具Logistic增長項的極小趨化系統的穩定性分析

李忠芳,韓亞洲

(中國計量學院 理學院,浙江 杭州 310018)

具Logistic增長項的極小趨化系統的穩定性分析

李忠芳,韓亞洲

(中國計量學院 理學院,浙江 杭州 310018)

利用擾動分析給出極小趨化系統的線性化系統,然后通過分析各個模態的振幅的長時間行為給出常數定態解的穩定性分析.發現平凡定態解總是不穩定,非平凡常數定態解的穩定性依賴于趨化系數,即當趨敏效應較強時,所有常數定態解都不穩定,從而預測了非常數定態解的存在性.最后結合數值實例,驗證了理論分析的結果,且預測了非常數定態解的穩定性.

極小趨化系統;常數定態解;穩定性分析;數值仿真

近代以來,采用模型研究和數值計算相結合的方法,大大推動了生物模型的理論分析,為生物實驗提供了理論依據[1].本文主要研究一類具有趨敏運動的生化趨化模型,以揭示趨敏效應在斑圖現象中的作用.

1970年,Keller和Segel[2]提出了經典的趨化模型

(1)

它描述了單細胞生物阿米巴受自身分泌的化學物質吸引聚集的現象,其中u,v分別表示細胞和化學物質的密度,增長項f(u,v)表示細胞本身分泌化學物質,所以這種聚集現象(一種斑圖解)是一種自組織的過程.1981年,Childress和Perkus[3]對模型(1)進行簡化,取D1,Dv為正常數,k(v)=α,f(u,v)=βu,D2=χu,其中α,β,χ(趨化系數)均為正常數,即模型(1)化為

(2)

我們稱該模型為極小系統.之后,許多學者對極小系統的一些有趣性質進行研究,如:在一維空間中,Osaki和Yagi[4]研究了極小系統解的全局存在性;而Horstmann[5]則對1970年到2003年之間關于極小系統解的爆破行為的研究進行了總結;對極小系統更多的研究介紹可參看文獻[6-8]等.最近,Wang和Xu[9]研究了包括模型(2)在內的六類趨化模型,特別證明(2)存在斑圖解(穩定的非常數定態解),第一個分支為全局分支,且進一步證明:當χ/d1→∞時,斑圖解趨向于聚點解(爆破解).

模型(1)、(2)均假設時間很短,細胞沒有增長,故關于細胞密度u的控制方程中沒有反應項.而文獻[10-11]則對一類帶有細胞增長項的生化趨化模型，討論解的穩定性問題.因此,本文擬考慮具有Logistic增長項的極小趨化系統模型,具體如下:

(3)

式(3)中：(x,t)∈Ω×(0,+∞),Ω—RN中帶有光滑邊界?Ω的有界域,本文主要研究一維問題,故取Ω=[0,l];u(x,t)和v(x,t)—細胞密度和化學物質的濃度;d1>0—細胞的擴散系數,d2>0—化學擴散系數;χ>0為趨化系數,它反映了化學趨化響應強度;μu(1-u/uc)描述細胞具有增長率為μ>0、運載能力為uc(00,βu表示細胞自身分泌化學物質.

取模型的初始條件為

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈[0,l].

(4)

邊界條件為Neumann邊界條件,即

(5)

本文安排如下:第一節利用擾動分析法,分析常數定態解的穩定性;且證明平凡解總不穩定,而對非平凡常數定態解,存在臨界趨敏系數χc(定義見(18)),當χ<χc時穩定,當χ>χc時不穩定;從而預測了非常數定態解的存在性.在第二節,結合具體例子進行數值仿真,發現數值結果與理論分析結果一致,進一步驗證了理論分析的有效性,并給出穩定非常數定態解存在的例子.最后在第三節,總結全文并提出進一步的問題討論.

1 常數定態解的穩定性分析

1.1 平凡定態解(0,0)的穩定性分析

令u=0+U,v=0+V,其中U,V為平凡定態解(0,0)的一個小擾動,代入極小趨化系統,可得如下線性化系統

(6)

在Neumann邊界條件下,設

(7)

代入線性化系統,解之得:

(8)

(9)

注意到μ>0,所以當t→+∞時,第一個模態的振幅eμt→∞.故有如下結論:

結論1 若μ>0,則常數定態解(0,0)是不穩定的.

生物解釋 若細胞滿足Logistic增長率,則不會趨于滅絕.

(10)

如2.1節的討論,穩定性的研究主要在于各模態的穩定性,故直接設

(11)

代入線性化系統有A(rn,sn)T=0,其中

(12)

則存在非平凡解的充要條件為|A|=0,從而λn滿足色散關系

(13)

其中

(14)

(15)

解(13)得

(16)

記

f(k2)=(d1k2+μ)(d2k2+α)-χucβk2=d1d2k4+qk2+μα,

其中q=μd2+αd1-χucβ,則f(k2)開口向上,且

令

則當χ=χc時,fmin=0;當χ<χc時,fmin>0;當χ>χc時,fmin<0.

綜合上述分析,有

(19)

(20)

為f(k2)=0的兩個正根.

2 數值仿真與非常數定態解的穩定性

在系統(3)～(5)中,選取參數為:d1=0.1,d2=0.8,μ=0.5,uc=0.2,β=16,α=12,l=2π,則χc≈0.933.下面將利用Matlab語言中提供的pdepe函數對系統(3)～(5)進行仿真,以進一步驗證第二節的理論分析結果.

圖1 l=2π,常數定態解(0,0)加擾動后的長時間行為Figure 1 Long time behavior of (0,0) with small perturbation for l=2π

圖2 l=2π,χ=1>χc,常數定態解加擾動后的長時間行為

圖3 l=2π,χ=0.48<χc,常數定態解加擾動后的長時間行為

定模態有n=5,6,7;當l=4π時,不穩定模態有n=9,10,11,12,13,14,15.

最后,我們給出如下的仿真實例:取區間足夠的大,一個局部的擾動會怎么樣呢？在圖5中,取l=60,χ=1.2>χc,其余參數如圖2,然后在左端點給定一個小擾動.如圖5,小擾動首先形成一個局部的斑圖,然后逐漸的入侵至整個區間.

圖4 l=4π,χ=1>χc,常數定態解加擾動后的長時間行為

圖5 l=60,χ=1.2>χc,常數定態解附近的局部擾動引起的入侵現象

3 總結和展望

當χ>χc時,兩個常數定態解都不穩定,那么在長時間行為下，解極限是什么呢？是否如第二節的仿真結果一定趨向于斑圖解呢？這些將是本文后續的主要研究問題.

另外,如第二節中數值例子,當l=2π或l=4π時,系統出現多個不穩定模態,那么經過長時間運行后,是趨向于某個不穩定模態,還是多個不穩定模態共存呢？哪個不穩定模態最不穩定呢？這個問題對生態現象的預測非常重要,這也是我們要繼續研究的問題.

[1] 吳秀山,侯宇,李希靖.強激光作用下生物組織熱損傷問題的研究[J].中國計量學院學報,2002,13(2):135-138. WU Xiushan, HOU Yu, LI Xijing. The research on thermal damage in biological tissues induced by high-irradiance-laser[J].Journal of China University of Metrology,2002,13(2):135-138.[2] KELLER E, SEGEL L. Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability[J].Journal of Theoretical Biology,1970,26(3):399-415.

[3] CHILDRESS S, PERKUS J. Nonlinear aspects of chemotaxis[J].Mathematical Biosciences,1981,56:217-237.

[4] OSAKI K, YAGI A. Finite dimensional attractor for one-dimensional Keller-Segel equations[J].Funkcialaj Ekvacioj,2001,44(3):441-469.

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[6] PERTHAME B. Transport Equations in Biology[M].Basel: Birkh?user,2007:113-138.

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[8] HILLEN T, PAINTER K J. A user’s guide to PDE models for chemotaxis[J].Journal of Mathematical Biology,2009,58:183-217

[9] WANG X, XU Q. Spiky and transition layer steady states of chemotaxis systems via global bifurcation and Helly’s compactness theorem[J].Journal of Mathematical Biology,2013,66(6):1241-1266.

[10] MA Manjun, HU Jiajia, TAO Jicheng, et al.Non-existence of stationary pattern of a chemotaxis model with logistic growth[J].Nonlinear Analysis,2014,105:3-9.

[11] MA Manjun, OU Chunhua, WANG Zhian. Stationary solutions of a volume-filling chemotaxis model with logistic growth and their stability[J].Society for Industrial and Applied Mathematics,2012,72(3):740-766.

Stability analysis of a minimal chemotaxis model with logistic growth

LI Zhongfang, HAN Yazhou

(College of Sciences, China Jiliang University, Hangzhou 310018, China)

Using perturbation analysis we obtained the linearized system of the minimal chemotaxis system.Then we analyzed the stability of constant steady-state solutions by studying the long-time behavior of the amplitude of each mode.It was found that the trivial solution was unstable and the non-trivial constant solution chemotactic coefficient played the key role.When the chemotactic effect was stronger,all constant solutions were unstable.It suggested the existence of non-constant steady-state solutions. Finally, numerical examples testified the theoretical results and predicted the stability of non-constant steady-state solutions.

minimal chemotaxis model; constant steady-state solution; stability analysis; numerical simulation

1004-1540(2015)04-0495-06

10.3969/j.issn.1004-1540.2015.04.019

2015-06-23 《中國計量學院學報》網址：zgjl.cbpt.cnki.net

國家自然科學基金資助項目(No.11201443,11271342).

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