面向直方圖加權的快速FCM的圖像分割算法

陳星平，陳燕敏，樓喜中

（中國計量學院 信息工程學院，浙江 杭州 310018）

圖像分割是指把圖像分割成具有特定區域性質并提出感興趣的目標之過程［1］.現有分割算法包括：基于閾值的分割算法，基于區域的分割算法，基于特定理論的分割算法和FCM算法［2］.已有的這些算法，獨立且都有其局限性［3］.隨著模糊理論的研究發展，FCM算法成為一種分類效果很好的算法，FCM算法是一種基于面向數據劃分的、非監督的聚類算法，已大量運用到實際中［4］.FCM算法不需要事件的先驗概念，依據需求可以選擇不同的隸屬度函數，對含有噪聲的圖像分割，具有一定的抗噪聲能力［5］，適應范圍廣.但是經典的FCM算法容易陷入局部最優解，對于初始化數據比較敏感，同時數據迭代次數高.文獻［6－8］使用了FFCM（fast fuzzy C－means algorithm）算法，將圖像像素投影到一維灰度值空間，從而減少了迭代數目，但是忽視了不同灰度值離散程度不一樣的特點.文獻［9］提出了一種加權的灰度值模糊C聚類算法（SWFCM），利用領域像素灰度的相關性質，對直方圖的灰度進行加權模糊聚類.本文基于直方圖加權模糊聚類，首先對二維圖像像素點投影到一維灰度值像素空間中，對于每一級灰度值進行線性加權.考慮到每一級灰度值像素點空間分布不同，使用四分位相對離差系數作為權值.實驗表明，相比FCM算法和FFCM算法，本算法減少了迭代數量，加快了圖像聚類分割速度，對含有一定噪聲圖像分割，減少了像素點錯分比例，提高了圖像的分割精度.

1 FCM算法和四分類相對離差系數

1.1 四分類相對離差系數

四分類相對離差系數反映數據的離散程度，數據的離散程度越大，對應的四分離散系數越大［11］.假設數據總量分為相同的四等份，每一個等分量為 Q1，Q2，Q3，Q4.（Q1＋Q3）／2表明的是數據集中趨勢的度量，（Q3－Q1）／2表明的是數據離差程度的度量，定義四分類相對離差系數VQ：

對比圖1、圖2的四分類相對離差系數，得出離散程度不同，四分類相對離差系數不同.

1.2 經典FCM算法

FCM 把n個向量Xi｛i＝1，2，3，…，n｝，分為C個組，每個組的向量定義為Gj｛j＝1，2，3，…，C｝，每個組的聚類中心cj｛j＝1，2，3，…，C｝.每個向量Xi對于每個聚類組Gj定義一個隸屬度uij，uij根據隸屬度函數得到，uij有如下性質：

圖1 離散系數為0.69的離散圖Figure 1 Scattering diagram with dispersion coefficient of 0.69

圖2 離散系數為0.74的離散圖Figure 2 Scattering diagram with dispersion of 0.74

采用歐幾里德距離作為非相似性指標，使得目標函數J最小.目標函數定義為：

γj（j從1到n）表示公式（3）的n個約束式的拉格朗日乘子，對所有輸入參數進行求偏導，使得公式（6）達到最小值的必要條件為：

得到FCM算法的步驟如下：

1）輸入模糊度指數m、聚類數目C和停止參數ζ.

2）初始化隸屬矩陣u.使得得到的隸屬矩陣滿足公式（3）的要求.

3）依據u和公式（7），求出每個類的聚類中心.

4）依據公式（4）式計算價值函數.如果達到預定的迭代次數，或者目標函數J小于某個確定的閾值，或者對比上一次目標函數J變化量小于某個確定的值ζ，一般ζ取值為0.0001，算法結束.否則進入下一步.

5）用公式（8）重新計算隸屬矩陣.返回步驟3）.

2 基于直方圖加權快速FCM算法

經典FCM算法對于每一個像素都進行數據量的運算，運行數據迭代次數高，采用文獻［6］提出的FFCM算法，將需要聚類的像素點投影到一維灰度直方圖空間中，減少了算法的迭代量，加快了算法的運行速度.公式（4）式中n代表聚類樣例數目，對于圖像為M×N（M代表圖像的寬度，N代表圖像的高度）.l表示一維灰度直方圖中的灰度，H（l）表示灰度值為l的樣例數目，得到H（l）的表達式如下：

l對于圖像，最大值255，表示最多有256種不同的灰度值，對比公式（11）和公式（4）得到算法時間復雜度O（C×M×N）轉換為O（C×L），優化了運行時間.為得到上述目標函數的最小值，分別對uij和ci進行求偏導，得到新的迭代函數U 和聚類中心C：

FFCM算法在速度上比傳統FCM算法運行速度快，但是它沒有考慮到數據的空間信息.每一個灰度值在圖像中的重要性質不一樣［10］，對于每一個灰度值進行一次加權.而加權系數使用的是使用四分位相對離差系數.四分位相對離差系數能夠衡量數據的離散程度，離差系數越大，數據的離散程度越大，離差系數越小，離散程度越小.對于任何一個灰度值l，灰度值為l的像素點分布在寬度為W 和高度為H 的圖像中，每一個層級的灰度值空間分布不相同，充分利用圖像像素的空間信息分布［11］，對于每一級灰度值進行四分位離差系數進行加權，最終得到了更好的聚類效果.灰度圖如圖3.

圖3 灰度圖Figure 3 Gray－scale image

灰度直方圖如圖4，當灰度值l為194時候得到的空間信息分布如圖5.

根據公式（2），給定數據的下分類數Q1和上分類數Q3，（Q1＋Q3）／2表明的是數據集中趨勢的度量，（Q3－Q1）／2表明的是數據離差程度的度量，求出四分類相差系數為0.671，即灰度值的樣例數目 H（l）的權重W（l）系數.把權值W（l）運用到公式（11）中，每一個灰度值都得到一個對應的權值，其中一共有0到255灰度值，256種不同的灰度值.公式（11）變為

圖4 灰度直方圖Figure 4 Gray histogram

圖5 灰度值l＝194像素點空間分布Figure 5 Spatial distribution of pixels when gray level is 194

結合SPFFCM（special weight fast fuzzy C－means）改進的算法流程如下：

1）由公式（9）和公式（10）得到圖像的灰度值函數 H（l）.

2）依據圖像的空間信息，得到每一個灰度值的四分類相對離差系數W（l）.

3）把W（l）×H（l）作為新的 H（l）.

4）初始化隸屬矩陣u，使其滿足公式（3）的要求.

5）依據u和公式（12）求出每個類的聚類中心.

6）依據公式（14）計算價值函數.如果達到預定的迭代次數，或者目標函數J小于某個確定的閾值，或者對比上一次目標函數J變化量小于某個確定的值ζ，通常ζ取值為0.0001，算法結束.否則進入下一步.

7）公式（13）重新計算隸屬矩陣.返回步驟5）.

3 實驗結果和分析

為了驗證本文提出的算法在分割速度和精度方面的有效性，實驗編程在Matlab 7.10.0實現，分別對比FCM算法、FFCM算法、SWFFCM算法在圖像分割中的結果，算法設置權重指數m＝2，ζ＝0.0001，實驗選擇100副128×128圖像，每副圖像一共16384個像素點.

圖像6中，原始圖像包含3種（20，149，179）灰度值，原始圖像中均加入均值5%的高斯噪聲，分割的聚類數目C為3.圖像6為樣例圖像，圖像7為經典FCM算法的分割結果，圖8為FFCM算法分割的效果，圖9為SWFFCM（special weight fast FCM）算法分割的效果.圖像結果中顯示，經典FCM并不能很好保留圖像細節，同時圖像分割界限不明顯.FFCM算法雖然運行速度快，但是對噪聲抗干擾性能較差.SWFFCM算法不僅算法執行速度快，同時對圖像具有很好的去除噪聲功能，最終對圖像具有良好的分割效果.

圖6 加入高斯噪聲后的圖像Figure 6 Image with adding Gaussian noise

圖7 經典FCM算法處理效果Figure 7 Processing effect with classic FCM algorithm

圖8 FFCM算法處理效果Figure 8 Processing effect with FFCM algorithm

圖9 SWFFCM算法處理效果Figure 9 Processing effect with SWFFCM algorithm

為了進一步客觀比較各個算法的性能，采用聚類錯分點數目比例和算法運行時間兩個參數作為評價算法的指標，錯分點數目比例定義為錯分數目除以總的像素點個數.對比發現SWFFCM算法在算法分割時間上優于傳統的FCM算法和FFCM算法，同時錯分數目少，對噪聲的容納性能優良.

表1 FCM算法、FFCM算法、SWFFCM算法性能比較Table 1 FCM algorithm，FFCM algorithm and SWFFCM algorithm segmentation performance comparison

4 結 語

本文提出了基于加權四分位系數的快速模糊聚類算法，并將其運用在圖像分割中.在得到圖像的一維灰度直方圖的基礎上，對每一個灰度值進行加權，采用四分位相對離差系數作為其權值，既提高了圖像的分割效率和速度，又減少了樣例點在圖像聚類結果中的錯分數目.改進后的算法對圖像噪聲具有較好的魯棒性，優于FFCM算法和標準的FCM算法.

［1］雷斯.數字圖像處理［M］.北京：電子工業出版社，2011：100－104.

［2］尼克松.特征提取與圖像處理［M］.北京：電子工業出版社，2010：200－206.

［3］崔寶珍，王澤兵，潘宏俠.改進的FCM聚類算法［J］.機械管理開發，2010，25（6）：76－78 CUI Baozhen，WANG Zebing，PAN Hongxia.An improved FCM clustering algorithm［J］.Mechanical Management and Development，2010，25（4）：76－78.

［4］景軍鋒，孟泰，李鵬飛.基于模糊C均值聚類的紡織品印花圖像分割［J］.紡織學報，2012，33（6）：97－100.JING Junfeng，MENG Tai，LI Pengfei.Textile printimage segmentation based on FCM［J］.Journal of Textile Research，2012，33（6）：97－100.

［5］JUI S.Dynamic incorporation of wavelet filter in fuzzy CMeans for efficient and noise－insensitive MR image Segmentation［J］.International Journal of Computational Intelligence Systems，2015，8（5）：796－807.

［6］劉健莊.基于二維直方圖的圖像模糊聚類分割方法［J］.電子學報，1992，2（9）：40－46.LIU Jianzhuang.A fuzzy clustering method for image s－egmentation based on two dimensional Histogram［J］.Acta Electronical Sinica，1992，2（9）：40－46.

［7］彭立軍，何靈敏，楊小兵.一種基于FCM的圖像分割算法［J］.中國計量學院學報，2011，22（4）：369－372.PENG Lijun，HE Lingmin，YANG Xiaobing.A picture segmentation method based on FCM［J］.Journal of China University of Metrology，2011，22（4）：369－372.

［8］SU L M，ISA N.Adaptive fuzzy－K－means clustering algorithm for image segmentation［J］.IEEE Transactionson Consumer Electronics，2010，56（4）：2661－2668.

［9］董旭，魏振軍.一種加權歐氏距離聚類方法［J］.信息工程大學學報，2005，6（1）：23－25 DONG Xu，WEI Zhenjun，A clustering method of euclid distance with weights［J］.Journal of Information Engineer－ing University，2005，6（1）：23－25.

［10］康家銀，閔樂泉.基于顧及像素空間信息的加權FCM聚類的圖像分割［J］.北京科技大學學報，2008，30（9）：1072－1078.KANG Jiayin，MIN Lequan.Image segmentation based on weighted fuzzy C－means clustering accounting for pixel spatial information［J］.Journal of University of Science and Technology Beijing，2008，30（9）：1072－1078.

［11］YUS O I，ISA M，HASIKIN K.Automated two dimensional K－means clustering algorithm for unsupervised image segmentation［J］.Computers ＆ Electrical Engineering，2013，39（3）：907－917.