針對薄層介質的多極漫射模型擴展

吳一帆,楊旭波

(上海交通大學軟件學院,上海200240)

針對薄層介質的多極漫射模型擴展

吳一帆,楊旭波

(上海交通大學軟件學院,上海200240)

多極(Multipole)漫射模型能較準確地模擬半透明介質的次表面散射現象,但并不適用于厚度接近或小于一個平均自由程(MFP)的薄層介質。為此,在Multipole漫射模型的基礎上擴展該模型使之適用于薄層介質。根據Multipole漫射模型所依賴的假設條件,針對薄層介質加以修改,將光線分解為直接透射和漫射部分,并調整Multipole放置點光源的方式,使之更符合薄層介質中光傳輸的特征。使用修改后的光源計算漫射部分,而直接透射部分則采用狄拉克δ分布來近似。對擴展方法和傳統Multipole以及蒙特卡羅方法進行分布數值和實際渲染效果的對比,在處理厚度接近或小于一個MFP的薄層介質時,擴展方法的結果均較傳統Multipole更吻合蒙特卡羅方法的結果,可直接和現有Multipole模型實現集成。

次表面散射;半透明;薄層介質;漫射模型;反射分布;平均自由程

1 概述

半透明介質在生活中無處不在:樹葉、紙、蠟燭、牛奶、布料、生物的皮膚、貝殼、瑪瑙等。事實上,幾乎所有非金屬物體都存在一定程度的次表面光傳輸現象［1］。如何正確地渲染這類物體是計算機圖形學中的一個重要課題,而渲染它們需要首要解決的問題是如何模擬光線在半透明介質中的次表面散射現象。

在計算機圖形學領域有不少針對半透明物體渲

染方法的研究。文獻［2］提出了一個模擬光線在多層介質中的反射和折射的模型(H-K模型),使用蒙特卡羅方法模擬光線在各個表面上的反射、折射以及在介質中的散射、吸收現象。文獻［3-4］針對皮膚擴展了H-K模型,增加了表面皮脂的模擬。文獻［5］使用離散坐標模型給皮膚建模,考慮的是光線在2個粗糙表面之間半透明介質中的傳播情況。這些模型均基于傳統的雙向反射分布函數,假設光線在物體表面的某一點入射,在同一點出射,并不能很好地描述次表面散射的一些特征,如陰影邊緣處的顏色滲出現象。

本文提出一種基于Multipole模型的擴展方法,使得擴展后的Multipole模型適用于非常薄,即小于2個平均自由程(Mean Free Path,MFP)的介質。

2 背景介紹

直接求解輻射轉移方程的方法可以非常準確地模擬次表面散射。這種完全基于蒙特卡羅(Monte-Carlo)方法的研究也有一些,比如文獻［6-7］對濕潤物體渲染的研究,文獻［8］的研究。文獻［9］提出了一個結合人體皮膚生物學特征的五層模型,通過蒙特卡羅方法模擬人體皮膚對特定波長光線的吸收、散射現象。所有這些方法的一個共同缺點是計算量太大,特別是對于以散射為主的介質(如皮膚),光線通常會在介質內部發生上千次散射才會離開介質或被吸收。

為了高效地模擬次表面散射的效果,計算機圖形學領域出現了許多近似模型,大多數是基于雙向散射表面反射分布函數(Bidirectional Scattering Surface Reflectance Distribution Function,BSSRDF)［10］的概念。文獻［11］提出了Dipole漫射模型,使用漫射理論推導出BSSRDF的解析表達式。Dipole模型建立在介質無限厚以及均勻分布的假設上,對于具有一定厚度的介質以及多層介質并不適用。文獻［12］使用Multipole模型替代了Dipole模型,給出了具有一定厚度介質的BSSRDF的解析表達式,同時使用Kubelka-Munk理論來計算多層介質的BSSRDF。文獻［13］使用光子漫射,將Multipole方法擴展至不規則表面。這些模型的基本思路是將入射光轉化為放置于一定位置的實光源和虛光源,其中實光源通常放置在表面以下一定距離的位置,這個距離通常和平均自由程(MFP)有關。這樣的放置方法對于厚度小于這個固定距離的材料來說是病態的,通常會無法正確計算。文獻［14］使用量化漫射部分解決了Multipole不適用于薄層介質的問題,但是他們使用的模型比Multipole復雜得多,并不容易與現有實現進行集成。

國內研究方面,目前較有代表性的是文獻［15］關于皮膚渲染的論述,但也只是Multipole漫射模型的直接應用,未能涉及薄層介質的缺陷做相應改進。

3 Multipole漫射模型

3.1 雙向散射表面反射分布函數

光線在半透明介質中的傳播可以用雙向散射表面反射分布函數(BSSRDF)表示［10］:

其中,L是出射輻射率;Φ是入射通量;xi和xo分別代表入射點和出射點的位置;ωi和ωo分別代表入射角和出射角。

文獻［11］指出,針對均勻介質,考慮到徑向對稱性,BSSRDF可以用一個關于中心點距離的一維函數R(本文稱為反射分布)以及菲涅爾(Fresnel)項表示:

其中,r=xi-xo2為入射點和出射點間的距離;Ft(xi,ωi)和Ft(xo,ωo)分別表示入射點和出射點處的菲涅爾透射率。

3.2邊界條件

漫射理論使用一個截斷的球諧展開式來近似表示漫射輻射率:

其中,?是標量輻照度;E是矢量輻照度。

記相對于表面的深度為z,z＞0時為介質內部。對于介質表面,在平衡態時向下的漫射輻射率應該相當于向上的漫射輻射率在介質表面反射回內部的量,即:

其中,Ω+,Ω-分別表示對z＞0,z＜0部分積分;n為向外的表面法向量;Fdr=∫Ω+Fr(ω)(-n·ω)dω為內部菲涅爾漫反射系數,可用以下代數式來近似［17］:

其中,η為介質表面內外的相對折射系數。

將式(3)代入式(4),簡化后即可得到邊界條件:

對式(6)進行外插值,得到表面外距離zb=2AD處(z=-zb=-2AD處)輻照度為0。

對于厚度為d的介質,對下表面z=d重復上述過程可得到另一個邊界條件［12］:

同樣對式(7)外插值可以得到z=d+zb處輻照度為0。

Multipole漫射模型正是建立在式(6)、式(7)這2個邊界條件之上,通過在表面上下放置一系列點光源,來達成這2個邊界條件,從而計算徑向反射率R和徑向透射率T。

3.3 反射分布的推導

在2個點光源基礎上,要滿足邊界條件式(7),可以將這2個點光源相對z=d+zb做一個鏡像,得到一組新的點光源zr,1=2(d+2zb)+l,zv,1=2(d+ 2zb)-2zb-l。

這時邊界條件式(6)不滿足。繼續將剛才的一組點光源相對z=-zb做一個鏡像,得到新的一組點光源zr,-1=-2(d+2zb)+l,zv,-1=-2(d+2zb)-2zb-l。

依此類推,可以得到一系列的實點光源和虛點光源,它們的位置分別是:

其中,i=-n,-n+1,…n-1,n。

n趨近于無窮時,2個邊界條件才同時被滿足。圖1(b)展示了部分點光源的位置。

將這些點光源在上下表面處(分別對應z=0和z=d)的貢獻全部相加,得到反射分布和透射分布。

由于每一組點光源距離2個表面越來越遠,它們對反射分布和透射分布的貢獻也越來越小。實際計算時,取有限組點光源即可。本文的實現中使用11組(n=5)點光源來計算反射分布和透射分布。

從圖1(c)中可以看到,實光源的放置位置對于厚度小于l的介質是病態的,因為這時實光源zr,0在介質之外,有相當一部分光線是直接透射而沒有經歷散射或吸收,這對于計算反射分布來說,會顯著低估反射的量。在這種情況下,為了滿足邊界條件式(7),虛光源zv,1會過分接近介質上表面,從而降低其反射的量;同時,為了滿足邊界條件式(6),實光源zr,-1也會過分接近介質上表面,同樣會降低反射量。對于透射分布來說,計算出的值有可能是負值。厚度稍大于l時,介質的下表面過于接近zr,0,可能會造成對透射量的高估。

圖1 Multipole模型的點光源放置位置

3.4 多層材料

文獻［12］提出Multipole漫射模型的同時也提供了處理多層材料的方法。在計算每一層的反射、

透射分布Ri,Ti后,根據Kubelka-Munk理論,對分布進行適當卷積即可得到多層材料的反射、透射分布:

其中,?為卷積算子。

使用傅里葉變換將分布轉換到頻率域后,可以通過乘積操作快速計算。根據等比數列公式,有:

由于沒有相應的解析表達式,本文的實現使用離散的方式計算各層的反射、透射分布,然后使用快速傅里葉變換轉換到頻率域進行操作,最后使用逆變換轉換回離散分布。渲染時,使用線性插值對合并后的分布進行采樣。

4 針對薄層介質的擴展方法

Multipole漫射模型的一個假設是大部分光線在介質中呈現漫射的性質,當介質厚度減少時,越來越多的光線會直接穿透介質而不發生任何散射或吸收,這種假設變得越來越不準確?？紤]厚度d=0的極端情況,此時全部光線直接穿透介質,而沒有任何反射,對應的反射和透射分布是:

其中,δ(r)表示中心在原點、徑向對稱的狄拉克δ分布函數,滿足如下性質:

其中,i=-n,-n+1,…,n-1,n。

圖2(b)展示了擴展后的點光源組放置情況。

圖2 擴展方法中點光源的放置位置

結合兩部分光線的貢獻,可以得到擴展后的Multipole漫射模型:

其中,Rm,Tm為傳統Multipole的反射、透射分布(式(9))。

剩下的問題就是如何選擇H(d)。根據Lambert-Beer定律,一束光在介質中傳播時其輻照度L與傳播距離x有如下關系:

前期非洲豬瘟疫情防治工作取得的進展。主要是通過取締泔水豬、限制生豬跨區域調運等途徑，使得由餐廚剩余物喂豬引發的疫情由50%下降到34.3%，由生豬調運引發的疫情由35.3%下降到19.4%。

據此讓H(d)大致等于發生漫射的光線相對于厚度為2MFP時的量:

最終的反射和透射分布可表示為:

4.2 狄拉克δ分布的離散表示方法

實現上可能的一個問題是如何表示狄拉克δ分布函數式(13)。離散分布P表示為相應的連續分布Pc在采樣點處的值:

其中,s為采樣步長;N為采樣精度(決定離散分布P每行每列的元素個數)。離散卷積和連續卷積的關系如下:

其中,符號“～”表示“相當于”。由于本文使用離散分布進行計算,含有狄拉克δ分布的透射分布要與其他分布進行卷積操作,將δ(r)離散地表示為:

對于任意連續分布Pi,c及對應的離散分布Pi均成立。

如果預先對所有離散分布進行規范化,即令P′i=s2Pi,則離散分布之間的卷積操作便不涉及系數了,所有卷積操作完成后再進行反規范化即可。規范化后的狄拉克δ分布對應的離散分布如下:

4.3 算法實現

本文的擴展方法實現起來比較簡單,在Multipole的基礎上只增加了不到30行C++代碼。下面的偽代碼實現了包含了本文擴展方法的Multipole反射、透射分布的計算。

算法1計算單層介質的反射、透射分布

輸入介質參數η,σa,σs′,d,采樣步長s和精度-N,-N+1,…,N-1,N

算法2 計算多層介質的反射、透射分布

5 結果比較

本節比較本文的擴展方法和傳統Multipole、蒙特卡羅方法之間的效果差異。

使用的蒙特卡羅方法類似于文獻［20］的方法,但在步長采樣方式上更接近文獻［21］的方法。具體實現如下:對于每一束光子,賦予其初始能量1,初始速度方向為z軸正向(即朝向介質內部)。每一步模擬中,根據優化散射系數σs′對散射自由程進行采樣,經過一個自由程后,光子束被隨機散射到一個新的方向。遇到介質表面時,根據菲涅爾項生成反射或折射光束。在模擬過程中,根據光子束經過的路徑長度和吸收系數σa來減弱其能量。光子離開介質時,根據離開的位置將剩余的能量記錄到相應的反射或透射分布中?？紤]到徑向對稱性,將采樣范圍分割為1 024個徑向片段(環狀),從中心點延伸

至20 MFP之外。對于每一個蒙特卡羅分布,都使用了不少于1億束光子來計算,以確保其準確性。

對于傳統Multipole和本文的擴展方法,令N= 1 024,即取1 024個徑向樣本,延伸至20 MFP半徑范圍。最后獲得的二維分布被轉換為一維分布,以和蒙特卡羅方法做對比。

5.1 單層介質

固定單層介質的吸收系數σa=0.05,優化散射系數σs′=0.95,折射率η=1,光在該介質中的MFP恰好等于1。

圖3展示了不同厚度d下反射分布、透射分布的對比。在圖3(a)、圖3(b)中,材料厚度為1.1 MFP,此時在接近中心點r=0處,傳統Multipole低估了反射的量,而略微高估了透射量,本文的擴展方法結果較之更為接近蒙特卡羅方法。注意到透射分布接近中心點處的陡坡,這對應著本文擴展方法中的狄拉克δ分布部分。在圖3(c)～圖3(f)中,材料厚度分別為0.5 MFP和0.1 MFP,這時傳統Multipole失效,可以看到0.5 MFP時的透射分布,以及0.1 MFP時的2個分布均不符合蒙特卡羅方法的結果,失真嚴重;0.5 MFP的反射分布,本文的擴展方法也較傳統Multipole在近中心點處與蒙特卡羅方法更為吻合,而近中心點處對渲染效果的影響是比較大的。

圖3 不同厚度下單層材料的反射和透射分布對比

5.2 多層介質

使用類似于皮膚構成的多層介質,表面是一個薄的主吸收層,在其下面是一個幾乎無限厚的主散射層。所使用的介質參數如下:

圖4展示了不同厚度d1下反射分布的對比。在圖4(a)中,最上層介質的厚度稍大于1 MFP,這時其透射分布會有不小的狄拉克δ分布成分,這對卷積的結果是有影響的。傳統Multipole在近中心點處低估了反射量的大小,本文的擴展方法對此有一定程度的彌補。在圖4(b)、圖4(c)中,最上層介質厚度分別為0.5 MFP和0.1 MFP,Multipole出現了嚴重失真,而本文的擴展方法依然比較吻合蒙特

卡羅方法。

圖4 不同厚度d1下雙層介質的反射分布對比

5.3 整體反射率/透射率的對比

整體反射率/透射率指的是介質的脈沖響應,即反射、透射分布在整個平面上的面積分:

整體反射/透射率往往反映了介質在一定光照條件下的整體色調。仍然使用4.1節中介紹的參數。圖5展示隨厚度變化的整體反射率和透射率的對比。從圖5(a)中可以看到,傳統Multipole對于厚度小于2 MFP的介質,會顯著低估其整體反射率,在厚度小于0.2 MFP時無法計算(結果為負值)。在圖5(b)中,從整體透射率方面看,傳統Multipole在厚度為1 MFP左右失效,無法正確計算接近和小于1 MFP的介質的整體透射率。本文的擴展方法在整體反射率和整體透射率計算上均和蒙特卡羅方法比較吻合。

圖5 3種方法計算的整體反射率和透射率的對比

5.4 渲染

為了更加形象地說明本文擴展方法的效果,設計了一個簡單的場景:一束光入射到皮膚表面,觀察其所造成的顏色滲出。由于皮膚的散射、吸收等系數是和光的波長緊密相關的,把可見光波段(400 nm～700 nm)分成了30個波段,分別對每個波段計算反射分布,然后根據得到的光譜反射分布進行渲染。使用俄勒岡州醫學激光中心提供的人體皮膚的各項系數［22］。

實現方面,在PBRT［1］的基礎上實現了Multipole和本文介紹的擴展方法,使用層次化積分方法［23］對BSSRDF進行積分,從而實現渲染。

對于蒙特卡羅方法,由于直接渲染的收斂速度太慢,先計算其反射分布,然后再用反射分布進行渲染。

圖6展示了不同的表皮層厚度下渲染效果的對比。其中,表皮層厚度在0.2 mm(第1行)和0.1 mm(第2行)時,波長較長的紅光相對于表皮層的MFP均超過了其厚度,也就是說傳統Multipole并不適用。圖6前3列展示了3種方法的渲染效果,后2列展示了Multipole以及本文擴展方法的結果與蒙特卡羅方法結果的差值。從圖中可以看到,傳統Multipole模型的誤差范圍較大,而本文擴展方法的誤差僅僅集中在非常接近中心點的位置。

圖6 實際渲染效果對比

圖7對比了傳統Multipole與本文的擴展方法渲染的人臉,其中表皮層厚度為0.1 mm,其他參數和圖6相同。傳統Multipole沒能正確計算紅光部分的反射分布,導致結果嚴重失真,擴展方法則不存在這一問題,色彩比較準確。

圖7 2種方法的人臉渲染效果對比

6 存在的問題及方法性能對比

6.1 近中心點處誤差問題

從實際渲染結果和之前對比過的分布曲線可以看到,不論是Multipole還是本文的擴展方法,在非常接近中心點的位置都有比較大的誤差。這其實是漫射理論的一個缺陷。本文的擴展方法仍是基于Multipole,要想在這個基礎上解決近中心點處誤差問題比較困難。文獻［14］使用量化漫射,通過在不同深度放置不同強度點光源的方法,部分解決了這一問題,但是他們的模型比Multipole復雜得多,實現較為復雜,不容易與現有Multipole實現進行集成,而本文的擴展方法實現簡單,很容易與現有Multipole實現集成。

6.2 H(d)函數的選擇問題

在4.1節中,所選擇的H(d)函數(式(16))只是一個經驗公式,實現出來的結果不錯,因此采用了這一函數。不排除有更好的H(d)函數能夠比現有的結果更吻合蒙特卡羅方法,這一點有待未來研究探討。

6.3 2種方法的性能對比

本文的擴展方法對性能影響幾乎可以忽略不計,因為主要改變的是單層介質的反射、透射分布的計算,而整個算法中的主要計算量在于涉及到快速傅里葉變換的卷積操作。表1比較了本文的擴展方法與傳統Multipole方法在計算皮膚的光譜反射分布時所花費的時間。計算在一臺具有Xeon E5462 (2.8 GHz)雙處理器(總共8個核心)的工作站上進行,使用8個線程并行計算30個反射分布,結果為運行3次的平均值。表中最后一列表明了擴展方法與傳統Multipole方法的性能差別在2%以內,這對于一個多線程程序來說,可以認為在誤差范圍內,因此2種方法沒有性能上的差別。

表1 擴展方法與傳統Multipole的性能比較

7 結束語

本文針對現有Multipole漫射模型的不足,提出了一個擴展方法,使其適用于非常薄的介質。該擴展方法的結果和蒙特卡羅方法的結果比較吻合,可以用于替代傳統Multipole方法,且具有實現簡單、容易與現有Multipole實現進行集成、對性能幾乎沒有影響等特點。本文提出的H(d)函數僅僅是一個經驗公式,是否有更好的H(d)函數,有待未來研究探討。

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編輯 顧逸斐

Extension of Multipole Diffusion Model for Thin Medium

WU Yifan,YANG Xubo
(School of Software,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

The Multipole diffusion model is a simple model that well describes light scattering in translucent materials.However,it is not well suited for very thin medium,particularly those close to or thinner than one Mean Free Path (MFP).This paper tries to extend the Multipole diffusion model for very thin medium with reasonable accuracy.It reviews the Multipole diffusion model and its assumptions,and to relax one of the assumptions by separating the direct transmitting component and the diffuse component of light.It adjusts the way the Multipole model places its point light sources to better match characteristics of light transport in thin medium.The diffuse part of the light is calculated using the modified source placement,and the direct transmitting part is approximated using a Dirac delta distribution.To evaluate the accuracy of the extended model,it is compared with the classical Multipole and Monte-Carlo simulations.The resulting profiles is predicted by the three models,as well as actual renderings.It is shown that the classical Multipole model is unable to compute profiles correctly for materials close to or less than one MFP thick.The extended model matches Monte-Carlo results better than the classical Multipole model.The extension of the current Multipole diffusion model proposed is suitable for medium close to or thinner than one MFP,and matches the Monte-Carlo method with reasonable accuracy.It can be easily integrated with existing Multipole implementations.

subsurface scattering;translucent;thin materials;diffusion model;reflectance profile;Mean Free Path(MFP)

吳一帆,楊旭波.針對薄層介質的多極漫射模型擴展［J］.計算機工程,2015,41(3):228-236.

英文引用格式:Wu Yifan,Yang Xubo.Extension of Multipole Diffusion Model for Thin Medium［J］.Computer Engineering,2015,41(3):228-236.

1000-3428(2015)03-0228-09

:A

:TP391.41

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.03.043

國家自然科學基金資助項目(61373085,61173105,60970051)。

吳一帆(1988-),男,碩士研究生,主研方向:計算機圖形學;楊旭波,教授。

2014-04-28

:2014-05-26E-mail:patwonder@163.com