淺談方差非負性的應用

馬曉英

摘 要：在普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3（人教A版）中增加了有關概率方面的一些知識，涉及期望及方差的計算，利用方差的定義及其非負性，可以幫助解決一些中學代數問題。例如，用來求函數的最值，證明不等式，求解方程等.

關鍵詞：數學期望；方差；最值

在概率論中，一組數據x1，x2，x3…xn，的方差公式為S2= （xi-x）2，該公式更進一步可化簡為S2= xi2-（ xi）2。類似地，對于離散型隨機變量 而言，其方差公式D =E 2-（E ）2為，其中E 為隨機變量 的數學期望（也稱作數學均值）。我們知道方差具有非負性。因此，利用方差的定義及其非負性，在解決某些最值問題，證明不等式或解方程（組）等方面均有廣泛的應用。下面運用離散型隨機變量 的方差的非負性解決幾個問題.

一、利用方差的非負性證明不等式

例1.已知x，y，z>0，并且 + + =2.

求證： + + ≤ .

（第一屆“希望杯”全國數學邀請賽備選題）

證明：法一：令x=tan ，y=tan ，z=tan ，其中 ， ， 均為銳角，由已知條件可得，sin2 +sin2 +sin2 =2，所以，cos2 +cos2 +cos2 =1.由柯西不等式知，

2×1=（sin2 +sin2 +sin2 ）（cos2 +cos2 +cos2 ）≥（sin cos +sin cos +sin cos ）2

因此， （sin2 +sin2 +sin2 ）≤ ，而 （sin2 +sin2 +sin2 ）= + + ，

所以， + + ≤ .

法二：構造概率模型：

設 ～ ，則

E = + + ，E 2= + + =2，

由D =E 2-（E ）2=2-（ + + ）2≥0，得

（ + + ）2≤ ，而x，y，z>0，

所以， + + ≤ .

法一是根據已知條件構造三角函數，并且運用了換元法和柯西不等式，在解題過程中計算量較大，而法二就顯得略為簡單.

二、利用方差的非負性求函數的最值

函數的最值問題在中學數學中有著很重要的地位。我們可以利用函數的單調性，圖象等方法確定函數的最值。下面把這個方法介紹給大家，希望能對大家有所幫助.

例2.求y= + 的最大值.

解：構造概率模型： ～

則E = + = （ + ）= y

E 2= [（ ）2+（ ）2]= （a-b）

由D =E 2-（E ）2≥0知 （a-b）-（ y）2≥0，所以y2≤2（a-b）（a≥b），故y≤ ，當且僅當 = ，即x= 時等號成立，從而ymax= .

三、利用方差求解方程

對于我們所熟悉的一元一次方程和一元二次方程，都可用公式法求解。但是對于二元二次方程或者是多元二次方程，沒有特定的解法，而下面的解法相信會受到大家的青睞。

例3.求滿足x2+（y-1）2+（x-y）2= 的一切實數對（x，y）.

解：將原方程化為（-x）2+（y-1）2+（x-y）2=

構造概率模型： ～ ，則

E = （-x）+ （y-1）+ （x-y）= （-x+y-1+x-y）=-

E 2= （-x）2+ （y-1）2+ （x-y）2= [（-x）2+（y-1）2+（x-y）2]= × =

從而D =E 2-（E ）2= - =0，因此，有-x=y-1=x-y，

即 （1）

由（1）式知 ，所以，滿足原方程的實數對（x，y）有（ ， ）.

以上為本人在自己的教學過程中一點細小的總結，不足之處，還請指教。

參考文獻：

茆詩松.概率論與數理統計教程.高等教育出版社，2011-06.

編輯 段麗君