無碰撞區跳頻序列集的構造

許成謙，王嘉星

（燕山大學信息科學與工程學院，河北秦皇島066004）

無碰撞區跳頻序列集的構造

許成謙，王嘉星

（燕山大學信息科學與工程學院，河北秦皇島066004）

無碰撞區跳頻序列集能夠有效減輕通信中的多徑干擾，在準同步跳頻通信系統中具有廣闊的應用前景。提出了兩種新的無碰撞區跳頻序列集構造的方法，在這種構造方法中，序列的個數和無碰撞區的長度是可以靈活變動的。由這兩種方法構造的無碰撞區跳頻序列集的頻隙個數、序列長度、序列個數、無碰撞區長度、漢明相關值等參數均達到了理論界，是最優的無碰撞區跳頻序列集。

跳頻序列；無碰撞區；漢明相關

0 引 言

跳頻通信系統因其具有抗衰落能力、抗干擾能力強等諸多優點，已被廣泛應用于軍事通信領域，并且在民用移動通信領域，如：家庭射頻和藍牙中，也得到了廣泛應用［12］。而跳頻序列的設計問題是跳頻通信系統中需要解決的問題之一。跳頻序列設計要求構造出的跳頻序列的長度要盡量長、序列個數盡可能多并且有較小的漢明相關值。漢明相關表示序列間互相碰撞的次數。為了盡量減少互相碰撞的干擾，一種新的跳頻序列集——無碰撞區跳頻序列集應運而生。

目前，國內外許多學者都在致力于研究性能良好、達到或接近于理論界的無碰撞區跳頻序列集［313］，這一研究領域引起了人們的廣泛興趣。常見的構造方法一般就是基于代數理論和交織技術［14］。文獻［3］是基于矩陣旋轉構造無碰撞區跳頻序列集，序列個數達到了理論界，但序列的漢明自相關在零相關區之外還有較多的碰撞。文獻［9］是基于交織技術構造無碰撞區跳頻序列集，但其所使用的移位序列存在移位等價關系，所以構造出的無碰撞區跳頻序列也存在著移位等價關系，因此其序列之間的漢明互相關存在著很大的旁瓣值。本文所敘述的構造方法不但使序列個數滿足理論界，并且使序列的漢明自相關和漢明互相關都盡量保持在較低水平，以降低通信中的干擾。

1 基本概念和性質

定義1設F＝｛0，1，…，q－1｝是一個包含q個頻隙的頻率集合，x＝（x（0），x（1），…，x（N－1））和y＝（y（0），y（1），…，y（N－1））分別為頻率集F上長度為N的兩個跳頻序列，其中x（i），y（i）∈F，i＝0，1，…，N－1。跳頻序列的周期漢明互相關函數的定義為

（i＋τ）mod N。若x＝y，稱其為跳頻序列x的漢明自相關函數，記為Hxx（τ）。

定義2設S是由頻隙個數為q，序列長度為N的M個跳頻序列組成的序列集。若跳頻序列集S中任意序列x＝（x（0），x（1），…，x（N－1））和y＝（y（0），y（1），…，y（N－1））的周期漢明相關函數滿足：

則稱跳頻序列集S為（N，M，q，Z）無碰撞區跳頻序列集，簡稱N HZ跳頻序列集，稱Z為無碰撞區長度。

性質1［15］（N，M，q，Z）無碰撞區跳頻序列集的參數滿足：M≤。

2 構造方法

2.1 構造方法1

（1）從頻隙集合F中任意選取M（Z＋1）個頻隙。將它們排列成一個M×（Z＋1）的矩陣，記為A0＝］。

得到M－1個矩陣A1，A2，…，AM－1。

（3）以M個矩陣A0，A1，A2，…，AM－1為子塊構成一個矩陣A＝［A0，A1，…，Am－1］，取A的每一行生成M個長度為M（Z＋1）的跳頻序列。

定理1方法1構造出參數為（M（Z＋1），M，M（Z＋1），Z）的跳頻序列集。

證明因為方法1中矩陣A＝［A0，A1，…，Am－1］是M行M（Z＋1）列的，所以方法1構造的跳頻序列集頻隙個數為M（Z＋1），序列個數為M，序列長度為M（Z＋1）。

下面證明序列集的無碰撞區長度為Z。對于任意i＝1，2，…，M，1≤τ≤Z，因為

由于初始矩陣A0中各元素均不相同，所以同一行中的不同列不會出現相同的元素，初始矩陣A0大小為M×（Z＋1），具有（Z＋1）列，那么相同元素再次出現時，與上一次出現時的間隔至少為Z，即在1≤τ≤Z范圍內，j≠（j＋τ）mod（Z＋1），即

并且根據初始矩陣的排列規則可以看出，這兩個位置之間的間隔在Z內，在這之間，元素總是不同的，則

那么Hxx（τ）＝0（1≤τ≤Z）。

對于任意

因為

初始矩陣A0中各元素均不相同，不同行中同列元素與不同行不同列元素均不會相同，初始矩陣A0大小為M×（Z＋1），則在不同行中，相同元素之間仍舊滿足最小間隔為Z，即在0≤τ≤Z范圍內，由于和是矩陣H中不同行的元素，所以j mod（Z＋1）≠（j＋τ）mod（Z＋1），因此（＋j）mod M，j）≠（（＋j）mod M，（j＋τ）mod（Z＋1）），同樣從初始矩陣的排列可以看出，不同行中出現相同的元素之間的間隔至少為Z，則

故Hxy（τ）＝0（0≤τ≤Z）。

證畢

（2）取一個7×6階矩陣

矩陣H中每一列元素由集合｛0，1，…，6｝中元素組成，且H中每行和每列沒有相同的元素。采用變換

將矩陣A0變成

（3）以7個矩陣A0，A1，…，A6為子塊構成一個矩陣A＝［A0，A1，…，A6］，即

A＝

取矩陣A的每一行構造出一個（14，7，14，1）NHZ跳頻序列集，其包含的序列如下：

所構造出的跳頻序列的漢明自相關和互相關函數在τ＝0，1，…，13時取值分別為

2.2 構造方法2

在白茫茫的冰原上，領頭的雌鹿帶領著浩浩蕩蕩的馴鹿隊伍，排山倒海般走過。在人類看來，馴鹿大部隊整齊地走過雪原，是自然界里的一道壯美的奇景?？蓪︸Z鹿來說，它們所走過的每一步都不會太輕松——從越冬區出發后，它們要避開重重險惡的道路，并且要在沿途狼群和熊的夾擊下保護自己，還要尋找到能填飽肚子的食物：地衣、苔蘚。雌性馴鹿的任務就更艱巨了，這些偉大的馴鹿媽媽，要在春季遷徙的途中生下寶寶，并辛苦地照料它們。

（1）從頻隙集F中任意取M（Z＋1）個頻隙，將它們排列成一個M×（Z＋1）的矩陣，記為U0。

（3）由U0得到M個新矩陣

（4）以M個矩陣U1，U2，…，UM為子塊構成一個矩陣U＝［U1，U2，…，UM］，取U的每一行生成M個長度為M（Z＋1）的跳頻序列。

定理2方法2構造出參數為（M（Z＋1），M，M（Z＋1），Z）的跳頻序列集。

證明由方法2構造的跳頻序列集頻隙個數為M（Z＋1），序列個數為M，序列長度為M（Z＋1）。

下面證明序列集的無碰撞區長度為Z。

對于任意i＝1，2，…，M，1≤τ≤Z，因為

證畢

（1）從F中任取14個頻隙，例如選｛0，1，…，13｝，將它們排成一個7×2的矩陣，記為U0：

（2）取長度為14的移位序列e＝（1，3，0，6，5，2，4，1，3，0，6，5，2，4）。

（3）采用變換

將矩陣U0變成

（4）以這7個矩陣U1，U2，…，U7為子塊構成一個矩陣U＝［U1，U2，…，U7］。取矩陣U的每一行構造出一個（14，7，14，1）N HZ跳頻序列集，其包含的序列如下：

所構造出的跳頻序列的漢明自相關和互相關函數在τ＝0，1，…，13時取值分別為

3 性能分析比較

文中構造方法1與文獻［6］中的構造方法均達到了理論界，文獻［6］中構造的跳頻序列的自相關性在無碰撞區外還有較多高峰值，而構造方法1可以將高峰值減少，因此構造方法1構造出的跳頻序列的漢明自相關性要優于文獻［6］。文獻［9］中構造的跳頻序列雖然達到了理論界，但是其構造出的跳頻序列是其自身序列的移位序列，存在著移位等價的問題，在實際通信中并不能使用。本文兩種構造方法均達到了理論界，并且通過理論證明，得到在無碰撞區內自相關性和互相關性均達到了理想值。

4 結束語

本文利用兩種矩陣變換方法構造了最優無碰撞區跳頻序列集，雖然都達到了理論界，但得到的序列長度均沒有超過頻隙個數，尋找能夠構造出序列長度大于頻隙個數的更長無碰撞區跳頻序列集是進一步需要研究的內容。

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許成謙（196-1- ），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為編碼理論、通信理論、信號設計。

E-mail：cqxu＠ysu.edu.cn

王嘉星（198-8- ），女，碩士研究生，主要研究方向為信號設計、跳頻通信。

E-mail：jx19882008＠163.com

Construction of frequency hopping sequence set with no hit zone

XU Cheng-qian，WANG Jia-xing
（School of Information Science&Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China）

Frequency hopping sequence set with zero collision zone can effectively reduce the multipath interference in the communication and it has extensive application prospect in the quasisynchronous frequency hopping communication system.Two methods of constructing the frequency hopping sequence set with no hit zone are proposed in which the number of sequences and the length of no hit zone can be flexibly changed.All of the parameters consisiting of the number of frequency slot，the length of sequences，the number of sequences，the length of zero collision zone and the hamming correlation values of the frequency hopping sequence set with no hit zone constructed by these methods have reached the theory bound，which result in the optimal frequency hopping sequence set.

frequency hopping sequence set；no hit zone；hanmming correlation

TN 911.2

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.11.28

1001-506X（2015）11-2606-05

2014- 09- 19；

2014- 10- 21；網絡優先出版日期：2014- 10- 31。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20141031.1029.004.html

國家自然科學基金（61172094，61201263）；河北省自然科學基金（F2015203150）資助課題