國外教材中關于連續復利講授的種種錯誤

摘要：本文分析說明，國外各學科教材中關于連續復利的認識和應用都是錯誤的。

關鍵詞：年利率；增長率；連續復利

1.問題的提出

通常國外教材[1-5]中講的連續復利是：

設初始資金為A0，年利率為r，按復利計算，t年后資金總額為

文[6、7]已經詳細分析了連續復利公式（3）推導中的問題。連續復利這種概念長時期存在于多學科國外的教材中，但其論述都是不對的。

2.推證中的問題

例12006年機械工業出版社出版的《微積分及其應用》（英文第8版翻譯本）用解微分方程和求極限兩種方法推證了連續復利模型。

“例4商業：永續復利（這里的”永續復利”即一般書中的連續復利；這個詞在該書中第一次出現就是在這個例題中—本文注）假設投入資金p0到儲蓄中，年永續復利率為7%，即結存p的增長率為

a）根據所給出的p0和0.07，求滿足這個方程的函數。

b）假設投資100美元，1年后結存是多少？

c）多少時間之后所投資的100美元能翻一番？

解：a）P（t）=P0e0.07t

b）p（1）=100e0.07（1）=100e0.07=100（1.072508）≈107.25美元

c）求時間T，使得P（T）=200美元，數T稱為倍增時間（doubling time），為了求T，解方程200=100e0.07.T2=e0.07T

在這本《微積分及其應用》用微分方程方法證明連續復利模型的過程中，通過具體數值，從dpdt=0.07p和初始條件p（0）=p0推出了p（t）=p0e0.07t。這也就是從dpdt=kp和初始條件p（0）=p0推出p（t）=p0ekt。

用極限方法證明連續復利模型的過程中，用到了A=p0（1+kn）nt。

這就是說用dpdt=kp（初始條件p（0）=p0）與A=p0（1+kn）nt都能推出p（t）=p0ekt，并且兩種推證方法中用到的是相同的參數k，這就更容易讓人相信連續復利法的正確性。

這里存在的問題是，盡管在這個例題中把參數k解釋為年永續復利率，但參數k的含義是什么還是需要做進一步分析。

如果給出的k是連續復利率，在極限推導方法中，構成的式子A=p0（1+kn）nt已不是復利分期計算模型（2）。這應當是已經說不清含義的一個式子；在方程推導方法中，根據所謂連續復利率k=0.07得出dpdt=kp，也缺乏確切的根據。這如同根據連續化后的式子A（t）=A0（1+r）t（t取實數中）中的r得出dpdt=rp缺乏確切的根據一樣。

如果k是（普通）年復利率，則dpdt=kp是不成立的；根據本節以上分析可知，由A=p0（1+kn）nt推p（t）=p0ekt也是不對的。

總之，這里用的兩種方法每一種都是不對的。

3.繞開連續復利的困惑講連續復利

例22009年機械工業出版社出版的《公司理財》（英文第8版翻譯本）中有

“例4-15連續復利Linda Defond以連續復利計息方式將其1000美元投資1年。那么，她的投資到了年末將等于多少？

由式（4—9）（指計算式C0×erT——本文注）可得：

1000美元×e0.10=1000美元×1.1052=1105.20美元

這一結果也可很容易地從表A-5（該書中的表A-5包括下表-本文注）中查到。即只要在橫攔中找出所給的利率r=10%，在豎欄中找出T，與本例有關的表中的部分為：

連續型復利計息利率（r）

注意利率為的連續計息等價于利率為的年復利計息方式。換句話說，Linda認為將她的資金以的利率連續計息或是以利率年復利是沒有差別的”

應該說，作者講Linda投資的例子和Linda的感受是為了讓人們進一步理解連續復利率。該書講了“Linda認為”，應該從形成“Linda認為”的原因講起。如果從“她的資金以的利率連續計息或是以利率年復利是沒有差別”推出，所謂以的利率連續計息就是普通的以利率計息，就說明“Linda認為”是對的，這就說明了從公式（1）推導出連續復利公式（3）除去根據年利率推導出年利率外沒有任何意義，這樣就否定了所謂的連續復利公式（3）；如果說“她的資金以的利率連續計息或是以利率年復利是沒有差別”是不對的，就應該講清楚這差別在哪里，讓讀者進一步體會所謂連續復利的意義。但該書沒有對“Linda認為”做進一步做出否定連續復利的分析，而是在“Linda認為”的基礎上繼續講連續復利的所謂意義，

4.用理解錯誤的生物增長規律解釋連續復利

例32010年機械工業出版社出版的《衍生工具》（英文翻譯本）在論述連續復利公式（3）時說

“乍一看，連續利率似乎與現實不符，但恰恰相反。假設我們要對樹的增長建模，樹木并不是以離散的方式增長，其增長是連續的，如果假定樹木的當前高度是50英尺，每年增長率為5%，樹木6個月后的高度將是50e0.05（0.05）=51.266英尺”。

該書此段不是要將連續復利法用到樹木增長上，而是要用樹木連續增長現象解釋連續復利法。

實際上，人們“乍一看，連續利率似乎與現實不符”，就是人們憑中小學知識和生活常識，就感覺到連續利率與現實不符。在這里，人們憑中小學知識和生活常識得出的感覺是正確的。樹木增長與這里的復利計算是同一類數學問題，10英尺高的樹木，一年增高，一年后就是20英尺；10英尺的樹木，一年后長成20英尺高，一年的增長率就是。這里并沒有要求樹木以離散的方式增長。樹木無疑是連續增長的，樹木的增長與人們采用離散計算還是連續計算無關。如果樹木的當前高度是50英尺，每年增長率，樹木6個月后的高度將是英尺，而不會是。我們應當做的是，從對樹木增長的計算去揭示連續復利法的荒謬性，而不是相反，所以，該書此段的論述不成立。

5.認為連續復利“可在實際中被用作那種轉換非常頻繁（例如按日計）的利息的近似”

例41996年上?？萍汲霭嫔绯霭娴摹独⒗碚摗罚ㄓ⑽姆g本）中把刻畫資金總額A（t）隨時間t而增長的關系A′（t）A（t）=λ中的λ稱作利息效力。年利率r與年利息效力λ間的關系是該書（第30、31頁）敘述說“利息效力是一種有用的概念化手段。它使復利金額的連續增長類似于自然科學中的增長函數。從理論上說，利息最基本的度量就是利息效力，但在實際上，實質和名義利率與貼現率用得更頻繁，因為它們更簡單，對于多數人來說更易理解，而且大多數金融業務包含的是離散過程而非連續過程。這并不是說利息效力沒有實際意義。除掉它是一種有用的概念化及分析工具以外，它還可在實際中被用作那種轉換非常頻繁（例如按日計）的利息的近似?！?/p>

這里的問題是：并不是利息效力“使復利金額的連續增長類似自然科學中的增長函數”，復利公式（1）本身就是“使復利金額的連續增長類似自然科學中的增長函數”。

說利息效力“還可在實際中被用作那種轉換非常頻繁（例如按日計）的利息的近似”也是不對的。例如，當年利率是10%時，用A（t）=A0（1+10%）t作“那種轉換非常頻率（例如按日計）的利息的近似”和計算都是對的；用A（t）=A0eλt=A0etlnI1+10%=A0（1+10%）t去作“那種轉換非常頻率（例如按日計）的利息的近似”和計算，這實際上還是普通復利，這與利息效力或連續復利無關；而用A（t）=A0e0.1t=A0（1+10.517%）t去作“那種轉換非常頻繁（例如按日計）的利息的近似”則是不對的?？傊?，這段論述不成立。

6.應用連續復利求等額支付問題

例52007年清華大學出版社出版的《工程經濟學》（英文第13版翻譯本）有如下例題：

“例4-26連續復利和年度等額支付

假設有個人目前貸款1000美元，采用名義利率是20%的連續復利（m=∞）。計算他在10年里每年等額償還的金額為多少？

解：利用公式A=P（A/P，r%，N）

但因為附錄中沒有列出連續復利的（A/P）系數，所以我們用附錄D（見該書564頁—本文注）中列表的（P/A）的倒數來替代：

A=P×1（P/A，20%，10）=1000×13.9054=256（美元）

在離散復利（m=1）的情況下，同樣是這個例子的年度等值是：

A=P（A/P，20%，10）=1000×0.2385=238（美元）”

從這里的解答看，設置此題是要讓讀者理解離散復利與連續復利在應用上的差別。問題是，e20%=1+22.14%，“采用名義利率是20%的連續復利”就是采用22.14%利率計算，利率20%與22.14%當然是有差別的。給出“采用名義利率是的連續復利（m=∞）”作為解決問題的條件，除去將年利率提20%高到了22.14%外，沒能表達出任何別的意義。

其它如1980年John WiIey出版的《EssentiaI Mathe matics for Economists》利用連續復利推導出了資金流現值計算公式，2011年機械工業出版社出版的《期權與期貨市場基本原理》（英文第7版翻譯本）將連續復利應用到二叉樹期權定價模型、B-S期權定價模型，對于連續復利的這些錯誤應用，文已有詳細論述，可以斷言，若還有其它關于連續復利的應用，那一定也是不對的。我國高校出版的教材關于連續復利的講授也都是不對的。

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