基于三次B樣條曲線的一維彈道修正彈空氣阻力系數擬合

趙 靜，杜忠華，趙永平，劉子毅，宋成俊

（1.南京理工大學機械工程學院，南京 210094；2.長安工業集團公司，重慶 638500；3.海軍駐沈陽彈藥專業軍事代表室，沈陽 110045）

基于三次B樣條曲線的一維彈道修正彈空氣阻力系數擬合

趙 靜1，杜忠華1，趙永平1，劉子毅2，宋成俊3

（1.南京理工大學機械工程學院，南京 210094；2.長安工業集團公司，重慶 638500；3.海軍駐沈陽彈藥專業軍事代表室，沈陽 110045）

為提高彈道修正彈的射擊精度，對一維彈道修正彈空氣阻力系數的擬合方法進行了研究。在分析Logistic曲線對43年阻力定律擬合缺點的基礎上，提出了一種采用三次B樣條曲線對其進行擬合的新方法。并通過某型號一維彈道修正彈驗證了該擬合方法具有可行性好、擬合精度高、運算簡單、結果可靠等優點。該擬合方法的提出為一維彈道修正彈空氣阻力系數的擬合提供了一種新的研究方法，更便于外彈道的仿真計算。

一維彈道修正彈，三次B樣條曲線，空氣阻力系數，擬合方法

0 引言

隨著智能彈藥的發展，一維彈道修正彈越來越受到各國的重視，射擊的高密集度是其實用性的關鍵指標。由外彈道學可知，修正彈的修正能力主要是由空氣阻力決定的，而阻力系數的大小是造成空氣阻力不同的主要原因［1］。目前，使用最多的彈丸空氣阻力定律為1943年阻力定律，這種定律為表值形式，不便于應用。為便于1943年阻力定律的廣泛應用，針對空氣阻力的曲線擬合已經有許多學者做過工作。其中，祁載康等人［2］在分析由雷達探測得到的彈丸阻力時，采用多段樣條曲線來進行擬合，該方法需在每兩個相鄰點間建立一個三次樣條曲線方程，擬合過程復雜。

王雨時教授［3］在分析1943年阻力定律與高阻炸彈阻力定律時，采用了拋物線分段擬合的方法，雖然這種方法能夠保證其精度要求，但在擬合時分段過多（3段～4段），擬合過程繁瑣，不便于應用。隨后，王教授［4］又提出了采用Logistic曲線分兩段擬合彈丸破片戰斗部阻力系數，雖取得了較好的擬合效果，但擬合過程仍要分段進行，且最后還要把分成的兩段曲線對接在一起才能組成完整的擬合曲線，而在對接點處會存在相對較大的偏差，需要多次調節程序才能出現比較滿意的結果，該過程所需時間長，工作效率降低。

與以上方法相比，三次B樣條曲線擬合過程相對簡單，僅需對所給數據進行一次擬合即可，無需分段，大大縮短了外彈道的擬合時間，提高了工作效率。該曲線具有局部性特點，即當改動其中一個已知點時，只會對相鄰的曲線段產生影響，不會對整條曲線產生影響，這為計算彈丸空氣阻力系數曲線時修改某一局部的形狀帶來了很大的方便。綜合分析以上擬合方法的優缺點，本文采用三次B樣條曲線對彈丸的空氣阻力系數進行了擬合。

1 采用Logistic和三次B樣條曲線分別對43年阻力定律擬合分析

由阻力定律［5］可知，要想得到某型號彈的阻力系數，可先選定某一特定形狀的標準彈作為參照，將其阻力系數曲線精確測出，再測出同一Ma數時的該型號彈與標準彈的阻力系數Cxo和Cxon，將兩者相比即得到比值i，其表達式如下

以上即為43年阻力定律的表達式，該表達式一直沿用至今。由此可知，43年阻力定律的數值為標準值，可采用Logistic和三次B樣條曲線分別對該定律中相同數據進行擬合，通過對擬合效果的比較分析得到更有效的擬合方法。

1.1 Logistic曲線簡介

Logistic曲線廣泛應用于醫學領域，用來描述計量反應過程等。其曲線的形狀類似于拉長的“S”，且曲線的上下兩端各有一條漸近線［6］。

Logistic曲線的表達公式為：

式中：x為曲線的自變量；y為曲線的因變量；a、b、c、d為擬合曲線的參數。

Logistic曲線擬合過程：首先把需要擬合的數據大概分成兩部分，分別對其進行擬合；擬合完成后，把擬合的兩段曲線在分界點處對接，組成完整的擬合曲線。由于兩條擬合曲線對應的擬合參數不同，在對接點處存在一定的偏差，若想得到完全重合的兩個點是比較困難的，需要多次修改程序才能得到比較滿意的結果，而程序的修改、運行過程復雜，需耗費大量的時間，致使工作效率較低。

1.2 三次B樣條曲線簡介

在20世紀40年代，Schoenberg首先提出了B樣條曲線的概念。而后，由De Boor和Cox分別提出遞推定義［7-8］，該遞推定義得到普遍的應用，B樣條的表達式為

式中：k表示B樣條的冪次，t為節點，i為B樣條的序號。

由上式可知，想要確定第i個k次B樣條Nj，k（x）需要用到ti，ti+1，…，ti+k+1共 k+2個控制頂點 di（i= 0，1，…，n）和n+1個k次B樣條基函數Ni，k（x）（i= 0，1，…，n）。本文采用的是三次B樣條曲線，只需將式（3）中k設為3即可。

與Logistic曲線相比，三次B樣條曲線的擬合過程非常簡單，它不需要對擬合數值進行分段擬合，程序運行一次即可得到擬合的曲線。

1.3 三次B樣條曲線的數學模型

通過上面分析得知，三次B樣條曲線擬合過程簡單，因此，建立該曲線的數學模型。由建立的數學模型，可以得到曲線擬合范圍內任意Ma數下的空氣阻力系數。

三次B樣條曲線的總體表達式為：

式中：n為擬合數值的個數，i為B樣條的序號，t為節點，Bi，3（t）稱為三次B樣條曲線的基函數［10］，其表達式為：

由表達式可知，B樣條曲線上的任意擬合點都是由相鄰近的4個采樣點（已知點）來決定的。

1.4 三次B樣條曲線擬合計算方法

三次B樣條曲線擬合的計算流程如圖1所示。

圖1 三次B樣條曲線的計算流程圖

①把式（6）中的Q（t）帶入要求的Ma數數值，P0、P1、P2、P3分別帶入與要求數最相鄰的左右各兩個采樣點的Ma數數值，由式（6）計算出此時的ti；

②把步驟①中用到的4個采樣點的Ma數所對應的Cd值及計算出的ti值再對應帶入到式（6）中，此時計算得出的Q（t）值即為要求Ma數下的空氣阻力系數Cd值。

需要說明的是：三次B樣條曲線上任意一個擬合點都是由4個采樣點來控制擬合得到的，如果要擬合的Ma數在擬合區域第一、二采樣點之間，則選取前4個采樣點對該Ma數進行擬合，求出對應的氣阻力系數Cd；如果要擬合的Ma數在擬合區域最后一、二采樣點之間，則選取最后4個采樣點對該Ma數進行擬合，求出對應的空氣阻力系數Cd；除去前面兩種特殊情況外，采用步驟①中Ma數采樣點的選取方式，該計算方式是經過大量計算總結得到的，精確可靠。

1.5 Logistic和三次B樣條曲線分別對43年阻力定律擬合分析

利用MATLAB軟件編程，采用Logistic和三次B樣條曲線分別對43年阻力定律中相同的90組數據進行擬合，其擬合效果示意圖如圖2所示，曲線擬合誤差對比如圖3所示，對應的誤差分析表如表1所示。

圖2 曲線擬合效果示意圖

圖3 Logistic和三次B樣條曲線擬合誤差對比圖

表1 Logistic和三次B樣條擬合曲線誤差對比表

由圖2及表1可知，Logistic和三次B樣條曲線都能較好地擬合出43年阻力定律，但與原數據相比，Logistic擬合曲線在跨音區上出現較大的偏差，而三次B樣條擬合曲線的偏差很小，其擬合的均方差和最大誤差都相應比Logistic擬合的小82.78%和57.9%。由圖3可知，Logistic在擬合區域內誤差的波動范圍比較大，尤其在馬赫數為1.09處達到最大值；而三次B樣條曲線擬合的誤差相對較小，波動幅度較小，基本圍繞著Cd=0這條直線成對稱分布。

通過圖2、圖3及表1分析可得，三次B樣條曲線對43年阻力定律的擬合效果比Logistic曲線更好，由此說明三次B樣條曲線更適合于彈丸外彈道空氣阻力系數的擬合。

2 一維彈道修正彈空氣阻力系數的B樣條曲線擬合

通過以上比較分析可知，B樣條曲線對于彈丸空氣阻力系數的擬合精度高，擬合過程較簡單，現采用三次B樣條曲線數學模型對一維彈道修正彈的空氣阻力系數進行擬合分析。

對于某型號一維彈道修正彈，首先利用Fluent軟件對其修正狀態下的彈丸流場進行數值仿真，根據彈丸的飛行速度范圍，確定來流Ma數的數值范圍為0.6～1.8（計算大氣壓強為101 325 Pa，環境溫度為288.15 K），計算出對應的空氣阻力系數Cd，如表2所示。

表2 修正狀態下彈丸流場仿真所得數據

把上述數據采用三次B樣條曲線進行擬合分析，所得擬合曲線如圖4所示。

圖4 三次B樣條阻力系數擬合曲線

由圖4可以看出，三次B樣條曲線能夠連續可靠地擬合出一維彈道修正彈的空氣阻力系數，在需要擬合的飛行馬赫數范圍內，三次B樣條曲線擬合點與原數據點之間的最大誤差為0.027 7，均方差為0.013 4，擬合效果符合外彈道計算所需的精度要求。

3 結論

（1）43年阻力定律是目前應用最廣的彈丸空氣阻力定律，其計算精度高，誤差最小，因此，采用Logistic和三次B樣條曲線對43年阻力定律中相同的數值分別進行擬合對比，這種比較方法是切實可行的，且擬合結果具有可比性。

（2）采用Logistic曲線需分兩段擬合43年阻力定律，擬合過程中需要多次調節程序才能得到比較滿意的結果，所需時間長，工作效率較低；三次B樣條曲線只需一次即可完成對定律的擬合，無需分段進行，且擬合誤差小，能夠滿足外彈道的解算要求，該方法簡單易行，可以大大提高工作效率。

（3）Logistic擬合的曲線是由公式中的4個參數來控制的，且影響到整條曲線的形狀；而三次B樣條曲線的每個擬合點是由相鄰近的4個采樣點控制的，相當于每4個點擬合出一小段曲線，然后把幾個小段曲線連接在一起，所以B樣條曲線具有局部特性，整體擬合曲線不會受到具體某幾個點的影響，擬合效果更好。

（4）采用三次B樣條曲線來擬合一維彈道修正彈空氣阻力系數的方法通用性強，精確度高，作為一種新的空氣阻力擬合研究方法，更便于外彈道的仿真計算。

綜上所述，本文采用的曲線擬合方法能夠對一彈道修正彈空氣阻力系數進行快速有效的解算，可作為一維彈道修正彈外彈道研究的重要途徑。

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Simulation for Air Resistance Coefficient of One-dimension Trajectory Projectile Based on Cubic B-spline Curve

ZHAO Jing1，DU Zhong-hua1，ZHAO Yong-ping1，LIU Zi-yi2，SONG Cheng-jun3
（1.School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science&Technology，Nanjing，210094，China；
2.Changan Industrial Group Co.，LTD，Chongqing 638500，China；
3.Navy in Shenyang Ammunition Military Professional Agent's Room，Shenyang 110045，China）

To improve shooting accuracy of trajectory correction，this paper has studied fitting method of one-dimension trajectory correction projectile.On the basis of analyzing disadvantages of fitting effect of the 43 Resistance Law，which is simulated by Logistic curve，this paper has proposed a new method for simulation by using Cubic B-spline curve.And this method has been verified with many features，such as good feasibility，high fitting accuracy，simple computing operation and reliable result by using a certain one-dimension trajectory projectile.The proposed fitting method of this paper has provided a new research method for air resistance coefficient of one-dimension trajectory projectile，and it’s more convenient for simulation of extrerior ballistic.

one-dimension trajectory projectile，Cubic B-spline curve，air resistance coefficient，fitting method

TJ410.5+3

A

1002-0640（2015）04-0123-04

2013-11-05

2013-12-07

趙 靜（1988- ）,女，山東煙臺人，碩士研究生。研究方向：彈藥工程的研究。