吳躍生
(華東交通大學 理學院,南昌 330013)
非連通圖2C4m∪G是優美圖的5個充分條件
吳躍生
(華東交通大學 理學院,南昌 330013)
討論了非連通圖2C4m∪G的優美性,給出了非連通圖2C4m∪G是優美圖的5個充分條件。
優美圖;交錯圖;非連通圖;優美標號
圖的優美標號問題是組合數學中的一個熱門課題。
定義1[1]對于一個圖G=(V,E),如果存在一個單射θ:V(G)→[0,|E(G)|]使得對所有邊e=(u,v)∈E(G),由θ′(e)=|θ(u)-θ(v)|導出的映射θ′:E(G)→[1,|E(G)|]是一一對應的,則稱G是優美圖,θ是G的一組優美標號。
本文所討論的圖均為無向簡單圖,V(G)和E(G)分別表示圖G的頂點集和邊集。記號Gk+m表示圖G是特征為k且缺k+m標號值的交錯圖。記號[m,n]表示整數集合{m,m+1,…,n},其中m和n均為非負整數,且滿足0≤m 文獻[1]已經證明了非連通圖2C4m是優美圖。文獻[2]研究了非連通圖2C4m∪Cn的優美性,證明了非連通圖2C4m∪C8m-1,2C4(3m-1)∪C8m-1和2C4(3m+1)∪C4(2m+1)是優美圖。文獻[3]討論了非連通圖2C4m∪G的優美性,給出了非連通圖2C4m∪G是優美圖的一個充分條件:對任意正整數m,設G是特征為k,且缺k+2m+1標號值的交錯圖,則非連通圖2C4m∪G存在特征為4m+k+1,且缺k+1標號值的交錯標號(2m+1≤k+2m+1≤|E(G)|)。 本文繼續討論非連通圖2C4m∪G的優美性,給出非連通圖2C4m∪G的是優美圖的五個充分條件。 定理1 對任意正整數m,如果2m≤k+2m≤|E(G)|,則非連通圖2C4m∪Gk+2m存在特征為4m+k,且缺k+8m標號值的交錯標號。 把非連通圖2C4m∪Gk+2m的頂點標號θ定義為: θ(x2i)=2m+i+k+1,i=1,2,…,m-1; θ(x2m)=m+k+1,θ(x2i)=2m+i+k,i=m+1,m+2,…,2m; θ(x2i-1)=6m-i+k+1,i=1,2,…,2m; θ(y2i-1)=8m-i+k,i=1,2,…,2m-1; θ(y4m-1)=k+10m。 θ:X→[0,k]是單射(或雙射);θ:Y→[k+8m+1,q+8m]-{k+10m}是單射; 因而,映射θ:V(2C4m∪Gk+2m)→[0,q+8m]-{k+8m}是單射。 θ′(x2m-1x2m)=4m, θ′(x2mx2m+1)=4m-1,θ′(x4mx1)=2m, θ′(y4m-1y4m)=8m-1, θ′(y4m-2y4m-1)=8m,θ′(y4my1)=6m-2, θ′:E(Gk+2m)→[8m+1,q+8m]是雙射。 因而,映射θ′:E(2C4m∪Gk+2m)→[1,q+8m]一一對應,所以θ就是非連通圖2C4m∪Gk+2m的缺k+8m標號值的優美標號。 所以,θ就是非連通圖2C4m∪Gk+2m的特征為4m+k,且缺k+8m標號值的交錯標號。證畢。 定理2 對任意正整數m,如果6m-1≤k+6m-1≤|E(G)|,則非連通圖2C4m∪Gk+6m-1存在缺k+8m標號值的優美標號。 定義非連通圖2C4m∪Gk+6m-1的頂點標號θ為: θ(x2i)=6m-i+k-1,i=1,2,…,m-1; θ(x2m)=7m+k-1, θ(x2i)=6m-i+k,i=m+1,m+2,…,2m; θ(x2i-1)=2m+i+k-1,i=1,2,…,2m; θ(y2i-1)=i+k,i=1,2,…,2m-1; θ(y4m-1)=k+14m-1。 順應論視角下的美劇字幕翻 譯 ………………………………………………………………………… 安 紅(62) θ:X→[0,k]是單射(或雙射);θ:Y→[k+8m+1,q+8m]-{k+14m-1}是單射; 因而,映射θ:V(2C4m∪Gk+6m-1)→[0,q+8m]-{k+8m}是單射。 θ′:E(Gk+6m-1)→[8m+1,q+8m]是雙射。 因而,映射θ′:E(2C4m∪Gk+6m-1)→[1,q+8m]一一對應,θ就是非連通圖2C4m∪Gk+6m-1的缺k+8m標號值的優美標號。 定理3 對任意正整數m,如果6m≤k+6m≤|E(G)|,則非連通圖2C4m∪Gk+6m存在缺k+1標號值的優美標號。 定義非連通圖2C4m∪Gk+6m的頂點標號θ為: θ(x2i)=6m-i+k,i=1,2,…,m-1; θ(x2m)=7m+k, θ(x2i)=6m-i+k+1,i=m+1,m+2,…,2m; θ(x2i-1)=2m+i+k,i=1,2,…,2m; θ(y2i-1)=i+k+1,i=1,2,…,2m-1; θ(y4m-1)=k+14m。 θ:X→[0,k]是單射(或雙射);θ:Y→[k+8m+1,q+8m]-{k+14m}是單射; 因而,映射θ:V(2C4m∪Gk+6m)→[0,q+8m]-{k+1}是單射。 θ′:E(Gk+6m)→[8m+1,q+8m]是雙射。 因而,映射θ′:E(2C4m∪Gk+6m)→[1,q+8m]一一對應,θ就是非連通圖2C4m∪Gk+6m的缺k+1標號值的優美標號。 定理4 對任意正整數m,如果6m≤k+6m≤|E(G)|,則非連通圖2C4m∪Gk+6m存在缺k+2m標號值的優美標號。 定義非連通圖2C4m∪Gk+6m的頂點標號θ為: θ:X→[0,k]是單射(或雙射);θ:Y→[k+8m+1,q+8m]-{k+14m}是單射。 因而,映射θ:V(2C4m∪Gk+6m)→[0,q+8m]-{k+2m}是單射。 θ′:E(Gk+6m)→[8m+1,q+8m]是雙射。 因而,映射θ′:E(2C4m∪Gk+6m)→[1,q+8m]一一對應,θ就是非連通圖2C4m∪Gk+6m的缺k+2m標號值的優美標號。 定理5 對任意正整數m,如果6m+1≤k+6m+1≤|E(G)|,則非連通圖2C4m∪Gk+6m+1存在缺k+6m標號值的優美標號。 定義非連通圖2C4m∪Gk+6m+1的頂點標號θ為: θ:X→[0,k]是單射(或雙射);θ:Y→[k+8m+1,q+8m]-{k+14m+1}是單射; 因而,映射θ:V(2C4m∪Gk+6m+1)→[0,q+8m]-{k+6m}是單射。 θ′:E(Gk+6m+1)→[8m+1,q+8m]是雙射。 因而,映射θ′:E(2C4m∪Gk+6m+1)→[1,q+8m]一一對應,θ就是非連通圖2C4m∪Gk+6m+1的缺k+6m標號值的優美標號。 引理1[3]圈c4n存在特征為2n-1,且缺3n的交錯標號。 注意到:3n=(2n-1)+n+1,由定理1和引理1有以下推論。 推論1 對任意正整數m,非連通圖2C4m∪C8m-4存在特征為8m-3且缺12m-3標號值的交錯標號。 例1 當m=2時,非連通圖2C8∪C12的特征為13且缺21標號值的交錯標號為: 20,6,19,7,18,9,25,10; 17,11,16,8,15,12,14,13; 0,28,1,27,2,26,3,24,4,23,5,22。 注意到:12m-3=(8m-3)+4m,由定理和推論1有如下推論。 推論2 對任意正整數m,非連通圖2C8m∪(2C4m∪C8m-4)存在特征為16m-3且缺24m-3標號值的交錯標號。 例2 當m=4時,非連通圖2C16∪(2C8∪C12)的特征為29且缺45標號值的交錯標號為: 37,23,36,24,35,25,34,18,33,26,32,27,31,28,30,29; 44,14,43,15,42,16,41,17,40,19,39,20,38,21,53,22; 52,6,51,7,50,9,57,10; 49,11,48,8,47,12,46,13; 0,60,1,59,2,58,3,56,4,55,5,54。 注意到:24m-3=(16m-3)+8m,由定理1和推論2有如下推論。 推論3 對任意正整數m,非連通圖2C16m∪(2C8m∪(2C4m∪C8m-4))存在特征為32m-3且缺48m-3標號值的交錯標號。 注意到:48m-3=(32m-3)+16m,由定理1和推論3有如下推論。 推論4 對任意正整數m,非連通圖2C32m∪(2C16m∪(2C8m∪(2C4m∪C8m-4)))存在特征為64m-3且缺96m-3標號值的交錯標號。 重復上述過程,可以構造出許多交錯圖。 注意到:3n=(2n-1)+n+1,由定理2和引理1有如下推論。 推論5 對任意正整數m,非連通圖2C4m∪C24m-8存在缺20m-5標號值的優美標號。 例3 當m=2時,非連通圖2C8∪C40缺35標號值的優美標號為: 23,29,24,32,25,28,26,27; 20,34,21,33,22,31,46,30 0,56,1,55,2,54,3,53,4,52,5,51,6,50,7,49,8,48,9,47,10,45,11,44,12,43,13,42,14,41,15,40,16,39,17,38,18,37,19,36。 注意到:3n=(2n-1)+n+1,由定理3和引理1有如下推論。 推論6 對任意正整數m,非連通圖2C4m∪C24m-4存在缺12m-2標號值的優美標號。 例4 當m=2時,非連通圖2C8∪C44缺22標號值的優美標號為: 26,32,27,35,28,31,29,30; 23,37,24,36,25,34,49,33 0,60,1,59,2,58,3,57,4,56,5,55,6,54,7,53,8,52,9,51,10,50,11,48,12,47,13,46,14,45,15,44,16,43,17,42,18,41,19,40,20,39,21,38。 注意到:3n=(2n-1)+n+1,由定理4和引理1有如下推論。 推論7 對任意正整數m,非連通圖2C4m∪C24m-4存在缺14m-3標號值的優美標號。 例5 當m=2時,非連通圖2C8∪C44缺25標號值的優美標號為: 37,22,36,23,34,24,33,49; 26,32,27,35,28,31,29,30; 0,60,1,59,2,58,3,57,4,56,5,55,6,54,7,53,8,52,9,51,10,50,11,48,12,47,13,46,14,45,15,44,16,43,17,42,18,41,19,40,20,39,21,38。 注意到:3n=(2n-1)+n+1,由定理5和引理1有如下推論。 推論8 對任意正整數m,非連通圖2C4m∪C24m存在缺18m-1標號值的優美標號。 例6 當m=2時,非連通圖2C8∪C48缺35標號值的優美標號為: 39,24,38,26,37,27,36,52; 34,28,33,25,32,29,31,30; 0,64,1,63,2,62,3,61,4,60,5,59,6,58,7,57,8,56,9,55,10,54,11,53,12,51,13,50,14,49,15,48,16,47,17,46,18,45,19,44,20,43,21,42,22,41,23,40。 [1] 馬克杰.優美圖[M].北京:北京大學出版社,1991. [2] 董俊超.C4k∪C4k∪Cm的優美性[J].煙臺大學學報:自然科學與工程版,1999,12(4):238-241. [3] 吳躍生,王廣富,徐保根.非連通圖2C4m∪G的優美標號[J].煙臺大學學報:自然科學與工程版,2014,27(4):240-243. (責任編校:夏玉玲) On Five Sufficient Conditions for the Gracefulness of Unconnected Graph 2C4m∪G WU Yue-sheng (School of Science, East China Jiaotong University, Nanchang 330013,China ) The author of this paper discusses the gracefulness of the unconnected graph 2C4m∪Gand puts forward five sufficient conditions for the gracefulness of the unconnected graph. graceful graph;alternative graph; unconnected graph; graceful labeling O157.5 A 1672-349X(2015)03-0004-04 10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.03.0022 主要結論及其證明