戴維寧—諾頓定理的推廣應用

梁永清，韋東梅，韋忠海

(廣西大學電氣工程學院，廣西南寧530004)

等效電源定理(包括戴維寧和諾頓定理)是線性網絡分析中的一個重要定理，也是“電路理論”課程教學的重點。任何一個線性含源二端網絡，均可表示為電壓源或電流源模型。傳統的戴維寧和諾頓定理只限于單端口，而應用于多端口網絡則較少。

本文主要討論等效電源定理在多端口網絡中的推廣應用，又稱之為廣義戴維寧—諾頓定理?？勺鳛椤半娐防碚摗闭n程教學的補充，目的是擴大學生知識面、提高其電路綜合分析能力。

1 廣義等效電源定理三種形式[1]

廣義等效電源定理:任何線性有源多端口網絡可等效為一個所有電源置零的無源網絡與多個等效獨立電源組合的線性模型。該模型與原網絡對接入端口的任意負載貢獻相同的電壓和電流。

以兩個端口的線性有源網絡為例說明。如圖1所示，Z1與Z2為端口負載。這里負載可以是短路或開路、有源或無源的。

圖1 線性有源雙口網絡

1)廣義戴維寧-諾頓定理

2)廣義戴維寧定理

設待求量為端口電流(i1、i2)，原網絡可等效為圖2(b)所示的廣義戴維寧電路模型。E1和E2為端口開路電壓。比較圖1與圖2(b)，對端口貢獻相同的電流i1和i2。

3)廣義諾頓定理

設待求量為端口電壓(u1、u2)，原網絡可等效為圖2(c)所示為廣義諾頓電路模型。J1和J2為端口短路電流。比較圖1與圖2(c)，對端口貢獻相同的電壓u1和 u2。

圖2 廣義等效電源定理求解模型

2 算例分析

[例1]電路如圖3所示。設R1、R2為端口負載，i1、u1、i2、u2分別為待求量。試運用廣義等效電源定理三種形式進行求解。

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圖3 例1含獨立電源電路

1)計算u1和i2

u1和i2為端口電壓和電流，運用廣義戴維寧—諾頓定理求解。

圖4 廣義戴維寧-諾頓電路求解模型

(1)選擇端口:圖3中R1為電壓端口，將其短接;R2為電流端口，將其斷開，如圖4(a)所示。

(2)求開路電壓E2和短路電流J1:由圖4(a)，列KCL和KVL方程:ix+3=iy，1×ix+2iy=4A得ix=-(2/3)A，iy=(7/3)A，E2=2iy－2 ×1=(8/3)V，J1=2/2+ix=(1/3)A。

(3)構造廣義戴維寧—諾頓電路:將原電路(圖3)中有源網絡電源置零(電壓源短路、電流源開路)。端口反向接入J1和E2，得到圖4(b)所示的廣義戴維寧—諾頓定理等效電路，簡化后得圖4(c)。等效后對端口貢獻相同的電流和電壓，比較圖3和圖4(c)中u1和i2是相等的。

(4)根據簡化電路計算u1和i2:由圖4(c)解得u1=0.049 V，i2=0.73 A。

2)計算i1和i2

i1和i2均為端口電流，現運用廣義戴維寧定理求解。

(1)選擇端口:原電路圖3中R1和R2為電流端口，將其斷開，如圖5(a)所示。

(2)求開路電壓 E1和 E2:由圖 5(a)，ix=

(3)構造廣義戴維寧等效電路:將原電路(圖3)中有源網絡電源置零，端口反向接入E1和E2，如圖5(b)所示。

(4)簡化電路并計算i1和i2:圖5(c)為廣義戴維寧簡化電路。由圖解出結點電壓un=0.3 V，i1=0.049 A，i2=0.73 A。

圖5 廣義戴維寧電路求解模型

3)計算u1和u2

u1和u2均為端口電壓，現運用廣義諾頓定理求解。

(1)選擇端口:原電路圖(3)中R1和R2為電壓端口，將其短接得圖6(a)。

(2)求短路電流J1和J2:由圖6(a)，結點電壓解出A。

(3)構造廣義諾頓等效電路:將原圖3中有源網絡電源置零，端口反向接入J1和J2，如圖6(b)所示。

(4)簡化電路并計算u1和u2:圖6(c)為廣義諾頓簡化電路。結點電壓 uAO=1.46V，uBO=0.595V，uCO=0.546V;則 u1=uBO－ uCO=0.049V，u2=uAO=1.46V。

圖6 廣義諾頓電路求解模型

3 在含受控源電路中應用舉例

對于含受控源電路，通常將受控源的控制量所在支路作為端口，將控制量作為待求量。構造廣義等效電源電路。這樣求開路電壓和短路電流時就可將受控源消去，從而簡化求解過程。

[例2]求解圖7所示電路IA和UB

1)用廣義戴維寧-諾頓定理求解

圖7 例2含受控源電路

(1)選擇端口:圖7中R1與R2為端口負載，將R1斷開，將R2短接。IA=0，UB=0兩個受控源均為0，可將受控源消去，如圖8(a)所示。

(2)求開路電壓E1和短路電流J1:由圖8(a)，E1+15+15=0得 E1=-30V，J2=15/2－3=(9/2)A。

(3)構造廣義戴維寧—諾頓電路:將原電路(圖7)中獨立電源置零(受控源保留)。R1端口用反向E1替代，端口用反向J1替代，得到圖8(b)等效電路。圖中IA和UB即為所求。

(4)簡化電路并計算IA和UB:由圖8(b)列寫+2(IA－6)=18IA，可解得 IA=2A。

圖8 廣義戴維寧-諾頓電路求解模型

2)用結點電壓法驗證

如圖7，以5為參考點，列結點電壓方程為

式中，控制量用結點電壓表示:

IA=(u1－15/4);UB=15－u3

解方程得UB=3 V;IA=2A，結果與前一致。

4 結語

運用廣義等效電源定理時，合理選擇端口同時使方程有解是求解的關鍵。選擇端口使有源網絡唯一可解的充要條件是存在一個樹，使得所有電壓源(包括受控的)為樹支，使得所有電流源(包括受控的)為連支。戴維寧端口的斷裂形成應在獨立連支處，而諾頓端口的并接形成應跨接獨立樹支[2]。本文將廣義戴維寧-諾頓定理應用于多端口復雜電路的求解，通過算例分析，驗證了該算法的正確性。實際運用時，廣義等效電路應比原電路簡單，通常不需列方程求解，只用KCL或KVL即可求解。

[1]梁永清，韋東梅，黃志強.應用廣義等效電源定理求解含受控源電路[J]北京:大學物理，2014，7:30-34

[2]黃炳華.廣義諾爾頓和戴維南定理的混合形式[J]北京:系統工程與電子技術1997，4:32-37

[3]胡釙.電路原理[M]北京:高等教育出版社，2011

[4]邱關源，電路[M]北京:高等教育出版社，2006

[5]邢麗冬.電路學習指導與習題精解(第二版)[M]北京:清華大學出版社，2008