王宇丹
不等式的證明題,無論它以什么形式展現,其常規的證明方法如下:利用函數的單調性證明;重要不等式證明;放縮法;數學歸納法等.不等式結構能提示我們做“最近選擇”,不等式證明的方法最適合證明什么類型的不等式,需要我們去整合.筆者提供幾類案例,供參考.
一、常數型不等式證明
所謂常數型不等式,是指不等式一邊是代數式而另一邊是常數的式子.它常常以數列為背景出現,對于這類形式,通常采用的方法是:利用函數的單調性求值、裂項相消求和等方法來證明.
例1設數列{an}的前n項和Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,(1)求首項a1和通項an;
(2)設Tn=2nSn,n=1,2,…,證明:ni=1Ti<32.
解(1)由Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,
得a1=S1=43a1-13×4+23,∴a1=2,
∵an=Sn-Sn-1=43(an-an-1)-13(2n+1-2n),n=2,3,…
∴an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,….
∴{an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,
∴an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,….
∴an=4n-2n,n=1,2,….
(2)將an=4n-2n,n=1,2,…代入Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,得
Sn[WB]=43(4n-2n)-13×2n+1+23=13(2n+1-1)(2n+1-2)[DW]=23(2n+1-1)(2n-1).
Tn[WB]=2nSn=32×2n(2n+1-1)(2n-1)[DW]=32×(12n-1-12n+1-1).
∴ni=1Ti[WB]=32×ni=1(12i-1-12i+1-1)[DW]=32(121-1-12n+1-1)<32.
二、函數型不等式的證明
所謂函數型不等式,是指以函數為背景,待證的不等式左右兩邊是以函數值的和差積商以及自變量、因變量的代數式為表現形式的不等式.對于這種形式的不等式,通常采用的方法:利用函數的單調性證明.這里要特別提示的是,在證明常量不等式中往往需要構造函數,將常量變量化.在多元常量變量化中通常有兩種形式:一是個體常量化,另一類是整體變量化,如和、積等.
不等式的證明題,無論它以什么形式展現,其常規的證明方法如下:利用函數的單調性證明;重要不等式證明;放縮法;數學歸納法等.不等式結構能提示我們做“最近選擇”,不等式證明的方法最適合證明什么類型的不等式,需要我們去整合.筆者提供幾類案例,供參考.
一、常數型不等式證明
所謂常數型不等式,是指不等式一邊是代數式而另一邊是常數的式子.它常常以數列為背景出現,對于這類形式,通常采用的方法是:利用函數的單調性求值、裂項相消求和等方法來證明.
例1設數列{an}的前n項和Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,(1)求首項a1和通項an;
(2)設Tn=2nSn,n=1,2,…,證明:ni=1Ti<32.
解(1)由Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,
得a1=S1=43a1-13×4+23,∴a1=2,
∵an=Sn-Sn-1=43(an-an-1)-13(2n+1-2n),n=2,3,…
∴an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,….
∴{an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,
∴an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,….
∴an=4n-2n,n=1,2,….
(2)將an=4n-2n,n=1,2,…代入Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,得
Sn[WB]=43(4n-2n)-13×2n+1+23=13(2n+1-1)(2n+1-2)[DW]=23(2n+1-1)(2n-1).
Tn[WB]=2nSn=32×2n(2n+1-1)(2n-1)[DW]=32×(12n-1-12n+1-1).
∴ni=1Ti[WB]=32×ni=1(12i-1-12i+1-1)[DW]=32(121-1-12n+1-1)<32.
二、函數型不等式的證明
所謂函數型不等式,是指以函數為背景,待證的不等式左右兩邊是以函數值的和差積商以及自變量、因變量的代數式為表現形式的不等式.對于這種形式的不等式,通常采用的方法:利用函數的單調性證明.這里要特別提示的是,在證明常量不等式中往往需要構造函數,將常量變量化.在多元常量變量化中通常有兩種形式:一是個體常量化,另一類是整體變量化,如和、積等.
不等式的證明題,無論它以什么形式展現,其常規的證明方法如下:利用函數的單調性證明;重要不等式證明;放縮法;數學歸納法等.不等式結構能提示我們做“最近選擇”,不等式證明的方法最適合證明什么類型的不等式,需要我們去整合.筆者提供幾類案例,供參考.
一、常數型不等式證明
所謂常數型不等式,是指不等式一邊是代數式而另一邊是常數的式子.它常常以數列為背景出現,對于這類形式,通常采用的方法是:利用函數的單調性求值、裂項相消求和等方法來證明.
例1設數列{an}的前n項和Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,(1)求首項a1和通項an;
(2)設Tn=2nSn,n=1,2,…,證明:ni=1Ti<32.
解(1)由Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,
得a1=S1=43a1-13×4+23,∴a1=2,
∵an=Sn-Sn-1=43(an-an-1)-13(2n+1-2n),n=2,3,…
∴an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3,….
∴{an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,
∴an+2n=4×4n-1=4n,n=1,2,….
∴an=4n-2n,n=1,2,….
(2)將an=4n-2n,n=1,2,…代入Sn=43an-13×2n+1+23,n=1,2,…,得
Sn[WB]=43(4n-2n)-13×2n+1+23=13(2n+1-1)(2n+1-2)[DW]=23(2n+1-1)(2n-1).
Tn[WB]=2nSn=32×2n(2n+1-1)(2n-1)[DW]=32×(12n-1-12n+1-1).
∴ni=1Ti[WB]=32×ni=1(12i-1-12i+1-1)[DW]=32(121-1-12n+1-1)<32.
二、函數型不等式的證明
所謂函數型不等式,是指以函數為背景,待證的不等式左右兩邊是以函數值的和差積商以及自變量、因變量的代數式為表現形式的不等式.對于這種形式的不等式,通常采用的方法:利用函數的單調性證明.這里要特別提示的是,在證明常量不等式中往往需要構造函數,將常量變量化.在多元常量變量化中通常有兩種形式:一是個體常量化,另一類是整體變量化,如和、積等.