二維渦旋空間孤子在Kerr型自聚焦介質中的傳輸及相互作用

李淑青，李 錄

（1.太原工業學院 理學系，山西 太原 030008；2.山西大學 物理電子工程學院，山西 太原 030006）

0 引言

當非線性介質的自聚焦效應與光束的衍射發散作用相互平衡時，在介質內無衍射向前傳輸的光束被稱為空間光孤子.近20年來對克爾空間光孤子的研究取得了重大突破，但是克爾空間孤子的形成需要很高的功率，后來人們發現了只需較低功率就可以形成的光折變空間孤子［1-3］.近幾年來，渦旋場以其獨一無二的特征逐漸被人們所重視，到2009年渦旋空間孤子在實驗中被觀察到［4-6］.2013年，張解放研究了非線性介質中渦旋孤子的相互作用［7］，之后歐陽世根研究了自散焦介質中渦旋孤子的特性［8］，然而對渦旋空間孤子在克爾性自聚焦介質中的動力學特點，及拓撲荷對渦旋孤子的影響還鮮為人知，因此對渦旋孤子在Kerr型自聚焦介質的動力學研究具有重要的實際意義.

本文對渦旋空間孤子在Kerr自聚焦介質中的演化方程進行了簡化，求解了簡化后的非線性方程，并導出了振幅的取值范圍.采用數值模擬的方法討論了拓撲荷的值對渦旋孤子的影響，以及拓撲荷和振幅對兩渦旋孤子相互作用的影響.

1 二維空間渦旋孤子在Kerr型自聚焦介質中的演化方程

麥克斯韋方程是普遍適用于電磁場和光場中的基本方程.一般情況下，光場中的麥克斯韋方程可以寫成下面的波動方程：

式中：E是電場強度；P是極化矢量；c是真空中的光速；ε0是真空中的介電常數.方程具有E（r，t）＝A（r）exp（iβ0Z）的形式解，其中β0 ＝knn0＝A（X，Y，Z）是演化波包，光沿著Z軸傳播，衍射（自聚焦）發生在X，Y軸構成的平面內，在沒有衍射和非線性的情況下，A是一個常數.在考慮非線性效應和衍射效應的時候，波包A隨著Z變化，并滿足非線性方程［9］

在非線性Kerr自聚焦介質中，折射率的改變量滿足nnl（I）＝n2I，n2是非線性材料的Kerr系數，對于Kerr自聚焦介質，n2＞0，I是光強，且I＝｜A｜2.引入歸一化變量

2 二維渦旋孤子解及其特點

關于方程（4）的解R.M.Caplan，Q.E.Hoqb等人已經在2009年求出，形式解可以寫成下面的形式［10］：

式中：b是演化常數；φ（x，y）為方位角；mφ（x，y）表示橫向相位；b是演化常數，一般情況下滿足0≤b≤1；m取整數，它滿足稱為拓撲荷，描述相位繞奇點變化的快慢；q（x，y）為實函數.采用擬解法把方程（5）代入到方程（4）中，即可得到方程（6）.

式中：q滿足邊界條件：q｜r＝0＝0，q｜r→∞＝0，q～r｜m｜（r→0）.為了討論的一般性，設方程（6）的初始孤子解具有下面的形式：

式中：η0表示振幅；r0表示初始時的孤子半徑.把上述解代入到方程（6）中，整理后得

根據雙曲函數的特性-1＜tanhx＜1，可以得到簡化后的參數方程滿足

對于不等式（8），尤其當m＝0時即可以求得η0 必須滿足方程（9）.

如果m≠0 時，根據η0表示振幅的實際物理意義，可以得到η0 的取值范圍為

可見振幅隨著拓撲荷與半徑的比值變化.

圖1 中顯示了孤子解

在z＝0，m＝0和m＝±3時的光強分布剖面圖，參數為b＝1，r0＝1，η0 ＝1.從圖1 中可以看到，當拓撲荷m＝0 的時候，孤子的中心光強最大，就是普通的Kerr 孤子；但是，當拓撲荷m＝±3時，對應的孤子中心光強為零，此時的孤子形成環形渦旋孤子.

圖1 x-o-y內孤子的光強圖Fig.1 The light intensity of soliton in x-o-y

3 渦旋孤子的傳輸特點

考慮由硅材料制作的圓形波導，其中：n0＝1.57，表示波導中心光斑通過處的折射率；n1＝1.55，表示波導邊緣的折射率.非線性折射率n2＝3 × 10-9m2／W，讓 入 射 波 長λ（λ＝512nm）和初始波函數的形式為u（r，θ）＝η0sech［η0（r-r0）］exp（imφ（x，y））的光入射其中，此時光孤子的橫向特征長度衍射長度由于方程（4）已經做了歸一化處理，因此坐標x，y軸分別以0.2mm 作為單位，z軸以0.7mm 作為單位.孤子的穩定性一直是討論的重點，那么拓撲荷m對孤子的穩定性有什么影響呢？圖2 是在參數滿足m＝0，b＝1，r0＝1和η0 ＝0.5，孤子分別在z＝0，z＝75，z＝150時的演化剖面圖.從圖2 中可以看出，隨著孤子的演化，孤子的形狀保持不變，但是半徑逐漸變小，在孤子傳播了150個演化單位時，孤子的形狀并沒有失真，但是中心光強隨距離收縮的很快，說明參數取m＝0時的孤子解不穩定.這種現象歸因于在光束的傳輸過程中，光場強度與自聚焦效應互為因果關系，即光場強度增大會導致自聚焦效應增強，而自聚焦效應增強又會導致光場強度增強，這樣自聚焦效應就越來越大于衍射效應，使得光束自囚禁，從而被破壞.

圖2 二維渦旋空間孤子傳輸剖面圖（r0＝1，b＝1，η0 ＝0.25，m＝0）Fig.2 The profile of 2Dimensional vortex spatial soliton transmission for different distances（r0＝1，b＝1，η0 ＝0.25，m＝0）

圖3顯示了拓撲荷取m＝±3，其他參數取r0＝5，b＝1，η0 ＝1時空間渦旋孤子（也就是孤子）分別在z＝0，z＝17.5，z＝35 時傳輸開始（圖3（a）），傳輸了12.5mm（圖3（b））和傳輸了24.5 mm（圖3（c））的演化圖.從圖中可以看出，m＝±3 的渦旋孤子傳輸極不穩定，孤子隨著傳輸距離的增加分裂成四孤子團，組成的四個孤子分布在同一個環上，強度分布具有光鏈的樣式，每個波瓣中間都有一個節點，類似于文獻［11］中提到的Necklace-ring 渦旋孤子.

圖3 x-o-y平面內孤子在不同演化距離時的光強分布（r0＝5，b＝1，η0 ＝1，m＝3）Fig.3 The light intensity of vortex soliton in x-o-yfor different distances（r0＝5，b＝1，η0 ＝1，m＝3）

4 兩渦旋孤子的相互作用及其抑制

在文獻［7-8］中，作者討論了渦旋孤子間的相互作用受孤子間距和孤子相位的影響，而且都是針對拓撲荷為2的渦旋孤子進行了討論，對拓撲荷為其他值及拓撲荷的取值對孤子相互作用的影響沒有進行討論.為了更全面地了解渦旋孤子之間的相互作用，圖4 模擬了當兩渦旋孤子間的間距為2 mm 時，取不同的拓撲荷m的相互作用圖.圖4中顯示了，當拓撲荷為0時，孤子發生了形變，中心點的光強突然加強，周圍的光強突然減弱，已經失去了初始孤子的原貌，可見m＝0時的普通孤子相互作用極不穩定.當｜m｜≥1時，從圖5 的（b），（c），（d）中可以看出，隨著m的增大，孤子的相互作用增強，孤子相接觸的邊緣強度增大，這與渦旋孤子的半徑隨拓撲荷的增大而增大有直接關系，且拓撲荷m＝1 時的渦旋孤子穩定性最高.

圖4 拓撲荷對兩渦旋孤子相互作用的影響（r0＝1，b＝1，η0 ＝1，z＝5）Fig.4 The effect of the topological charges to the interaction of two vortex solitons（r0＝1，b＝1，η0 ＝1，z＝5）

作者以拓撲荷值m＝1 為例，研究了振幅對兩渦旋孤子相互作用的影響.在一般情況下孤子的相位、振幅比和強度都在一定程度上可以抑制孤子的相互作用，有關相位對孤子相互作用的影響，文獻［7-8］中已經討論過了，這里重點討論孤子的強度對孤子相互作用的影響.圖5 分別顯示了當兩個渦旋孤子間距為2 mm 時，振幅分別選為η0 ＝0.25，η0 ＝1.5，η0 ＝1.8，η0 ＝1.88，其他參數分別為r0＝1，b＝1，z＝5時的相互作用圖.從圖5 中和圖4（b）這5張圖片可以看出，兩渦旋孤子的相互作用受振幅的影響很大，當孤子的振幅η0 ＜1.5時，圖5（a）和圖4（b）所顯示的孤子的相互作用較大，孤子的振幅越小孤子的邊緣重疊越嚴重；當孤子的振幅1.5≤η0 ≤1.8時，孤子間的相互作用得到了抑制，孤子無相互作用傳輸；當孤子的強度η0 ＞1.8時，孤子的相互作用較弱，但是兩個渦旋孤子都分裂出了兩個旁瓣，出現了失真.可見渦旋孤子的相互作用可以通過調節光孤子的強度來抑制，但是振幅的取值應該有一定的范圍，這與本文第2部分討論的式（10）一致.

圖5 振幅對兩渦旋孤子相互作用的影響Fig.5 The effect of the amplitude to the interaction of two vortex solitons

5 結論

針對2+1維渦旋空間孤子在Kerr自聚焦介質中的演化進行了討論，利用拉普拉斯變換簡化了演化方程.對它的一種分析解利用擬解法求出了振幅所滿足的不等式.用數值模擬的方法分析了拓撲荷的值對渦旋孤子的影響，發現當m＝0時，孤子的形狀就是普通的Kerr孤子，孤子在傳輸時半徑隨著傳輸距離的增大均勻地減小，正符合孤子的自相似演化特點.當m＝3時，孤子在相位奇點處振幅為零，變成渦旋孤子，它在傳輸時分裂成四孤子團.分析了拓撲荷的值和振幅對兩相鄰渦旋孤子相互作用的影響，發現當m＝1 時孤子的相互作用最弱，并且選擇合適的振幅可以抑制渦旋孤子的相互作用.

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