一種無奇異參數橢圓柱形電磁隱身斗篷的設計基礎理論

劉冶，李竹影，趙林，俞翔，曹文康

（海軍工程大學，武漢 430033）

超材料電磁隱身斗篷是21世紀初提出的一類新型電磁隱身裝置，與采用吸波材料[1—2]、縮小散射截面、將波反射到其他方向、雷達干擾技術和偽裝技術等傳統隱身方式不同。隱身斗篷的實現是基于空間等效的原理，將超材料介質所在的變換空間與原自由空間通過變換光學理論進行等效[3—4]，使得電磁波在超材料介質中的傳輸不產生散射現象。因此對外界觀測者而言，電磁波被認為一直在自由空間中傳播而未曾遇到障礙物，從而實現了隱身斗篷及其內部散射體對電磁波的隱身。隨著2006年世界上第一個圓柱形簡化參數電磁隱身斗篷的問世[5]，科學界很快掀起對隱身斗篷研究的熱潮[6—11]。正是在2006年，美國《Science》雜志將該項研究列為年度十大科技進展之一。除了隱身斗篷外，人們將變換光學理論的應用也拓展到了其他功能性電磁隱身裝置，如透明體[12]、聚焦器[13]、幻影裝置[14]、波長變換器[15]、場旋轉器[16]等。

雖然理想參數的斗篷在理論上具有近乎完美的電磁隱身特性，但由于其理想參數存在奇異性（即在斗篷區域的內邊界上電磁參數的值為無窮大），使得這類理想斗篷在物理實現上遇到很大的困難，要在工程上完全實現斗篷的理想參數基本不大可能。因此科學家們開始尋找克服斗篷參數奇異性的方法，如線變換方法[17]、“地毯式”斗篷的提出[18]、大尺度物體隱身裝置的設計[19]等?；趯η笆鲈O計原理與方法的研究，文中基于線變換法，對無奇異參數橢圓柱形斗篷的電磁參數設計進行了理論研究和數學推導，通過在直角坐標系下設計出合理的空間坐標變換式，最終完成對該無奇異參數斗篷的設計。

1 線變換法

從拓撲學[20]的角度來看，應用變換光學原理推導理想斗篷的電磁參數張量時會涉及到空間的壓縮，即原空間的一點將被拉伸為變換空間的一條封閉曲線，這種非同胚變換會導致奇異值的產生。線變換法的基本思路是通過引入遠離模型中心點的封閉曲線，使得在空間變換過程中，該封閉曲線被拉伸為斗篷內邊界曲線，此時的空間變換變為同胚變換，使得斗篷電磁參數張量的奇異性消除。此處需要指出的是，線變換法中包含引入封閉曲線的近似處理，因此所設計的斗篷的隱身性能會受到一定影響。

2 無奇異參數橢圓柱形斗篷電磁參數張量的推導

2.1 斗篷對應空間變換的設計

在原空間區域中引入一條封閉的且與斗篷內外邊界同形的橢圓曲線，基于線變換的思想，得到空間變換圖，如圖1所示。

圖1 無奇異參數的橢圓柱形斗篷橫截面的空間變換Fig.1 The space transformation of the cross section of a non-singular elliptical cylindrical invisible cloak

從圖1中可以看出，無奇異參數的橢圓柱形斗篷的橫截面是由二維橢圓環狀空間壓縮而來。其中，從內到外橢圓曲線的長半軸分別為kc，ka，kb，短半軸為c，a，b，長短軸比為k。此時，設原空間為（kc）2≤x2+k2y2≤（kb）2所圍成的橢圓環狀區域，變換后的橢圓環狀區域為（ka）2≤x2+k2y2≤（kb）2。因此，原空間任意一點M與變換空間的N點對應，原空間曲線（x2+k2y2=（kc）2）上A點與變換空間曲線（x′2+k2y′2=（ka）2）上的C點對應，曲線x2+k2y2=（kb）2，x′2+k2y′2=（kb）2在兩空間重合。上述空間變換過程在柱坐標下的關系式為：

根據變換光學理論[2]，可以推導得到柱坐標下，無奇異參數的橢圓柱形斗篷的電磁參數張量表達式為：

式（2）—（5）中，有：

2.2 橢圓柱形斗篷電磁參數的無奇異性驗證

在推導出斗篷的電磁參數張量后，采用Matlab軟件計算出該張量表達式在斗篷坐標區域的數值，已驗證斗篷電磁參數張量的無奇異性。

在2.1節中的斗篷模型中，設內外橢圓以及引入的小橢圓的短半軸分別為a=0.02 m，b=0.04 m，c=0.001 m，共形橢圓的長短軸比均為k=4。應用Matlab軟件對式（2）—（5）中的各個表達式進行數值計算，得到的各個電磁參數值如圖2所示。

圖2 橢圓柱形斗篷的各個電磁參數分量值Fig.2 Each value of the electromagnetic components of elliptical cylindrical invisible cloak model in calculation

提取圖2中所顯示數值的極值，見表1。

表1 斗篷各個電磁參數的最大值和最小值Table 1 Maximum and minimum value of each electromagnetic parameter of the cloak

從表1可以看到，經過線變換的處理后，橢圓柱形斗篷電磁參數各個分量的奇異性已消除，此時斗篷電磁參數表達式（2）—（5）的值均為有限值。

3 無奇異參數橢圓柱形斗篷的隱身性能驗證

3.1 斗篷的仿真模型

采用2.2節中橢圓曲線的形狀參數，建立橢圓柱形斗篷的仿真模型如圖3所示。

圖3 無奇異參數的橢圓柱形斗篷的仿真模型Fig.3 The sketch map of the non-singular elliptical cylindrical invisible cloak model in simulation

如圖3所示，在仿真條件中，波源設為單位強度的平面橫磁波（TM平面波），工作頻率為8.5 GHz，求解域設為0.46 m×0.36 m的矩形區域。該區域的邊界設置為吸收邊界，橢圓曲線x′2+k2y′2=（kb）2設置為連續邊界，橢圓曲線x2+k2y2=（kc）2和x′2+k2y′2=（ka）2設置為理想磁導體邊界。電磁波的入射條件是TM波從矩形區域的左邊界進行垂直入射。斗篷以外的區域設置為自由空間區域，即εr=μr=1?；谏鲜龇抡鏃l件，采用COMSOL Multiphysics有限元仿真軟件進行數值分析，最終得到的仿真結果如圖4所示。

從圖4中可以看到，當TM波進入斗篷區域時，其等相位面開始平滑地沿著斗篷的內邊界彎曲，而當TM波從斗篷區域透射至外部自由空間區域時，該波的等相位面又基本恢復成為平面，從而保持了初始的波形。從自由空間區域的磁場分布情況來看，在求解域的中軸線及附近位置處出現了磁場的擾動，但從TM波在自由空間區域的整體傳播情況來看，TM波的波形基本上沒有發生明顯的變化。從求解域磁場場強的數值來看，其最大值為1.362 A/m，最小值為-1.312 A/m，與入射前波源的單位強度1 A/m相差并不大，說明求解域中波的散射現象并不明顯，進而反映了該斗篷對電磁波的隱身性能較好。從上述的仿真結果來看，基于線變換方法所設計的無奇異參數的橢圓柱形斗篷仍然具有良好的電磁隱身性能。

圖4 無奇異參數的橢圓柱形斗篷的磁場分布Fig.4 The magnetic field distribution of non-singular elliptical cylindrical invisible cloak

4 結論

基于線變換方法，通過設計合理的坐標表達式，消除了橢圓形隱身斗篷電磁參數張量的奇異性。數值仿真結果顯示，電磁波在求解域傳播的過程中，在自由空間區域存在一定的磁場擾動現象，但電磁波的波形在該區域基本保持不變，且電磁波在斗篷區域傳播時其波形產生了明顯的彎折，繞過了斗篷內部區域。因此可以認為，該斗篷雖然不能實現理想參數斗篷的完美隱身特性，但仍然具備良好的電磁隱身性能。

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