酒鬼酒股票收益率序列的多重分形特征

蒙 迅，黃 毅，吳生虎，謝志輝，史 凱

(1.吉首大學生物資源與環境科學學院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學數學與統計學院，湖南 吉首 416000)

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酒鬼酒股票收益率序列的多重分形特征

蒙 迅1，黃 毅2，吳生虎1，謝志輝1，史 凱1

(1.吉首大學生物資源與環境科學學院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學數學與統計學院，湖南 吉首 416000)

運用多重分形消除趨勢波動分析法，研究湘西酒鬼酒上市公司股票收益率的多重分形特征可知，股票收益率序列在不同尺度上均具有多重分形特征，驗證了分形市場的假說.進一步運用相位隨機替代法與隨機重構法，對不同時間尺度上多重分形特征的動力原因進行分析可知，在小時間尺度上長期持續性占主導作用，而大時間尺度上尖峰胖尾與長期持續性共同作用導致多重分形特征的產生.

股票；收益率序列；多重分形特征；時間尺度

金融市場是一個非線性動力系統，通常表現出復雜的行為和不規則的現象.如何較全面地分析金融時間序列，進而了解其運行規律和波動特征，一直是人們關注的焦點問題.“有效市場假說”(EMH)是現代金融經濟學的理論基石，該理論認為金融資產價格的變化相互獨立，遵循隨機游走模型.金融資產的價格波動不具有長期持續性，從而價格波動不具有可預測性.

然而，近幾十年來，隨著非線性隨機動力系統與非線性隨機微分方程的深入研究，諸多學者發現金融資產的價格波動在一定時間尺度內具有記憶性，即價格波動存在違背EMH的長期持續性特征[1].目前，經濟物理學的研究普遍證實，在面對復雜的金融系統時，理想化、線性化的EMH無法正確且合理地解釋許多經濟現象.分形理論由Mandelbrot所創立，近年來發展迅速，被作為有效工具廣泛應用于各種復雜系統的研究.在金融系統方面，分形解釋了傳統的EMH所不能解釋的現象，說明金融市場具有分形特征，為此產生了分形市場假說(FMH)，該假法更符合實際.FMH認為金融資產的價格是以分數布朗運動的方式進行變動，具有尖峰胖尾和長期記憶性[2-6].Edgar E Peters[7]運用重標極差R/S分析方法發現一些金融市場具有長程相關性的依據.Cajueiro D O等[8]運用R/S分析方法研究了新興市場的長程自相關性，發現隨時間推移，市場變得越來越有效.Alvarez-Ramirez J等[9]通過單一分形來刻畫金融市場的復雜性，運用消除趨勢波動分析法(DFA)對美國股市不同時間段的Hurst指數進行分析，發現Hurst指數具有逐漸降低的發展趨勢.但是，不同波動的概率不同，如果僅僅用單一分形來刻畫金融市場的波動特性，就會忽略掉市場波動的許多重要信息.2002年，在DFA[10]的基礎上，Kantelhardt Jan W等[11]提出多重分形消除趨勢波動分析法(MFDFA).由于該方法不僅能夠發現非平穩序列中的較長時間尺度上的相關性，而且能夠將市場的波動劃分為不同特征的點集，更加細致地刻畫股市波動的動力特征，因此廣泛應用于金融序列的研究[12-17].

酒鬼酒作為湖南省湘西自治州企業的代表，對整個湘西的經濟社會發展有重要的影響.作為上市公司，其股票可以反映公司的運營情況.筆者以酒鬼酒股票的收盤價格為研究對象，運用MFDFA對其收益率序列進行分析，證明其股票價格收益序列具有多重分形特征，驗證了FMH的存在，并分析了不同尺度下多重分形的來源.

1 多重分形消除趨勢波動分析法

2002年，Kantelhardt Jan W等對DFA方法進行改進，得到多重分形消除趨勢波動分析(MF-DFA)方法.該方法不僅能夠避免對相關性的誤判，而且能發現非平穩時間序列中的長程相關性，是檢驗非平穩時間序列是否具有多重分形特征的有效方法.

假設時間序列為p(i)(i=1，2，3，…，N)，N表示時間序列的長度，MF-DFA計算方法如下：

(5)確定波動函數的標度指數，對每一個確定的q值，存在冪律關系Fq(s)∝sh(q).

對每一個s，都可求出對應的Fq(s)，作出ln Fq(s)與ln s 的函數關系圖，其斜率即為q階Hurst指數h(q).當h(q)隨著q的變化始終為常數時，即時間序列每一段消除趨勢后的q階波動相同，序列是單一分形；當h(q)為q的函數時，說明時間序列的局部結構并非一直均勻，序列為多重分形.當h(q)>0.5時，時間序列小的波動與大的波動表現出長期持續性，后一段時間序列的增加(減小)很大程度上依賴于前一段時間序列的增加(減小)，前后時段的漲落具有同向性；當h(q)<0.5時，時間序列小的波動與大的波動表現出反持續性，后一段時間序列的增加(減小)很大程度上依賴于前一段時間序列的減小(增加)，前后時段漲落具有反向性；當h(q)=0.5時，時間序列的波動屬于隨機游走，沒有規律.其中q<0，h(q)描述的是時間序列小的波動情況，q>0，h(q)描述的是時間序列大的波動情況.h(2)是Hurst指數，所以h(q)也叫廣義的Hurst指數.多重分形強度能有效地衡量時間序列的復雜程度，顯而易見，較強的多重分形特征意味著h(q)的變化范圍較大，因此多重分形強度可以通過Δh來衡量，Δh=q(min)-q(max).

2 酒鬼酒股票價格的統計分析

為了研究2008年金融危機后酒鬼酒股票價格的波動規律，選取2010年1月4日至2013年12月30日的日收盤價格(數據長度952個)作為研究數據，數據源于國泰安數據庫(http:∥www.gtarsc.com/).

用p(t)表示第t天的收盤價，每天的對數收益率為r(t)=lnpt+1-lnpt，收益率序列數據個數為951個.圖1，2給出了酒鬼酒股票的日收盤價格與日對數收益率，表1給出了日對數收益率的基本統計量.從表1可看出，酒鬼酒股票日對數收益率序列的偏度小于0，呈左偏狀態，即收益率處于負值的概率比處于正值的概率大.股票日對數收益率序列的峰度4.56，比正態分布的峰度3大，而標準差遠遠小于正態分布的標準差1，說明日收益序列是非正態分布，具有尖峰胖尾特征.在95%的置信區間內，JB統計量為96.20，大于臨界值10.15，酒鬼酒日對數收益率序列偏離正態分布.

圖1 酒鬼酒股票日收盤價格

圖2 酒鬼酒股票日對數收益率

樣本數均值最大值最小值標準差偏度峰度JB統計量JB臨界值951-1.57′10-40.096-0.140.03-0.054.5696.2010.15

3 多重分形的結果與討論

圖3 酒鬼酒股票收益率ln Fq(s)～ln s的關系

運用MFDFA分析法對酒鬼酒股票的日對數收益率序列進行實證分析.在不同的分割長度s下，對每個固定的q值，用最小二乘法擬合，得到雙對數ln Fq(s)～ln s的關系圖.圖3給出了q=-10，-6，-2，2，6，10共5條擬合線.由圖3可知，從整體上來看，它們均呈現線性趨勢；同時發現在ln s≈1.79(s=6)處存在突變點，即大約在1周的尺度上出現狀態躍遷的臨界點.

表2給出了不同時間尺度下(小時間尺度s<6，大時間尺度s>6)的標度指數.從表2可知，酒鬼酒股票日對數收益率序列，無論是在小時間尺度上還是大時間尺度上，其廣義Hurst指數h(q)隨q的變化而變化，表明酒鬼酒日對數收益率序列均具有多重分形特征，驗證了FMH的存在.當s<6時，h(2)=0.74；當s>6時，h(2)=0.54.h(2)均大于0.5，表現出長期持續性特征，但在大時間尺度上其長期持續性要弱于小時間尺度.同時也發現，在小時間尺度上(s<6)，所有的廣義Hurst指數均大于0.這表明日對數收益率序列無論是大的波動還是小的波動，在1周以內

表2 酒鬼酒股票收益率序列的廣義Hurst指數

的時間尺度上，均表現出長期的持續性，即下一階段股票的漲落很大程度上依賴于前一段時間的漲落.而在大時間尺度上(s>6)，當q≥4時，h(q)<0.5，具有反持續性.這表明在大于1周的時間尺度上，前一時段價格大幅上漲(下跌)，很可能在一定程度上決定了下一刻價格也許大幅下跌(上漲).長期持續性的動力特征是典型的正反饋機制的系統，它本質上是不穩定的；而反的持續性動力機制，意味著穩定的或者是負反饋機制[18]：因此，各種波動在小時間尺度上均是不穩定的.而在大時間尺度上，對于酒鬼酒股票市場，大的波動相對于與小的波動而言更為穩定.

表2給出了不同時間尺度下酒鬼酒股票日對數收益率的廣義Hurst指數，而時間序列的多重分形強度依賴于Hurst指數的變化范圍，即Δh的大小，Δh越大，多重分形強度越大，反之則越小[19].從表2可知，小時間尺度上(s<6)的Δh=3.9，遠超過大時間尺度上(s>6)的Δh=0.34.這表明在不同的時間尺度上，酒鬼酒股票的多重分形強度不同，小時間尺度的多重分形強度要強.換而言之，在現實股票交易中，對于短期(1周以內)的交易者，他所面對的交易環境更為復雜，股票價格波動的影響因素更多，不僅依賴于國家政策、公司的經營情況以及市場的供應需求等因素，還受瞬息變化的市場影響，股票波動也更為劇烈.而對

于長期(1周以上)的交易者，他所面對的交易環境要簡單一些，股票價格波動更多的是依賴于國家政策、公司的經營情況以及市場的供應需求，股票價格波動相對較小.

時間序列中的多重分形行為存在2種原因：一是時間序列的小幅波動及大幅波動在不同的時間尺度中的持續影響，即長期持續性；二是時間序列極端值的尖峰胖尾概率分布特性.可以根據以下2種方法分別鑒定這2種動力機制的來源：(1)通過相位隨機替換方法構造替換序列，由于該序列完全消除了原始序列中的非線性特征，僅保留原始序列中的線性成分，因此替換序列能有效檢驗極值尖峰胖尾分布對多重分形的貢獻大小，即如果替換序列的多重分形強度相比原始序列降低了，就說明尖峰胖尾分布對多重分形有影響，是產生多重分形的原因之一，否則尖峰胖尾對多重分形沒有影響.(2)通過隨機重構方法構造隨機序列，由于該序列去除了原始序列內在的時間相關性，僅保留原始序列的非線性成分，因此隨機序列能有效檢驗長期持續性對多重分形特征的作用大小，即如果隨機序列的多重分形強度相比原始序列降低了，就說明長期持續性對多重分形有影響，是產生多重分形的原因之一，否則長期持續性對多重分形沒有影響.

表2同樣給出了不同時間尺度下替換序列和隨機序列的h(q)值.圖4給出了3組序列的q～h(q)關系.Δh反應了多重分形特征的強度.在小時間尺度上(s<6)，替換序列的Δh與原始序列的相近，而隨機序列卻相差很大，這說明在較小的時間尺度上，多重分形特征主要源自長期持續性作用，而尖峰胖尾分布作用很??；在大時間尺度上(s>6)，替換序列與隨機序列的Δh均小于原始序列的，這說明在大時間尺度上，長期持續性與尖峰胖尾對日對數收益率序列的多重分形特征均有影響.

圖4 q～h(q)

4 結語

首先通過對收益率序列基本統計量的分析，發現它是偏離正態分布的尖峰胖尾分布.隨后運用MFDFA分析方法，研究日對數收益率序列的多重分形性，驗證了分形市場的存在性.研究雙對數坐標下波動函數發現，日對數收益率序列存在突變點(s=6).進而分析在不同時間尺度下日對數收益率的多重分形特征，發現廣義Hurst指數h(q)依賴于q的變化，這意味著酒鬼酒日對數收益率序列存在多重分形特征.在較小的時間尺度上，大的波動與小的波動均表現出長期持續性；而在較長的時間尺度上，小的波動表現長期持續性，大的波動卻表現出反持續性.比較不同時間尺度上多重分形的來源可知，小時間尺度上長期持續性是多重分形特征的主要來源，隨時間尺度的增加，收益率序列的多重分形特征受長期持續性與尖峰胖尾共同作用.

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(責任編輯 向陽潔)

Multifractal Analysis of Stock Return Series of Jiugui Liquor Co. Ltd

MENG Xun1，HUANG Yi2，WU Shenghu1，XIE Zhihui1，SHI Kai1

(1.College of Biology and Environmental Science，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China;2.College of Mathematics and Statistics，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China)

Multifractal detrended fluctuation analysis has been used to research the multifractal characteristics of stock returns of Jiugui Liquor Co. Ltd in Xiangxi Autonomous Prefecture.The evidence shows that the return series are multifractal both for time scales smaller than a week and for time scales larger than a week，it also verifies the fractal market hypothesis about stock.Furthermore，the sources of multi-fractal characteristic are analyzed through shuffling procedure and phase randomization procedure at different scales.For time scales smaller than a week，the main contribution of multifractality is long-range correlations.For time scales larger than a month，both fat-tail distribution and long-range correlations play important roles in the contribution of multifractality.

stock;return series;multifractal characteristic;time scale

1007-2985(2015)04-0088-05

史 凱(1980—)，男，四川西昌人，吉首大學生物資源與環境科學學院副教授，博士，主要從事環境系統的非線性和復雜性研究.

F224；F830.91

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2015.04.021