“數據的離散程度”導入中的困惑與思考

程愛

每次上到統計模塊中“數據的離散程度”這節時總會有一種在邏輯上不是很順暢的感覺，總覺得有些話要說，但又總是期盼著別人也和我有同樣的感覺，能提出來大家議一議這個話題，解決我心中的困惑。恰在此時，合肥市第48中學孫志峰老師給我們上了一堂高質量的“數據的離散程度”展示課，課后各兄弟學校的代表們各抒己見，說出了各自心中的看法和困惑。市、縣的數學教育專家也給我們現場解答了很多困惑，我在此基礎上進行整理，談談自己的一些看法。

一、在“方差”導入上的困惑

有效的導入能激發學生的學習興趣，調動學生的積極性，引發學生的數學思考，以學生的發展水平和已有的經驗為基礎，符合學生的認知規律，引領學生尋求解決問題的方法和過程，學生能在解決問題的過程中體會成功的喜悅感。而在這個過程中老師為學生搭建臺階，讓學生沿著臺階一步一步走向成功顯得尤為重要，課堂教學中臺階的搭建往往要借助于教學情境的導入。教學情境設置的好壞往往是一節課成功與否的關鍵，而滬科版教材在“方差”這一概念的導入上并沒有起到相應的作用。

“數據的離散程度”這一節，滬科版教科書無論是實驗版本還是現行版本都沿用了同一個情境進行導入：

問題：兩臺機床都生產直徑為（20±0.2）mm的零件，為了檢驗產品質量，從產品中各抽出10個進行測量，結果如下（單位：mm）：

思考：根據以上結果評判哪臺機床生產的零件的精度更穩定？

我上課一直以來都要求學生：新課要回家事先預習，上課過程中不允許看書。而恰是這一要求使我在上這一課時出現了不和諧的一幕，一位學生在求B組平均數的計算過程中不小心把機床B中最后一個數據19.8看成了20.0來計算，得到xB=20.02mm，于是得到20.02>20.0。這和我的預設發生了沖突，我當時并沒有指出這個錯誤，而是利用這個意外的課堂生成問這位學生：由20.02>20.0，你能得到哪個機床更穩定些？這名學生思考了半天很猶豫地回答：A機床更穩定些。很顯然這和問題的結論不符。是置之不理還是加以引導繼續探究？經過短暫的思考后我決定繼續引導，讓大家各抒己見，大家七嘴八舌展開了討論，但5分鐘過后仍然沒有結果。事實證明我把問題想簡單了，在課堂上我也反復問自己，假如真是xB>xA，那么到底哪個機床更穩定一些？不知道！我真的不知道！是課前準備不充分還是對教材沒有吃透？我對自己產生了質疑，隨著下課鈴聲響起，我在尷尬、遺憾和自責中結束了這節課。下課后我直奔辦公室，再次研讀教材、上網查閱相關資料，沒有結果；找同事交流，還是沒有結果，數學組的幾位同事開玩笑地說：這孩子真會找茬。

真的是孩子在找茬嗎？如果是xA=xB，這個“薦”找的好！晚上回到家我反復思考，問題到底出在哪里？是孩子的錯，還是教材的錯？我再次拿起教材仔細研讀查找原因，最后大膽提出一個質疑：教材的導入方法有問題。平均數根本就不能用來比較兩組數據的離散程度，教材以平均數來導入新知“方差”的方法本身是有問題的。

教材在分析過程中，把平均數和中位數拿來作為衡量一組數據穩定性的參照量，并且很“巧合”地出現了xA=xB=20.0mm，“中位數也都是20.0mm”。從數據集中趨勢這個角度很難區分兩個機床加工精度的穩定性，以前學過的知識解決不了這個問題，這時就需要一種新的知識來解決，然后很自然地引入新知識“方差”。教材整個導入過程看似步步為營，實則強拉硬拽、牽強附會。

統計學中，平均數是用來描述數據集中趨勢的指標之一。所謂數據的“集中趨勢”，就是數據“向某一中心值聚攏的傾向”，或者說是數據的“一般水平、代表值或典型值”，而教材在這里竟然拿來用作衡量一組數據的穩定性，邏輯上有點說不通，給人一種為了情境而情境的感覺。學生在計算過程中的一個不小心，得到20.02>20.0，我們又該下什么樣的結論？是A機床穩定還是B機床穩定？是平均數大一點的較穩定還是平均數小一點的較穩定？這么一個不小心，就把前面所有精心布的局踏在腳下，而導致這一問題的根本原因是：平均數根本就不能用來刻畫一組數據的離散程度。書本上的導入方法給人一種誤導，好像平均數也能刻畫一組數據的離散程度，只是沒有方差更細致罷了，其實不然。平均數不能用來描述一組數據的離散程度。如果按照教材上的導入方法很容易使學生對數據的集中趨勢和數據的離散程度兩個概念產生混淆。

二、一點建議

學生在學過平均數這一塊知識后，對平均數是反映一組數據的集中趨勢并不能馬上理解透徹，這時如果再用與之相近的方法或概念去幫助理解反而適得其反，從心理學上是不符合學生的認知規律的。通過七年級的學習學生已經知道，折線圖是反映一組數據的變化趨勢。教材第117頁的問題1，給出的是一條折線圖，通過這條折線圖，學生很難理解集中趨勢的內涵，反而給學生一種是反映這組數據變化趨勢的錯覺。在教學中如果能把折線去掉，取而代之用一條橫線把這一組數據的平均數表示出來（如下圖所示）：

則更能讓學生感受到：平均數就是描述一組數據“向某一中心值聚攏的傾向”，或者說是數據的“一般水平、代表值或典型值”的內涵。從認知心理學角度來說避免了負遷移的干擾，把變化趨勢和集中趨勢區分開來，使學生更易理解和記憶，并且也為后面講到平均數易受極端值的影響埋下伏筆，給學生以直觀的感受。

數據的“集中趨勢”與“離散程度”這兩個概念之間到底有怎樣的區別與聯系？有人把它們比喻為“愛幾分”與“恨幾分”，沒有愛何來恨，沒有恨又怎知愛，愛和恨交織在一起，誰又能把它們區分開？請別再折磨孩子們了，“集中趨勢”，請你和“離散程度”保持一定的距離，讓孩子能分清楚你們的區別和聯系。

教材中的問題6，本身是個非常經典的例子，我在平行班中另外一個班的教學過程中跳過了教材中“平均數”“中位數”的導入過程，直接引導學生從散點圖（如下圖所示）來觀察得出哪一個機床更穩定。

然后再從絕對值的幾何意義角度出發去理解一組數據的波動性大小，用偏差絕對值xi-x的平均數

xA=

xB=

來刻畫這一組數據的穩定性和合理性，通過數形結合來解決問題，最后自然過渡到方差的概念。整個探究過程顯得更流暢，并且在隨堂練習中學生的正確率反而更高一些，更重要的是在一年后的中考復習中這一班的學生對這一部分知識掌握得更牢固，在數據的集中趨勢和數據的離散程度的應用上區分得更透徹。事實證明這種導入的方法更能讓學生接受，整個過程更合情合理，沒有牽強附會的感覺，達到了預想中的效果，也提高了課堂效率。

教材中的案例是編寫組專家們心血的結晶，很多都是經得起教學實踐檢驗的經典案例，但我們處在一線教學的教師也應在具體的教學過程中大膽提出質疑，對于有些案例應能提出自己的不同見解，有些案例在經過實踐和論證后應能針對本校的學情進行再加工，爭取做到最大限度地符合本校學情，以提高課堂的有效性。教師不應是單一的知識傳遞者，還應是知識產生的見證者和參與者。學高為師，身正為范，只有勇于探索和質疑的老師，才能引領學生在知識的海洋中遨游。

以上是我在平時教學中遇到的一些事例和感悟，有不妥之處敬請專家指正。

參考文獻：

[1]李晶.有效教師[M].遼寧師范大學出版社，2006.

[2]陳旭遠，賀成.有效備課[M].東北師范大學出版社，2008.

編輯 王夢玉