有些題目可以轉化為洛必達法則求解,例如:
(1)對于,型極限,可將乘積化為除式,即化為型或型未定式計算。
(2)對于型的未定式,可先將其化為以為底的指數函數的極限,再利用指數函數的連續性,化為直接求指數的極限。
13 利用Taylor公式求極限
應用Taylor公式求極限時,注意余項的階數的選取。
14 數列極限轉換為函數極限求解
由于數列不具有函數的比較好的解析性質,比如連續性、可積性、可導性,所以可先求數列對應函數的極限,再代入特值得到數列極限。此方法在求級數的部分和極限時應用很廣。
15 利用定積分定義求極限
應用定積分定義求極限,適用于n項和極限,但要注意以下兩點。
(1)當題目能湊成的形式時,用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算。
(2)當n項和極限,不能湊成定積分的定義的極限和形式時,利用兩邊夾法則求極限。
16 利用級數收斂的必要條件
若收斂,則,這一結論可證明數列的極限趨于零。
17 運用Stolze定理求極限
Stolz公式:,值得注意的是當時,特別有效。
18 結語
總之,極限的計算方法很多,也比較靈活,總的原則是:充分利用所求極限的特點,利用極限的運算性質及上述常用方法,有時需綜合運用以上方法可以更簡便求出極限的值,是復雜的問題簡單化。有時一個極限也可用多種方法求解。
參考文獻
[1] 徐森林,薛春華.數學分析[M].清華大學出版社,2012.
[2] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社,2007.
[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學出版社,2009.endprint
摘 要:極限的計算是高等數學教學的重要內容之一,該文就若干種常用的求極限的問題進行分析,針對不同題型,采用不同方法,并總結歸納了應用每種求極限方法應注意的要點。
關鍵詞:極限 計算 方法
中圖分類號:O211 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2014)08(a)-0227-01
1 運用極限的定義證明極限的值(用定義,找到N)
在利用數列極限定義證明為數列的極限時,重要的是對,要能夠指出定義中所說的這種正整數確實存在,但沒有必要去求最小的,故在解決具體問題時,可用放大方法。
2 運用極限的四則運算求極限
極限的四則運算只適用于每個式子極限存在且分母極限不為0的情況,且只限于“有限個”,“有限個”很關鍵;若無限個,四則運算不再適用。
3 約去零因子
例如我們考慮到時函數的變化趨勢,在這一變化過程中但,因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式,一般“”的未定式,我們首先考慮約去零因子。
4 分子分母同除以變量最高次冪
此種方法適用于變量趨于無窮,且分子分母是變量的冪函數的分式,首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。
5 應用兩個重要極限求極限
應用兩個重要極限解題時要注意兩公式特點,一定構造出公式的形式后方可應用。
公式的特點:(1)中部分要相同;(2)。
公式的特點:(1)中部分要相同;(2)。
6 用等價無窮小代換求極限
應用等價無窮小代換,需要注意的是,等價無窮小代換只適用與積與商,且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個因式而不能代替其中加、減式的某一項。
7 利用無窮小量的性質求極限
當應用“有界函數與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質時,一定有一個函數極限是0即是無窮小量。
8 運用無窮小與無窮大關系求極限
應用無窮大與無窮小互為倒數關系,可以求極限。
9 用迫斂性求極限
應用迫斂性求極限時,找到的一個比其大的函數和一個比其小的函數,這兩個函數的極限值要存在且相等。
10 利用單調有界定理求極限
利用單調有界定理證明時,應注意放縮方向,單調遞增函數需有上界則極限存在;單調遞減函數需有下界,則極限存在。
11 函數連續性求極限
注意:當函數連續時,極限符號與函數符號可交換順序。
12 運用洛必達法則求極限
有些題目可以直接應用洛必達法則求解,有些題目可以轉化為洛必達法則求解,例如:
(1)對于,型極限,可將乘積化為除式,即化為型或型未定式計算。
(2)對于型的未定式,可先將其化為以為底的指數函數的極限,再利用指數函數的連續性,化為直接求指數的極限。
13 利用Taylor公式求極限
應用Taylor公式求極限時,注意余項的階數的選取。
14 數列極限轉換為函數極限求解
由于數列不具有函數的比較好的解析性質,比如連續性、可積性、可導性,所以可先求數列對應函數的極限,再代入特值得到數列極限。此方法在求級數的部分和極限時應用很廣。
15 利用定積分定義求極限
應用定積分定義求極限,適用于n項和極限,但要注意以下兩點。
(1)當題目能湊成的形式時,用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算。
(2)當n項和極限,不能湊成定積分的定義的極限和形式時,利用兩邊夾法則求極限。
16 利用級數收斂的必要條件
若收斂,則,這一結論可證明數列的極限趨于零。
17 運用Stolze定理求極限
Stolz公式:,值得注意的是當時,特別有效。
18 結語
總之,極限的計算方法很多,也比較靈活,總的原則是:充分利用所求極限的特點,利用極限的運算性質及上述常用方法,有時需綜合運用以上方法可以更簡便求出極限的值,是復雜的問題簡單化。有時一個極限也可用多種方法求解。
參考文獻
[1] 徐森林,薛春華.數學分析[M].清華大學出版社,2012.
[2] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社,2007.
[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學出版社,2009.endprint
摘 要:極限的計算是高等數學教學的重要內容之一,該文就若干種常用的求極限的問題進行分析,針對不同題型,采用不同方法,并總結歸納了應用每種求極限方法應注意的要點。
關鍵詞:極限 計算 方法
中圖分類號:O211 文獻標識碼:A 文章編號:1674-098X(2014)08(a)-0227-01
1 運用極限的定義證明極限的值(用定義,找到N)
在利用數列極限定義證明為數列的極限時,重要的是對,要能夠指出定義中所說的這種正整數確實存在,但沒有必要去求最小的,故在解決具體問題時,可用放大方法。
2 運用極限的四則運算求極限
極限的四則運算只適用于每個式子極限存在且分母極限不為0的情況,且只限于“有限個”,“有限個”很關鍵;若無限個,四則運算不再適用。
3 約去零因子
例如我們考慮到時函數的變化趨勢,在這一變化過程中但,因此我們可以先約去分子分母極限為零的公因式,一般“”的未定式,我們首先考慮約去零因子。
4 分子分母同除以變量最高次冪
此種方法適用于變量趨于無窮,且分子分母是變量的冪函數的分式,首先考慮分子分母同除以變量的最高次冪的方法。
5 應用兩個重要極限求極限
應用兩個重要極限解題時要注意兩公式特點,一定構造出公式的形式后方可應用。
公式的特點:(1)中部分要相同;(2)。
公式的特點:(1)中部分要相同;(2)。
6 用等價無窮小代換求極限
應用等價無窮小代換,需要注意的是,等價無窮小代換只適用與積與商,且只能代換乘積或商式中分子或分母的某個因式而不能代替其中加、減式的某一項。
7 利用無窮小量的性質求極限
當應用“有界函數與無窮小量之積仍為無窮小量”的性質時,一定有一個函數極限是0即是無窮小量。
8 運用無窮小與無窮大關系求極限
應用無窮大與無窮小互為倒數關系,可以求極限。
9 用迫斂性求極限
應用迫斂性求極限時,找到的一個比其大的函數和一個比其小的函數,這兩個函數的極限值要存在且相等。
10 利用單調有界定理求極限
利用單調有界定理證明時,應注意放縮方向,單調遞增函數需有上界則極限存在;單調遞減函數需有下界,則極限存在。
11 函數連續性求極限
注意:當函數連續時,極限符號與函數符號可交換順序。
12 運用洛必達法則求極限
有些題目可以直接應用洛必達法則求解,有些題目可以轉化為洛必達法則求解,例如:
(1)對于,型極限,可將乘積化為除式,即化為型或型未定式計算。
(2)對于型的未定式,可先將其化為以為底的指數函數的極限,再利用指數函數的連續性,化為直接求指數的極限。
13 利用Taylor公式求極限
應用Taylor公式求極限時,注意余項的階數的選取。
14 數列極限轉換為函數極限求解
由于數列不具有函數的比較好的解析性質,比如連續性、可積性、可導性,所以可先求數列對應函數的極限,再代入特值得到數列極限。此方法在求級數的部分和極限時應用很廣。
15 利用定積分定義求極限
應用定積分定義求極限,適用于n項和極限,但要注意以下兩點。
(1)當題目能湊成的形式時,用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算。
(2)當n項和極限,不能湊成定積分的定義的極限和形式時,利用兩邊夾法則求極限。
16 利用級數收斂的必要條件
若收斂,則,這一結論可證明數列的極限趨于零。
17 運用Stolze定理求極限
Stolz公式:,值得注意的是當時,特別有效。
18 結語
總之,極限的計算方法很多,也比較靈活,總的原則是:充分利用所求極限的特點,利用極限的運算性質及上述常用方法,有時需綜合運用以上方法可以更簡便求出極限的值,是復雜的問題簡單化。有時一個極限也可用多種方法求解。
參考文獻
[1] 徐森林,薛春華.數學分析[M].清華大學出版社,2012.
[2] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社,2007.
[3] 遲彥惠.微積分[M].華南理工大學出版社,2009.endprint