主瓣約束下的零陷加深波束形成算法

李鵬飛，劉 喆，陶業榮，謝 軻

（中國洛陽電子裝備試驗中心，河南 洛陽 471003）

0 引言

基于陣列信號處理的波束形成技術廣泛應用于雷達、通信、聲納等領域［1－4］。隨著電子信息技術的發展，空間的電磁信號環境日益復雜。波束形成技術成為在復雜戰場環境下對抗強信號干擾的有效手段之一，它能夠根據干擾信號的波達方向在天線方向圖上形成零陷來抵消干擾。J.Capon［5］基于最小方差無畸變響應準則，提出一種叫做MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）的波束形成器，該波束形成器能根據干擾信號的波達方向自適應地在干擾方向形成零陷來抵消干擾。隨后，Reed等［6］提出著名的采樣協方差矩陣求逆（SMI）方法來實現MVDR波束形成器，成為波束形成領域最經典的算法之一。SMI算法雖然能在干擾方向形成一個穩定的零陷，但是協方差矩陣包含期望信號信息，特別是在快拍較少時，協方差矩陣的估計存在誤差而形成一個病態矩陣，產生的方向圖零陷的深度不足，旁瓣電平較高［7］。同時SMI方法很難對主瓣的寬度進行控制，設計方法的靈活性不夠。針對這些問題，本文提出了一種基于凸優化的主瓣約束下的零陷加深波束形成算法。

1 背景和信號模型

假設M元均勻線陣，在t時刻陣列接收到的信號為：

其中xs（t），xi（t），n（t）分別是統計獨立的期望信號、干擾信號和噪聲。xs（t）＝as（t），s（t）是期望信號波形，a是期望信號的實際導向矢量。自適應波束形成器的輸出

其中w＝［w1，…，wM］T∈CM是波束形成權值復向量，（·）T和（·）H分別代表矩陣的轉置和共軛轉置。

基于輸出功率最小準則，則自適應波束形成可以寫成以下優化問題：

理論上最優的波束形成器輸出權值為：

其中Ri＋n是干擾加噪聲協方差矩陣，在實際條件下無法得到Ri＋n，通常用Rx的估計值來代替，即通過多次快拍采樣 X（i）XH（i）求平均來完成，N 為快拍數，則Rx的估計值可以表示為：

一般情況下，都是采用樣本矩陣直接求逆的方法（SMI），其解為：

2 主瓣約束下的零陷加深波束形成算法

2.1 算法原理

通過式（6）樣本矩陣直接求逆的方法雖然能夠得到波束形成器的輸出權值，但是該方法利用陣列接收信號的協方差矩陣來近似代替干擾加噪聲的協方差矩陣，會造成零陷的深度不夠，同時采用上述的方法形成的波束，很難對主瓣的寬度進行控制。因此論文提出了一種新的零陷加深自適應波束形成算法，主要思想是構建副瓣電平和零陷電平的聯合凸函數，最后利用序列二次規劃凸函數得到最優的波束形成權值，算法描述如下。

假設期望信號的波達方向為θ，主瓣寬度為Δθ，干擾信號的波達方向是φ。定義As＝ ［a1，…，aθ－0.5Δθ，aθ＋0.5Δθ，…，a360］，表示副瓣所有方向導向矢量組成的矩陣。為了使副瓣電平盡可能的低，可以建立下面的目標函數：

考慮到干擾信號，需要在其入射方向上形成一個較低的零陷來抵消干擾?？梢越⑷缦碌哪繕撕瘮担?/p>

基于零陷和副瓣電平最小準則，則自適應波束形成可以寫成以下優化問題：

式（9）是一個凸優化［8］問題，可以使用內點法進行有效地求解。

2.2 算法流程

至此，算法流程總結如下：

1）根據期望信號的波達方向和主瓣寬度構造副瓣導向矢量矩陣As。

2）估計干擾信號的波達方向φ，并根據陣列結構生成干擾方向的導向矢量aφ。

3）根據式（9）將波束形成問題轉化為凸優化問題。

4）利用內點法對第3）步建立的優化問題求解得到波束形成的最優權系數w。

3 仿真實驗

為了驗證理論分析的正確性和算法的有效性，進行了如下的仿真實驗。仿真實驗中假設陣列為半波長均勻線陣，陣元數M＝30，噪聲為零均值的高斯白噪聲。

實驗一：不同主瓣寬度下的波束形成

假設干擾信號的波達方向為60°，信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）為10dB，干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）為30dB，期望信號的方向角為100°?？炫臄礜＝500，實驗結果來自1 000次獨立的蒙特卡洛實驗。圖1和圖2是不同主瓣寬度下的陣列方向圖。

圖1 主瓣寬度為20°時的方向圖Fig.1 The pattern when the width ofmain lobe is 20°

從圖1和圖2可以看出，和SMI方法相比本文方法能形成更低的零陷電平，比SMI方法形成的零陷加深了100多dB，并且對于副瓣電平的控制明顯優于SMI方法。本文方法將波束形成問題轉化為凸優化問題，因此對于主瓣寬度的控制較為靈活，可以保證主瓣在一定寬度下干擾方向形成零陷，而SMI方法則無法對主瓣寬度進行約束。

對比圖1和圖2可以發現，當主瓣寬度較大時，副瓣電平能控制的較低，同時形成的零陷也較深。

圖2 主瓣寬度為10°時的方向圖Fig.2 The pattern when the width ofmain lobe is 10°

實驗二：主瓣內存在干擾的方向圖

假設期望信號的波達方向為100°，主瓣寬度為20°，在主瓣內存在一干擾信號，其入射方向為105°。信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）為10dB，干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）為30dB?？炫臄礜＝500，圖3為主瓣內存在干擾時形成的方向圖。

從圖3可以看出，本文方法能夠保證主瓣形狀基本不變的情況下，在主瓣內（105°）形成一個較深的零陷，同時對副瓣電平抑制的較好，優于SMI方法。

圖3 主瓣內存在干擾的方向圖Fig.3 The pattern with interfering signals in main lobe

實驗三：不同信、干噪比下波束形成

假設干擾信號的波達方向為60°，期望信號的波達方向為100°，主瓣寬度為20°?？炫臄礜＝500。圖4—圖6是不同信、干噪比下的陣列方向圖。

從圖4—圖6可以看出，SMI方法形成的波束受SNR和INR影響較大，當INR較大時能形成較深的零陷。由于SMI方法利用陣列接收信號的協方差矩陣來近似代替干擾加噪聲的協方差矩陣，當SNR大于INR時，在期望方向不能形成主瓣，并且零陷深度較淺（如圖6所示）。而本文方法受SNR和INR的影響較小。

4 結論

本文聯合副瓣電平和零陷電平建立凸目標函數，提出一種主瓣約束下的零陷加深波束形成算法。該方法建立副瓣導向矢量矩陣靈活地對主瓣的寬度進行設計、利用干擾方向的導向矢量建立的最小化目標函數實現了零陷的加深。理論分析和仿真實驗證明了本文方法不需要估計陣列的協方差矩陣，在設計的靈活度、副瓣電平控制、零陷深度等方面明顯優于SMI方法，非常適合于強干擾下的波束形成。下一步將對陣列存在誤差情況下的魯棒波束形成算法展開研究。

［1］Danilo Comminiello，Michele Scarpiniti，RaffaeleParisi，et al.Combined adaptive beamforming schemes for nostationary interfering noise reduction［J］.Signal Processing，2013，93（12）：3306－3318.

［2］Sergiy A Vorobyov.Principles of minimum variance robust adaptive beamforming design［J］.Signal Processing，2013，93（12）：3264－3277.

［3］Van H LTrees.Optimum array processing，part IV of detection，estimation，and modulation theory［M］.John＆Sons，Inc，New York，USA，2002：12－25.

［4］Liu W，Weiss S.Wideband beamforming：concepts and techniques［M］.Chichester，U.K：Wily，2010：45－62.

［5］Capon J，Greenfield R J，Lacoss R T.Long－period signal processing results for the large aperture seismic array［J］.Geophysics，1974，34（2）：305－329.

［6］Reed L S，Mallett J D.Rapid convergence rate in adaptive arrays.IEEE Trans on Aerospace Electronics System［J］.1974，10（6）：853－863.

［7］Miller T W.Introduction to adaptive arrays［M］.US：John Wiley and Sons Inc.，1980.

［8］博賽無斯.凸優化理論［M］.北京：清華大學出版社，2011.