探究勻速圓周運動的分運動

于正榮

摘 要：高中物理教材在研究平拋運動時采用了運動的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運動時，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運動否存在分運動？本文擬對這個問題進行相關探討，并給出了四種特殊的分解結果。

關鍵詞：勻速圓周運動；運動的分解；等時性；平行四邊形定則

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2014）11（S）-0040-3

眾所周知，勻速圓周運動是一種十分簡單的運動形式，能否再對它進行運動分解呢？若能，其分運動會不會像分解平拋運動那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運動》一章，在處理平拋運動時，強調將復雜的運動分解成幾個（通常是兩個）簡單的運動，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運動時，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運動分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對勻速圓周運動的分運動進了的有益探討，供大家教學中參考。

1 分運動是兩個周期相同、相互正交的簡諧運動

如圖1所示，質點以O點為圓心、R為半徑，沿逆時針方向做勻速圓周運動，從經過x軸上的A點開始計時，經時間t，相對圓心O轉過α角運動到圖1中的P點，根據三角函數關系，容易得到P點的坐標：

實際上，高中教材在研究簡諧運動時，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運動在x軸或y軸方向上的投影就是簡諧運動，其中道理不言自明，這也是李薩如圖形（即一個質點同時在x軸和y軸上作簡諧運動而形成的圖形）中的一種最簡單情況。

2 分運動是兩個周期相同、方向成任一角度的簡諧運動

3 分運動是兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動

設質點以速度v從O點出發，沿順時針方向做勻速圓周運動，質點在O點時速度方向與x軸成θ角，將速度v分別沿x軸、y軸分解，得到兩個分速度v1、v2，如圖3所示。則質點的運動可分解為兩個周期相同、同時從O點出發，分別以v1、v2沿順時針方向的勻速圓周運動?，F證明如下：

設質點的運動半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以OP與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設質點從O點開始經時間t轉過角到達Q點，則由幾何關系可知PQ與PM成（α-θ）角，因此Q點的坐標為：

4 分運動是兩個周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運動

本結論的證明采用前面的方法完全可行，但運算過程更加復雜，這里不作推導。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設質點從坐標原點O出發，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運動，將速度v分解，得到兩分速度v1、v2，且v1、v2分別與v成θ1、θ2角。設質點再經任意時間t運動到Q點，這時我們仍可將此刻的瞬時速度v分解，使它的兩個分量大小仍為v1、v2，且仍與v分別成θ1、θ2角。假設質點從O到Q相對圓心P轉過α角，不難看出，此過程合速度v以及兩個分速度、也都同時轉過了角，這說明勻速圓周運動的線速度v始終存在著這樣的兩個分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個分速度v1、v2所對應的運動也是勻速圓周運動。

綜上所述，勻速圓周運動盡管本身已經非常簡單，但我們仍可對它進行分解。并隨著分解方式的不同，分運動的復雜程度也不同，但結果都不如平拋的分運動那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學部分學習勻速圓周運動時，鑒于學生的認知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運動，但由此也就產生了勻速圓周運動是一種最簡單的運動而不能再進行分解的誤會。其實，任何一種運動，原則上都可以對它的速度進行分解，分速度所對應運動就是它的分運動，不過如果分運動過于復雜，就失去了分解的意義。這一點，在學習圓周運動時，為消除學生的困惑，應該向學生作簡要說明。

參考文獻：

[1]張典松.分析物體運動情況的方法[J].物理教學探討，2007，（10）：19.

[2]趙懷彬.圓周運動中的圓錐擺模型[J].物理教學探討，2013，（8）：45.

[3]許冬保.基于不同坐標系視角下的勻速圓周運動分運動的探究[J].中學物理，2013，（12）：29.

（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：高中物理教材在研究平拋運動時采用了運動的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運動時，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運動否存在分運動？本文擬對這個問題進行相關探討，并給出了四種特殊的分解結果。

關鍵詞：勻速圓周運動；運動的分解；等時性；平行四邊形定則

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2014）11（S）-0040-3

眾所周知，勻速圓周運動是一種十分簡單的運動形式，能否再對它進行運動分解呢？若能，其分運動會不會像分解平拋運動那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運動》一章，在處理平拋運動時，強調將復雜的運動分解成幾個（通常是兩個）簡單的運動，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運動時，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運動分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對勻速圓周運動的分運動進了的有益探討，供大家教學中參考。

1 分運動是兩個周期相同、相互正交的簡諧運動

如圖1所示，質點以O點為圓心、R為半徑，沿逆時針方向做勻速圓周運動，從經過x軸上的A點開始計時，經時間t，相對圓心O轉過α角運動到圖1中的P點，根據三角函數關系，容易得到P點的坐標：

實際上，高中教材在研究簡諧運動時，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運動在x軸或y軸方向上的投影就是簡諧運動，其中道理不言自明，這也是李薩如圖形（即一個質點同時在x軸和y軸上作簡諧運動而形成的圖形）中的一種最簡單情況。

2 分運動是兩個周期相同、方向成任一角度的簡諧運動

3 分運動是兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動

設質點以速度v從O點出發，沿順時針方向做勻速圓周運動，質點在O點時速度方向與x軸成θ角，將速度v分別沿x軸、y軸分解，得到兩個分速度v1、v2，如圖3所示。則質點的運動可分解為兩個周期相同、同時從O點出發，分別以v1、v2沿順時針方向的勻速圓周運動?，F證明如下：

設質點的運動半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以OP與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設質點從O點開始經時間t轉過角到達Q點，則由幾何關系可知PQ與PM成（α-θ）角，因此Q點的坐標為：

4 分運動是兩個周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運動

本結論的證明采用前面的方法完全可行，但運算過程更加復雜，這里不作推導。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設質點從坐標原點O出發，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運動，將速度v分解，得到兩分速度v1、v2，且v1、v2分別與v成θ1、θ2角。設質點再經任意時間t運動到Q點，這時我們仍可將此刻的瞬時速度v分解，使它的兩個分量大小仍為v1、v2，且仍與v分別成θ1、θ2角。假設質點從O到Q相對圓心P轉過α角，不難看出，此過程合速度v以及兩個分速度、也都同時轉過了角，這說明勻速圓周運動的線速度v始終存在著這樣的兩個分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個分速度v1、v2所對應的運動也是勻速圓周運動。

綜上所述，勻速圓周運動盡管本身已經非常簡單，但我們仍可對它進行分解。并隨著分解方式的不同，分運動的復雜程度也不同，但結果都不如平拋的分運動那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學部分學習勻速圓周運動時，鑒于學生的認知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運動，但由此也就產生了勻速圓周運動是一種最簡單的運動而不能再進行分解的誤會。其實，任何一種運動，原則上都可以對它的速度進行分解，分速度所對應運動就是它的分運動，不過如果分運動過于復雜，就失去了分解的意義。這一點，在學習圓周運動時，為消除學生的困惑，應該向學生作簡要說明。

參考文獻：

[1]張典松.分析物體運動情況的方法[J].物理教學探討，2007，（10）：19.

[2]趙懷彬.圓周運動中的圓錐擺模型[J].物理教學探討，2013，（8）：45.

[3]許冬保.基于不同坐標系視角下的勻速圓周運動分運動的探究[J].中學物理，2013，（12）：29.

（欄目編輯 羅琬華）

摘 要：高中物理教材在研究平拋運動時采用了運動的分解和合成的方法。然而在研究勻速圓周運動時，卻避開了的這種方法，這究竟是什么原因？勻速圓周運動否存在分運動？本文擬對這個問題進行相關探討，并給出了四種特殊的分解結果。

關鍵詞：勻速圓周運動；運動的分解；等時性；平行四邊形定則

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2014）11（S）-0040-3

眾所周知，勻速圓周運動是一種十分簡單的運動形式，能否再對它進行運動分解呢？若能，其分運動會不會像分解平拋運動那樣簡單？另外，高中物理教材《曲線運動》一章，在處理平拋運動時，強調將復雜的運動分解成幾個（通常是兩個）簡單的運動，以使問題簡化，然而，在緊接著研究勻速圓周運動時，卻另砌爐灶，采用線速度、角速度、周期等新的物理量去描述，完全回避了運動分解的處理方法，這又究竟是基于什么原因？帶著這些問題，筆者對勻速圓周運動的分運動進了的有益探討，供大家教學中參考。

1 分運動是兩個周期相同、相互正交的簡諧運動

如圖1所示，質點以O點為圓心、R為半徑，沿逆時針方向做勻速圓周運動，從經過x軸上的A點開始計時，經時間t，相對圓心O轉過α角運動到圖1中的P點，根據三角函數關系，容易得到P點的坐標：

實際上，高中教材在研究簡諧運動時，曾提到了所謂的參考圓，即勻速圓周運動在x軸或y軸方向上的投影就是簡諧運動，其中道理不言自明，這也是李薩如圖形（即一個質點同時在x軸和y軸上作簡諧運動而形成的圖形）中的一種最簡單情況。

2 分運動是兩個周期相同、方向成任一角度的簡諧運動

3 分運動是兩個周期相同、速度相互正交的勻速圓周運動

設質點以速度v從O點出發，沿順時針方向做勻速圓周運動，質點在O點時速度方向與x軸成θ角，將速度v分別沿x軸、y軸分解，得到兩個分速度v1、v2，如圖3所示。則質點的運動可分解為兩個周期相同、同時從O點出發，分別以v1、v2沿順時針方向的勻速圓周運動?，F證明如下：

設質點的運動半徑為R、圓心為P，由于PO與v垂直，所以OP與PM（PM與y軸平行）成θ角。再設質點從O點開始經時間t轉過角到達Q點，則由幾何關系可知PQ與PM成（α-θ）角，因此Q點的坐標為：

4 分運動是兩個周期相同、速度成任意角度的勻速圓周運動

本結論的證明采用前面的方法完全可行，但運算過程更加復雜，這里不作推導。為此，我們換一種方法予以證明：如圖5所示，設質點從坐標原點O出發，以速度v（沿x軸正方向）做勻速圓周運動，將速度v分解，得到兩分速度v1、v2，且v1、v2分別與v成θ1、θ2角。設質點再經任意時間t運動到Q點，這時我們仍可將此刻的瞬時速度v分解，使它的兩個分量大小仍為v1、v2，且仍與v分別成θ1、θ2角。假設質點從O到Q相對圓心P轉過α角，不難看出，此過程合速度v以及兩個分速度、也都同時轉過了角，這說明勻速圓周運動的線速度v始終存在著這樣的兩個分速度：它們的大小以及與合速度v的夾角始終保持不變，并以相同的周期和旋轉方向隨著合速度v變化而變化。顯然，這兩個分速度v1、v2所對應的運動也是勻速圓周運動。

綜上所述，勻速圓周運動盡管本身已經非常簡單，但我們仍可對它進行分解。并隨著分解方式的不同，分運動的復雜程度也不同，但結果都不如平拋的分運動那樣簡單、直觀。正是基于這樣的原因，在高中力學部分學習勻速圓周運動時，鑒于學生的認知水平和解決問題的煩難程度，教材采取了回避的態度，而不采用分解的方法處理勻速圓周運動，但由此也就產生了勻速圓周運動是一種最簡單的運動而不能再進行分解的誤會。其實，任何一種運動，原則上都可以對它的速度進行分解，分速度所對應運動就是它的分運動，不過如果分運動過于復雜，就失去了分解的意義。這一點，在學習圓周運動時，為消除學生的困惑，應該向學生作簡要說明。

參考文獻：

[1]張典松.分析物體運動情況的方法[J].物理教學探討，2007，（10）：19.

[2]趙懷彬.圓周運動中的圓錐擺模型[J].物理教學探討，2013，（8）：45.

[3]許冬保.基于不同坐標系視角下的勻速圓周運動分運動的探究[J].中學物理，2013，（12）：29.

（欄目編輯 羅琬華）