張挺雄
圓的切線是九年級數學中的一個重要內容,是在中考中??嫉囊粋€知識點。而相當一部分學生在證明一條直線是圓的切線時,有的無從下手,有的證明過程不完整。下面就圓的切線證明歸納總結如下:
一、掌握切線的判定方法,理解切線的概念與特征
1.根據定義,即和圓只有一個公共點的直線是圓的切線。
2.到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。
3.切線的判定定理:經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
理解上面的概念,必須抓住兩點:①直線經過半徑的外端;②直線垂直于這條半徑。這兩個條件缺一不可。
二、如何證明一條直線是圓的切線,一般會出現以下幾種情況
1.要證明是圓的切線的直線與圓有公共點,且存在連接公共點的半徑,此時可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“見半徑,證垂直”。
例1:如圖1,已知AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,點E在⊙O外,∠EAC=∠B=60°,求證:AE是⊙O的切線。
證明:∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∵∠B=60°,∴∠BAC=30°
∴∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°
∵BA⊥AE垂足為A
∴AE是⊙O的切線
2.給出了直線與圓的公共點,但未給出過這點的半徑,則要連接公共點和圓心,然后根據“經過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”這個定理進行證明,口訣是“連半徑,證垂直”。
例2:如圖2,已知AB為⊙O的直徑,過點B作⊙O的切線BC,連OC,弦AD//OC,求證CD是⊙O的切線。
證明:連OD
∵OC//AD,
∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COB=∠DOC
又∵OB=OD,OC=OC
∴△OBC≌△ODC,
∴∠OBC=∠ODC
∵BC是⊙O的切線,∴∠OBC=90°
∵∠ODC=90°,∴DC是⊙O的切線。
3.當直線與圓的公共點不明確時,過圓心作該直線的垂線,然后根據“直線與圓相切的定義”去證明,口訣是“作垂直,證相等”。
例3:如圖3,已知OC平分∠AOB,點D是OC上任意一點,⊙D與OA相切于點E,求證:OB與⊙D相切。
證明:連DE,作DF⊥OB,垂足為F。
∵⊙D與OA相切于點E
∴DE是⊙D的半徑,且DE⊥OA
∵OC平分∠AOB,DO在OC上,且DF⊥OB,DE⊥OA
∴DF=DE
∵DF是⊙D的半徑
∴OB與⊙D相切
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