基于Choquet積分的區間灰數多屬性決策方法

王　霞， 黨耀國

(南京航空航天大學經濟與管理學院， 江蘇 南京 211106)

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基于Choquet積分的區間灰數多屬性決策方法

王霞， 黨耀國

(南京航空航天大學經濟與管理學院， 江蘇 南京 211106)

摘要：針對多屬性決策中屬性間的關聯性對決策結果的影響，提出了基于區間灰數灰度和Choquet積分的區間灰數多屬性決策方法。根據區間灰數灰度的定義，證明了區間灰數的灰度是一種灰測度，由此定義了關于區間灰數灰度的離散Choquet積分并證明其性質；依據各方案的綜合屬性值的方差最小的原則建立多目標優化模型，確定了各屬性或屬性集的權重，最后利用Choquet積分對各方案的效果評價向量進行集成。通過實例說明了該方法的有效性。

關鍵詞：區間灰數； 關聯性； 灰度； Choquet積分

0引言

多屬性決策[1]是研究不確定性決策問題的一種系統分析方法,其目的是改進決策過程，從一系列備選方案中找出滿足一定目標的最優方案。決策屬性指標體系的構建是影響決策結果合理性的重點問題之一，因此所建立的決策屬性指標體系應滿足代表性、完備性和獨立性,但在實際應用中獨立性往往難以達到，故在多數情況下決策者會忽略屬性指標體系間的獨立性[2]。屬性之間的關聯性，使得屬性權重的可加性遭到破壞，導致加權求和后得到與實際不相符的結論。文獻[3]指出了現實決策問題中常存在關聯，這是決策分析從理論邁向應用的瓶頸，并介紹了基于關聯的多屬性決策分析理論的發展情況，分析其研究特點和熱點；文獻[4]對屬性間的關聯性進行了總結,并分析其對決策結果的影響。由此可見，在多屬性決策中對屬性間具有關聯性的問題進行研究，具有重要的理論和現實意義。文獻[5]利用加權馬氏距離對傳統的灰靶決策方法進行改進,避免了決策指標間的相關性、不同量綱和重要性差異對決策效果的影響以及灰靶變換的不相容問題；文獻[6]定義了廣義三角模糊相關平均算子，該算子不僅考慮了元素間的重要性而且反映了元素間的相關性，并把該算子應用到多屬性決策中；文獻[7]針對多屬性群決策中專家權重和屬性權重通常具有相關性的問題，提出了兩類誘導直覺模糊相關集成算子；文獻[8]定義了誘導Choquet積分算子，并利用該算子研究了決策者對方案有模糊偏好且偏好間存在相互關聯的群決策問題。文獻[9]提出Choquet容度及其積分，Choquet積分考慮了屬性間存在相互影響的情況，即屬性間的互補性或可替代性可以由容量模擬。文獻[10]首次把Choquet積分理論應用到決策理論中，目前Choquet積分已經被廣泛應用到數據源選擇、經濟效益研究、績效評價等多個領域。

在現實管理決策問題中，由于實際問題的多樣性和不確定性以及人類認識的局限性，決策者在決策過程中往往難以給出確切的屬性值，區間灰數[11]作為處理多屬性不確定性決策問題的一種手段，自提出以來一直是研究的熱點。文獻[12]提出了基于信息還原算子的區間灰數序列關聯度的計算方法，建立了多指標區間灰數關聯決策模型；文獻[13]推導了信息分布已知條件下區間灰數“核”的計算公式，在此基礎上通過比較各指標值與靶心連線所圍成圖形的面積大小來對方案的優劣進行評價。

綜上所述，對于屬性值是區間灰數且屬性間具有關聯性的多屬性決策問題，在目前的研究基礎上，本文將Choquet積分應用于屬性值是區間灰數的多屬性決策中，提出了基于區間灰數灰度和Choquet積分的區間灰數多屬性決策方法，通過實例說明了該方法的合理性和有效性。

1基本知識

為區間灰數a(?)≥b(?)的可能度。

定義 3[11]設灰數?產生的背景或論域為Ω，μ(?)為灰數?取數域的測度，則稱

為灰數?的灰度。

(1) 若?1??2，則g°(?1)≤g°(?2)

(2) 若?1∩?2=φ，則

若?1∩?2≠φ，則

證明(1) 由灰度的定義知，當?1??2時，易證

g°(?1)≤g°(?2)

(2) 若?1∩?2=φ，

若?1∩?2≠φ，

證畢

由定理1可知，區間灰數的灰度滿足單調性和次可加性，因此可認為區間灰數的灰度為一種灰測度。

設任一多屬性決策問題的屬性集為X，對于任意的T?X，g°(T)可認為是屬性集的權重或者是重要程度。?S,T?X，若g°(T∪S)=g°(T)+g°(S)，則表明屬性集間相互獨立；g°(T∪S)

Choquet容量是一種非可加測度,Choquet積分是關于非可加測度的一種非線性積分，Choquet容量和Choquet積分是概率測度和數學期望的自然推廣，是在非可加測度下研究問題。

定義 4[12]設X是非空集合，P(X)是X的冪集，u是定義在P(X)上的集函數u:P(X)→[0,1]，若u滿足以下兩個條件：

(1) u(X)=0，u(X)=1；

(2) ?S,T?X，S?T，則u(S)≤u(T)則稱u是定義在P(X)上的容量。

定義 5[12]設X={x1,x2,…,xn}為非空集合，P(X)是X的冪集，f為定義在X上的非負函數，u為定義在P(X)上的容量，則f關于容量u的離散Choquet積分為

式中，為f(x(i))向量的變換，使得

0≤f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))，A(i)={xi, xi+1,…,xn}且A(n+1)=0。

由上所述，根據灰度的性質和Choquet積分的定義，可以定義區間灰數關于灰度的離散Choquet積分。

定義 6設X={x1,x2,…,xn}為一區間灰數序列，P(X)是X的冪集，f為定義在X上的非負函數，g°(?)為區間灰數的灰度，則f關于灰度g°(?)的離散Choquet積分為

式中，(i)為f(x(i))向量的變換，使得

0≤f(x(1))≤f(x(2))≤…≤f(x(n))，A(i)={xi, xi+1,…, xn}且A(n+1)=0。

由定義6以及定理1可知，關于灰度g°(?)的離散Choquet積分作為一種合并算法，考慮了屬性間存在冗余關聯的情況，即屬性間的關聯可以由灰度g°(?)來模擬。

由區間灰數的運算法則和關于灰度g°(?)的離散Choquet積分，可以得到區間灰數離散Choquet積分的如下性質：

性質 1(冪等性)設ai(?)(i=1,2,…,n)為一組區間灰數，g°(?)為區間灰數的灰度，若

則

證畢

又由ai(?)≥bi(?)得

即λiai(?)≥λibi(?)，故

證畢

則有

則有

于是有

即證C(a1(?),a2(?),…,an(?))≥a-(?)。

同理可證C(a1(?),a2(?),…,an(?))≤ a+(?)。故a-(?)≤C(a1(?),a2(?),…,an(?))≤a+(?)

證畢

2基于Choquet積分的區間灰數多屬性決策方法

醇類化合物主要由甲基酮和醛類的還原、氨基酸的降解及脂肪分解氧化產生，直鏈醇可以通過脂質氧化生成，而支鏈醇由 Strecker降解產生的支鏈醛還原得到[25,26]，直鏈低級醇一般無風味，但隨碳鏈的增加而產生芳香和脂肪香等香味。低氣味閾值的醇是板鴨制品香味的貢獻者，具有令人愉快的水果味和花香味[27]。各地區板鴨的醇類含量比例均較高，醇類屬普遍性揮發性風味物質，其中南京板鴨的醇類含量最高，種類最多，與徐為民等[16]的研究一致。1-戊醇帶有面包香、酒香和果香，只在沙縣竹炭板鴨和雷官板鴨中檢測；苯乙醇只存在于南京板鴨中，具有玫瑰香，廣泛應用于釀酒工業、化妝品和香料中。

對某一多屬性決策問題的屬性集X={x1,x2,…,xm}，可以把屬性集X={x1,x2,…,xm}看作是屬性集產生的背景或論域Ω，因此把屬性集X可作一個整體，即可以取μ(Ω)=1，則由區間灰數灰度的定義可知

對于?={xi1,xi2,…,xip}?Ω，其中p≤m，則μ(?)可以認為是專家給出的選取屬{xi1,xi2,…,xip}的重要程度。

由上述所述，則各方案的綜合評價值為

(1)

C(hi)仍為一區間灰數。

(2)

求解上述模型可得屬性集的測度μ(Ai)。利用式(1)得到各方案綜合屬性值，再用區間灰數的可能度，對各方案的綜合評價值進行大小排序。

3實例分析

本文以文獻[15]中的案例為例進行分析。某部隊在采購火炮武器時，有4種系列的火炮hi(i=1,2,3,4)可供選擇，并考慮下例5項屬性：x1為火力突擊能力系數；x2為反應能力指數；x3為機動能力指數；x4為生存能力指數；x5為成本(元)，各方案關于評價屬性的效果值如表1所示。

表1　決策矩陣

在本例中除了成本外，其余均為效益型屬性，利用文獻[15]中的規范化方法，得到規范化矩陣為

本文利用區間灰數的可能度，對方案hi的一致效果評價向量的各分量重新進行排序，得到排序后各方案的新的一致效果評價向量。把屬性集看作一個整體，即有μ(Ω)=1，則得到

故μ(?)可以認為是屬性{xi1,xi2,…,xip}的權重，利用Lingo11求解式(2)得到屬性集的權重如表2所示。

根據式(1)對各方案的效果向量進行信息集成，得到各方案的綜合評價值為

C(h1)=[0.401 4,0,478 1]

C(h2)=[0.369 9,0.443 9]

C(h3)=[0.388 4,0.478 7]

C(h4)=[0.338 6,0.539 4]

再利用區間灰數的可能度，對各方案的綜合評價值進行大小排序

則方案的優劣順序為h1fh4fh3fh2，故決策者可優先考慮h1。

表2　屬性集的灰測度μ

文獻[15]中方案的排序為h1fh3fh2fh4，可看出該排序與本文排序不完全一致，主要差別是h3和h4的排序位置不同。主要原因是文獻[15]中的方法沒有考慮屬性間的關聯性，直觀來看各屬性間不具有獨立性，即各屬性間存在關聯性；從數據直觀來看，方案h3和h4在屬性x1、x2、x4下的屬性值差別不大，在屬性x3、x5下的屬性值相差很大，從屬性極性來看，在屬性x3、x5下方案h4的值較方案h3更符合決策者的理想值。

從以上分析可以看出，屬性間的關聯性會對決策的結果產生影響，在實際決策中由于問題的復雜性，屬性間常存在相互關聯，若假設屬性間是相互獨立的，則會影響決策結果的合理性, 因此在決策中考慮屬性間具有關聯的情況有一定的實際意義。

4結論

在多屬性決策中，決策屬性指標體系的構建是影響決策結果合理性的重點問題之一，本文針對多屬性決策中屬性間的關聯性對決策結果的影響，提出了基于區間灰數灰度和Choquet積分的區間灰數多屬性決策方法。首先由區間灰數灰度的定義，證明了區間灰數灰度的非可加性，即證明區間灰數的灰度是一種灰測度，進而定義了區間灰數的離散Choquet積分，并證明其性質；最后利用區間灰數的離散Choquet積分集成方案的綜合屬性值，并通過實例說明了該方法的有效性和合理性。

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王霞(1985-)，女，博士研究生，主要研究方向為灰色系統理論與決策分析。

E-mail：wangxia0509@163.com

黨耀國(1964-)，男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為灰色系統理論、數量經濟。

E-mail：iamdangyg@163.com

網絡優先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141030.1136.013.html

Approach for multiple attribute decision-making with interval grey

number based on Choquet integral

WANG Xia， DANG Yao-guo

(CollegeofEconomicsandManagement,NanjingUniversityofAeronauticsand

Astronautics,Nanjing211106,China)

Abstract:With regard to the interaction between attributes which has influenced on decision results in multiple attribute decision making, a multiple attribute decision making method of interval grey number based on degree of greyness and Choquet integral is presented. Degree of greyness of interval grey number is proved as a grey measure according to its definition, then discrete Choquet integral of degree of greyness of interval grey number is defined, and some of its properties are investigated. The weight of each attribute or attribute set is determined by using a multi-objective optimization model，which variance of comprehensive attribute values of each scheme is minimum; and the effect evaluation vector of each scheme are integrated based on Choquet integral. Finally, an example is also presented to illustrate the effectiveness of the proposed method.

Keywords:interval grey number; interaction; degree of greyness; Choquet integral

作者簡介：

中圖分類號：N 941.5

文獻標志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.20

基金項目：國家自然科學基金(71071077，71371098)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金(NC2012001)；江蘇省高校哲學社會科學重點研究基地重大項目(2012JDXM005)；江蘇省普通高校研究生科研創新計劃(CXZZ130183)資助課題

收稿日期：2014-06-24；修回日期：2014-09-18；網絡優先出版日期：2014-10-30。