基于四階累積量的近場源多參數聯合估計

王 鵬，邱天爽＊，李景春，譚海峰，3

（1.大連理工大學 電子信息與電氣工程學部，遼寧 大連 116024；2.國家無線電監測中心，北京 100037；3.北京郵電大學 信息與通信工程學院，北京 100876）

0 引 言

空間信源的位置估計是陣列信號處理與應用中的基本問題之一，也是聲吶、雷達、地震探測以及電子偵察等領域的重要任務之一.根據信源與陣列天線的位置關系，可以將空間信源分為遠場源和近場源.在傳播過程中，遠場源的波前可以用平面波進行描述，其位置可由單一的波達方向（direction of arrival，DOA）給出，然而當信源靠近菲涅爾區即近場情況下，此時電磁傳播過程中的波前曲率不可忽略，必須采用球面波進行描述，其位置則需利用距離和DOA 進行聯合確定.

針對近場源的參數估計問題，文獻［1］提出了最大似然估計法，文獻［2］提出將1D－MUSIC 算法擴展為2D－MUSIC方法，以實現近場源的位置估計，但需要進行二維峰值搜索.為了減小計算量，學者們相繼提出了Root－MUSIC 方 法［3］、路徑跟蹤算法［4］以及CA－MUSIC 方法［5］等多種方法，但仍需進行多次一維峰值搜索，計算量十分可觀.為此，學者們進一步提出了無須峰值搜索的方法［6－16］，其中以Challa等［9］和Yuen等［10］為代表提出的ESPRIT－like方法［9－16］最受關注，該方法通過構造合適的累積量矩陣并采用子空間旋轉不變技術進行信源參數的估計，具有封閉的數學表達式，不需要任何峰值搜索，而且高階累積量對高斯噪聲具有魯棒性，因此該類算法適用于任意形式的高斯噪聲環境.

文獻［9－12］提出了多個近場窄帶信源的方位與距離的聯合估計方法，但該類方法假設多個信源具有相同載頻且頻率已知，不適用于載頻不同且未知電磁環境.針對這一不足，文獻［13－16］提出了近場窄帶信源頻率、方位以及距離三維參數的聯合估計方法，取得較好效果的同時也存在一定的不足，主要體現在兩個方面：一是采用中心對稱接收陣列的方法損失了部分陣列孔徑，參數估計分辨能力低；二是采用非中心對稱接收陣列的方法提高了孔徑利用率，卻需要構造多個累積量矩陣，計算量較大.為彌補以上不足，本文提出一種改進的近場窄帶多信源參數估計方法，通過所構造四階累積量矩陣的特征分解實現DOA、頻率以及距離參數的聯合估計.

1 信號模型

假設空間存在P個近場窄帶信源，入射到一個陣元個數為M的均勻線陣（見圖1），陣元間距為d，接收到的信號經過下變頻至中頻并以采樣頻率fs進行抽樣，當以陣元0為參考陣元時，第m個陣元上的接收數據可以表示為

圖1 均勻線陣結構圖Fig.1 Uniform linear sensor array configuration

式中：K是快拍數；wm（k）為第m個接收陣元的噪聲；ωi＝2πfi／fs，是第i個信源的數字頻率；τmi是第i個信源在陣元m相對參考陣元相位差，由信源位置（ri，θi）唯一確定［1］.

其中ri表示第i個信源到參考陣元的距離，θi和λi分別表示第i個信源的入射角以及波長.為了簡化信號模型，本文作如下假設：

（1）信源為窄帶平穩隨機過程，滿足均值為零，峰度值非零，且信源之間相互獨立；

（2）噪聲為高斯過程，滿足均值為零，陣元間噪聲以及噪聲與信源之間相互獨立；

（3）對于不同的信源i≠j，滿足ωi≠ωj，γi≠γj，≠；

（4）陣元間距d≤min（λi）／4，信源個數已知并滿足P＜M.

2 三維參數聯合估計方法

定義大小為M×M的四階累積量矩陣C1，形式如下：

將式（1）代入式（4），在假設（1）和（2）下，結合四階累積量的性質［17］可以得到

對于－1≤m，n≤M－2，可以將式（5）寫成矩陣形式：

其中C4s＝diag｛c4s1，c4s2，…，c4sP｝，是以信源峰度值c4si為對角元素的矩陣；A是大小為M×P的陣列流形，其第i列稱為導向矢量，可以表示為

在窄帶假設條件下，有si（k＋1）≈si（k）成立，經過推導得到兩個新的累積量矩陣C2、C3：

式中：Ω＝diag｛ejω1，ejω2，…，ejωP｝，Φ＝diag｛ej2γ1，ej2γ2，…，ej2γP｝.

由假設條件（1）和（3）可知，矩陣C1列滿秩且秩為P，對其進行特征分解得到

M個特征值滿足ρ1≥ρ2≥…≥ρP＞ρP＋1＝…＝ρM＝0，ui是第i個特征值對應的特征向量.

定義矩陣C1的偽逆C＃1為

經過數學推導［13］可以得到

由假設（1）和（3）可知，矩陣A和Ω分別為列滿秩矩陣和可逆對角陣.對矩陣C2C＃1進行特征分解得到的P個非零特征值就對應著ejω1，ejω2，…，ejωP.

通過下式可以得到數字頻率的估計：

angle（·） 表示對“·”求輻角.對累積量矩陣C3進行相似的處理可以得到

同樣地，對C3C＃1進行特征分解得到的P個非零特征值對應ej2γ1，ej2γ2，…，ej2γP.

通過下式可以得到γi的估計為

通過特征值對應的特征向量就可以得到的估計

綜上，可以得到近場窄帶信源的頻率、方向以及距離的三維參數估計為

其中c為電磁波的傳播速度和分別由式（17）和（18）估計得到.

假設本文所用接收陣列由M個陣元組成，M為偶數，文獻［13－14］采用中心對稱結構，由接收數據所構造的高階累積量矩陣大小是（M／2）×（M／2），有M／2個陣元孔徑的損失，最多可估計M／2－1個信源.本文和文獻［15－16］采用非中心對稱結構，由接收數據所構造的累積量矩陣維數是M×M，避免了陣列天線的孔徑損失，最多可估計M－1個信源.

由于四階累積量矩陣的構造以及矩陣的特征分解是算法運算復雜度的主要體現，本文主要考慮這兩項的計算復雜度.利用快拍數為K的接收數據構造一個大小為M×M高階累積量矩陣的計算復雜度為O（9M2K），對其進行特征分解的計算復雜度為O（4M3／3）.本文方法共需要構造3個M×M高階累積量矩陣，并需要3 次特征分解，所以計算復雜度為O（27M2K＋4M3），低于采用同樣結構的文獻［15］和［16］，其計算復雜度分別 為O（36M2K＋272M3／3）和O（54M2K＋72M3）.在參數配對方面，本文方法需要一次參數配對，文獻［15］需要進行兩次參數配對，而文獻［16］則不需要參數配對.

3 仿真實驗

考慮一個陣元數目M＝8的均勻線陣，陣元間距d＝min（λi）／4，空間存在兩個等功率且統計獨立的近場窄帶信源，中心頻率分別為f1＝3 MHz，f2＝4 MHz.仿真實驗中采樣頻率為10 MHz，本文以均方根誤差erms作為方法性能的評價準則，結果由L＝300次獨立實驗統計得到：

其中代表本文方法得到的參數估計值，x代表參數的真值.

實驗1 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同信噪比下的近場源參數估計性能，其中信噪比Rsn從0dB到25dB變化，數據長度為2 000個快拍，入射角度分別為θ1＝－15°，θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖2給出了不同Rsn下不同方法參數估計erms的變化曲線.從圖中可以看出，在頻率估計方面，本文方法的性能比文獻［16］方法略差，與文獻［15］方法估計性能相當，明顯優于文獻［14］方法.這是因為文獻［14］方法采用了中心對稱結構陣列，具有較大的孔徑損失而導致各參數估計性能都比較低.相比于文獻［16］方法，本文構造高階累積量矩陣個數少，估計頻率所用的高階累積量矩陣維數小，因而頻率估計性能略差.在到達角估計方面，本文方法與文獻［15］方法估計性能基本相同，略優于文獻［16］方法，明顯優于文獻［14］方法.而在距離估計方面，本文方法則明顯優于文獻［14－16］中的方法.

實驗2 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同快拍數下的參數估計性能，其中信噪比Rsn固定為20dB，數據長度范圍為500 到2 500個快拍，入射角度分別為θ1＝－15°，θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖3給出了不同快拍數下參數估計erms的變化曲線.從圖中可以看出，各方法性能隨快拍數的增加而提高，方法之間的性能比較結果與實驗1結論相同：本文方法除在頻率估計性能略差于文獻［16］方法以外，其他兩個參數都能取得比其他方法更加精確的估計結果.此外，由實驗1和實驗2的結果還可以發現，位置較近信源的距離參數估計精度明顯高于位置較遠信源的參數估計結果，這與文獻［10］的理論分析是一致的，說明了本文方法的有效性.

圖2 不同信噪比下的近場源參數估計誤差Fig.2 Errors of parameters estimation for near－field sources under different SNR

圖3 不同快拍數下的近場源參數估計誤差Fig.3 Errors of parameters estimation for near－field sources under different snapshots

實驗3 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同入射角下的參數估計性能.其中，信噪比固定為20dB，信源1入射角θ1從0°變化至30°，信源2入射角固定為θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1＝1.5λ1，r2＝0.8λ2.

圖4給出了不同入射角下的參數估計erms變化曲線.從圖中可以看出，隨著信源1入射方向的變化，各信源參數估計性能與實驗1和實驗2中的結論是一致的.此外還可以發現，在距離和頻率不同的情況下，同一方向的兩個信源是可以分離的.需要指出的是，本文方法和文獻［14］方法的距離參數估計誤差會隨著兩個信源入射方向的接近而增大.

實驗4 比較本文方法與文獻［14－16］方法在不同距離下的參數估計性能.其中，信噪比固定為20dB，信源1的入射角θ1＝－15°，信源2的入射角θ2＝30°，到參考陣元的距離分別為r1從0.5λ1變化至4λ1，r2＝0.8λ2.

圖5給出了不同距離參數下的erms變化曲線.除文獻［14］方法以外，其余方法的頻率估計、到達角估計以及信源2的距離估計erms隨信源1距離的增大沒有明顯的變化，而信源1的距離估計erms則隨距離的增大而增大.文獻［14］方法在r1＝0.5λ1時參數估計誤差較大，這是因為此時兩信源的距離參數幾乎相等，不能充分保證文獻［14］方法中要求兩者距離參數不相等的假設.

圖4 不同信源1入射角下近場源參數估計誤差Fig.4 Errors of parameters estimation for near－field sources under different DOAs of source 1

圖5 不同距離下近場源參數估計誤差Fig.5 Errors of parameters estimation for near－field sources under different ranges

實驗5 比較本文方法與文獻［15－16］方法的復雜度，信噪比固定為20dB，數據長度范圍為500到2 500個快拍，統計300次Monte－Carlo實驗的運行時間.

表1給出了相同條件下不同方法的運行時間，從表中可以看出，文獻［16］方法運行時間約為本文方法的1.8倍，文獻［15］方法運行時間約為本文方法的1.3倍，與理論分析是一致的，說明本文方法具有更低的運算復雜度.

表1 不同方法運算復雜度比較Tab.1 Comparison of computational complexity for different methods

4 結 語

本文提出了一種改進的近場窄帶信源多參數估計方法，能夠實現多信源的頻率、距離以及DOA 的聯合估計.通過采用非對稱陣列結構以達到避免陣列孔徑損失的目的，通過構造新的累積量矩陣以達到降低算法的計算復雜度的效果.最后，仿真實驗結果表明，本文方法除在頻率估計精度方面略低于文獻［16］方法外，其他兩個參數的估計精度均高于其他方法，尤其是距離參數估計精度明顯高于其他方法，證明了本文方法的有效性.此外，本文方法在保證參數估計精度的同時，有效地縮短了運行時間，說明了本文方法的工程應用價值.

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