關于BCH－代數導出半群的一些結果

李金龍，李 軍

1966年，日本數學家K.Iseki提出了BCI－代數；1981年，胡慶平推廣了這個代數系統，提出了BCH－代數.眾所周知，BCI－代數類是BCH－代數類的真子類，正是由于這樣原因，對BCH－代數的研究就更困難一些，但通過研究所得的結論卻更具有普遍性.文［1］作者討論了BCH－代數的導出半群；文［2］作者討論了BCI－代數的可換序半群.作者將利用BCH－代數的導出半群來刻畫結合BCI－代數、p－半單BCI－代數、擬結合BCH－代數和BCHK－代數.因為一般的BCH－代數沒有BCI－代數中的自然偏序關系，所以可換序半群需在文［3］作者提出的偏序BCH－代數中來討論，并給出有關可換序半群的一些性質.

為行文方便，先引入下面的一些定義和結論.

定義1［4］一個（2，0）型代數〈X；＊，0〉叫作BCH－代數，如果?x，y，z∈X，它滿足下列公理

定義2［5］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，若?x∈X，有0＊（0＊x）＝0＊x成立，則稱〈X；＊，0〉是一個擬結合BCH－代數.

定義3［3］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，若x≤y（x≤y?x＊y＝0），?z∈X，有z＊y≤z＊x，則稱〈X；＊，0〉是一個偏序BCH－代數.

若x≤y，?z∈X，有z＊y≤z＊x，這個性質稱為BCH－代數的偏序性.

在文［9］中，給出了序半群的理想和核的概念，將其中的運算改為加法后可敘述為：

定義4［9］設A是加法序半群 （S，＋，≤）的非空子集，如果滿足：

（1）?s∈S，?a∈A，有s＋a，a＋s∈A；（2）?b∈S，?a∈A，由b≤a，可推出b∈A.

則稱A是序半群S的理想.

如果序半群S的所有理想的交非空，稱這個非空交為S的核，記為Ker（S）.在序半群S中，如果只有S為它的理想，稱S為單序半群.如果Ker（S）存在，必是S的最小理想.

引理1［1］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，?x，y∈X，定義，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］，則（X，＋）是一個可換半群，且有（0＊x）＋x＝0.

設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，文［6］中，記G（X）＝｛x∈X｜0＊x＝x｝，L（X）＝｛x∈X｜0＊（0＊x）＝x｝，它們分別稱為BCH－代數〈X；＊，0〉的結合部分、p－半單部分；文［5］中，記Q（X）＝｛x∈X｜0＊（0＊x）＝0＊x｝，并有下面的結論：

引理2［5－6］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，則有下列結論成立：

（1）G（X）是X 的一個結合BCI－子代數；（2）L（X）是X 的一個p－半單BCI－子代數；（3）Q（X）是X的一個擬結合子代數.

引理3［4－5］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，則?x，y∈X，有下列結論成立：

（1）0＊（x＊y）＝（0＊x）＊（0＊y）；（2）0＊［0＊（0＊x）］＝0＊x；（3）x＊0＝x.

引理4［5］設〈X；＊，0〉是一個擬結合BCH－代數，則有下列結論成立：

（1）?x，y∈X，定義：x＋y＝0＊（x＊y），則（X，＋）是一個交換（可換）半群；

（2）?x∈X，有（0＊x）＊x＝0.

引理5［4］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，若?x∈X，有0＊x＝x，則〈X；＊，0〉是一個結合BCI－代數.

引理6［7］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，若?x∈X，有0＊（0＊x）＝x，則〈X；＊，0〉是一個廣義結合（p－半單）BCI－代數.

引理7［8，10］設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，則有下列結論成立：

（1）L（X）＝｛0＊x｜x∈X｝＝｛0＊（0＊x）｜x∈X｝；（2）設x∈L（X），若y∈X，有y＊x＝0，則y＝x.

引理8［3］設〈X；＊，0〉是一個偏序BCH－代數，則X中的二元關系≤是一個偏序關系.

1 用BCH－代數導出半群來刻畫特殊的BCH－代數

設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，?x，y∈X，定義x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］，由引理1知，（X，＋）是一個可換半群，文［1］將（X，＋）稱為BCH－代數〈X；＊，0〉的導出半群.下面先討論（X，＋）的幾個子代數，然后用BCH－代數的導出半群來刻畫一些特殊的BCH－代數.

定理1 設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，則有下列結論：

（1）（G（X），＋）是BCH－代數導出半群（X，＋）中的對合群；

（2）（L（X），＋）是BCH－代數導出半群（X，＋）中的可換群；

（3）（Q（X），＋）是BCH－代數導出半群（X，＋）的可換子半群.

證明 （1）利用引理2的（1）知，G（X）是X 的一個結合BCI－子代數，故?x，y∈G（X）有，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝x＊y，由文［4］知，（G（X），＋）是一個對合群，且0是零元，故（G（X），＋）是 （X，＋）中的對合群.

（2）利用引理2的（2）知，L（X）是X 的一個p－半單BCI－子代數，故?x，y∈L（X），由引理3的（1）得，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝［0＊（0＊x）］＊（0＊y）＝x＊（0＊y），再由文［4］知，（L（X），＋）是一個可換群，故（L（X），＋）是 （X，＋）中的可換群.

（3）利用引理2的（3）知，Q（X）是X 的一個擬結合子代數，故?x，y∈Q（X），由引理3的（1）和定義2，得x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝［0＊（0＊x）］＊（0＊y）＝（0＊x）＊（0＊y）＝0＊（x＊y），再由引理4的（1），知（Q（X），＋）是可換半群，故（Q（X），＋）是 （X，＋）的可換子半群.

定義5 設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，若?x∈X，有0＊x＝0成立，則稱〈X；＊，0〉是一個BCHK－代數.

定理2 設〈X；＊，0〉是一個BCH－代數，則有下列結論：

（1）X是結合BCI－代數當且僅當導出半群（X，＋）是以0為零元的對合群；

（2）X是p－半單BCI－代數當且僅當導出半群（X，＋）是以0為零元的可換群；

（3）X是擬結合BCH－代數當且僅當（L（X），＋）是以0為零元的導出半群（X，＋）中的對合群；（4）X是BCHK－代數當且僅當導出半群（X，＋）中任意兩個元素之和為零.

證明 （1）設X是結合BCI－代數，則G（X）＝X，由定理1知，（X，＋）是對合群，且0是零元.反過來，若導出半群（X，＋）是以0為零元的對合群，則?x∈X有，x＋x＝0，由引理1知，（0＊x）＋x＝0，故0＊x＝x，由引理5知，〈X；＊，0〉是結合BCI－代數.

（2）設X 是p－半單BCI－代數，則L（X）＝X，由定理1知，（X，＋）是可換群，由 H－1得，0＋x＝0＊［（0＊0）＊x］＝0＊（0＊x）＝x，故0是X的零元.反過來，若導出半群（X，＋）是以0為零元的可換群，則?x∈X 有，0＋x＝x，即0＊（0＊x）＝x，由引理6知，〈X；＊，0〉是p－半單BCI－代數.

（3）必要性.設X 是擬結合BCH－代數，則?x∈L（X），由引理4的（2）和 H－1知，x＋x＝0＊［（0＊x）＊x］＝0＊0＝0，又0＋x＝0＊（0＊x）＝x，利用定理1得，（L（X），＋）是以0為零元的導出半群（X，＋）中的對合群.

充分性.?x∈X，令y＝0＊x，由引理7的（1）知，y∈L（X），因（L（X），＋）以0為零元的導出半群（X，＋）中的對合群，由引理3的（1）和（2）得

0＝y＋y＝ （0＊x）＋（0＊x）＝0＊｛［0＊（0＊x）］＊（0＊x）｝＝ （0＊x）＊［0＊（0＊x）］.又由引理3，上式和H－1得

［0＊（0＊x）］＊（0＊x）＝ ［0＊（0＊x）］＊｛0＊［0＊（0＊x）］｝＝0＊｛（0＊x）＊［0＊（0＊x）］｝＝0＊0＝0.

再由 H－2得，0＊（0＊x）＝0＊x，所以利用定義2知，〈X；＊，0〉是擬結合BCH－代數.

（4）必要性.設〈X；＊，0〉是BCHK－代數，則?x，y∈X，有x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝0.

充分性.設?x，y∈X 有，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝0，取x＝0，由 H－1得，0＊（0＊y）＝0，兩端左乘0得，0＊［0＊（0＊y）］＝0＊0＝0，由引理3的（2）得，0＊y＝0，因此由定義5知，〈X；＊，0〉是BCHK－代數.

最后說明一下，設（X，＋）是BCH－代數〈X；＊，0〉的導出半群，二元運算＋的值域記為Ran（X，＋），由引理7的（1）易知Ran（X，＋）＝｛x＋y｜x，y∈X｝＝｛0＊［（0＊x）＊y］｜x，y∈X｝＝L（X）.

2 偏序BCH－代數導出半群的性質

定理3 設〈X；＊，0〉是一個偏序BCH－代數，則它的導出半群（X，＋）是一個可換序半群.記為（X，＋，≤），這里的≤是偏序BCH－代數〈X；＊，0〉的偏序.

證明 利用引理8知，（X，≤）是偏序集，由引理1知，（X，＋）是可換半群；?x，y，z∈X，設x≤y，由偏序性和 H－3得，（0＊z）＊y≤（0＊z）＊x，（0＊y）＊z≤（0＊x）＊z，再由偏序性得，0＊［（0＊x）＊z］≤0＊［（0＊y）＊z］，即x＋z≤y＋z，利用交換律得，z＋x≤z＋y，所以（X，＋）是一個可換序半群.

設I是偏序BCH－代數〈X；＊，0〉的可換序半群（X，＋，≤）的任一理想，?a∈I，由引理1知，0＝（0＊a）＋a∈I，所以，由定義4知，可換序半群（X，＋，≤）的核一定存在，且0∈Ker（X）.

下面，研究偏序BCH－代數〈X；＊，0〉的可換序半群（X，＋，≤）核的一些性質.

定理4 設〈X；＊，0〉是一個偏序BCH－代數，則它的可換序半群（X，＋，≤）的核就是X 的p－半單部分，即Ker（X）＝L（X）.

證明 由于0∈L（X），所以L（X）是X的非空子集.?x∈X，?a∈L（X），由引理7的（1）知，x＋a＝a＋x＝0＊［（0＊a）＊x］∈L（X）；?b∈X，?a∈L（X），若b≤a，即b＊a＝0，由引理7的（2）得，b＝a∈L（X）.所以，L（X）是（X，＋，≤）的理想.設I是（X，＋，≤）的任一理想，由定理4上面的說明知，0∈I；?a∈L（X），有a＝0＊（0＊a）＝0＊［（0＊0）＊a］＝0＋a∈I，從而L（X）?I.所以，L（X）是可換序半群（X，＋，≤）的最小理想，即Ker（X）＝L（X）.

由定理4和引理7的（1）立即有推論1.

推論1 偏序BCH－代數〈X；＊，0〉的可換序半群（X，＋，≤）的核 Ker（X）＝｛0＊x｜x∈X｝.

若偏序BCH－代數〈X；＊，0〉是BCHK－代數，則L（X）＝｛0｝.反之，若L（X）＝｛0｝，則?x∈X，由引理7的（1）得，0＊x＝0，因此有推論2.

推論2 偏序BCH－代數〈X；＊，0〉是偏序BCHK－代數當且僅當其可換序半群（X，＋，≤）的核Ker（X）＝｛0｝.

推論3 偏序BCH－代數〈X；＊，0〉是p－半單BCI－代數當且僅當其可換序半群（X，＋，≤）是單序半群.

證明 必要性.如果〈X；＊，0〉是p－半單BCI－代數，即L（X）＝X，由定理4得，Ker（X）＝X，故可換序半群（X，＋，≤）只有一個理想，因此它是單序半群.充分性.因X本身是（X，＋，≤）的理想，由定理4知，最小理想Ker（X）＝L（X），又（X，＋，≤）是單序半群，只有一個理想，故X＝L（X），即偏序BCH－代數〈X；＊，0〉是p－半單BCI－代數.

定理5 設偏序BCH－代數〈X；＊，0〉的可換序半群為（X，＋，≤），則核 Ker（X）＝L（X）是（X，＋，≤）中的最大群.

證明 ?x，y∈Ker（X），由于 Ker（X）是（X，＋，≤）的理想，所以，x＋y∈Ker（X）；?x∈Ker（X）＝L（X），因0∈Ker（X），所以，0＋x＝0＊（0＊x）＝x，即0是 Ker（X）的單位元；另外，?x ∈Ker（X），由推論1知，0＊x∈Ker（X），又由引理1，知（0＊x）＋x＝0，故0＊x是x 的逆元，因此，核Ker（X）是（X，＋，≤）中的群.

設Y 是（X，＋，≤）中的任意群，e是Y 的單位元，則?y∈Y 有，e＋y＝y，即0＊［（0＊e）＊y］＝y，令y＝0，由引理3的（3），得0＊（0＊e）＝0，兩端右乘e，由 H－3，H－1，得0＊e＝0，利用此式，在0＊［（0＊e）＊y］＝y中，令y＝e，得e＝0，這說明0是Y 的單位元，從而只要y∈Y，就有0＋y＝0＊（0＊y）＝y，即y∈L（X）＝Ker（X），所以，Y?Ker（X）.這就證明了核 Ker（X）＝L（X）是（X，＋，≤）中的最大群.

定理6 設I是偏序BCH－代數〈X；＊，0〉的非空子集，則I為X 的核的充要條件是I既是可換序半群（X，＋，≤）的理想又是群.

證明 設I＝Ker（X），由定義4和定理5可知，I既是（X，＋，≤）的理想，又是其中的群.反過來，如果I既是 （X，＋，≤）的理想，又是其中的群，又由定義4和定理5可知，Ker（X）?I，且I?Ker（X），故I＝Ker（X）.

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