構造函數解不等式的課堂分析

李凱

【摘 要】在不等式的證明與計算中，構造函數是一種極為重要的解題方法，與比較法、反證法與分析法等證明方法相比，構造函數能夠簡化證明與計算的過程，提高證明的效率。文中將根據例題對換元法、作差法、縮放法以及條件法等構造函數的方法予以分析，探究針對不同的題目如何快速有效的解題。

【關鍵詞】構造函數；解不等式；方法

證明與計算不等式是高中教學中的重點與難點，解題時涉及到很多技巧性的問題與內容，且不同類型的不等式需采用不同的方法進行解答，并沒有刻意需要遵循的通性通法，因此學生在解題的過程中很可能陷入困境。而導數在高中教學中的引入為不等式的解題提供了新的思路與途徑，構造函數成為解答不等式的主要方法之一，其優勢在于解題簡便，容易理解等，對這一題型的總結具有重要的意義。

一、換元法

換元法即設置某一新的變量代替原式中的一個較為復雜的式子，例如在f（x）=α（ax+b）-β（ax+b）中令ax+b=Z，則可得f（x）=αZ-βZ。換元法能夠將原有式子簡化，從而降低解題的難度，這是數學解題中常用到的一種基本解題方法，將研究對象予以替換后，可以將題目中所需解答的內容轉移到新的知識系統中予以解答，即實現了特殊問題標準化處理。在利用換元法前，應當對題目予以全面的分析，保證不等式中有式子可以被替換，替換后的式子較為簡單，從而簡化解題過程。

例題：證明當a為任意正整數時，不等式ln（+1）>-恒成立。

分析：從題目中的不等式進行分析，不等式兩端都存在著同一個式子，即，因此為了簡化解題過程成，可以設置新的變量來代替，同時要保證其前提條件——a為任意正整數，換元法構造函數后再通過求導，對函數的在區間上的單調性進行分析即可證明題目中的不等式。

五、主元法

主元法一般用于變量較多的不等式中，可將一個變量看做是另一個變量的函數，從而解答題目。

例題：若實數滿足則的最小值為___________________

解析：把b看成關于主元a的函數，把c看成關于主元d的函數，則，

而可以看成曲線上的點和直線上的點的距離的平方，設與直線平行的直線與曲線 相切于點

對求導得

所以到直線的距離最小為

六、取對數法

取對數法即利用指數與對數關系將不等式兩邊進行轉化，利用對數函數分析不等式兩邊的大小關系，主要用于不等式的證明。

例題：已知是正整數且，求證：

七、條件法

條件法即根據題目中給出的條件特征選擇合適解題方法。有些不等式證明中會給出較多的前提條件，如果能夠對這些條件予以有效的分析，那么就能夠以此為依據構建函數模型，然后利用模型對不等式進行分析。這種方法也較為常見，能夠將原式予以簡化，將抽象的問題做具象化處理，便于理解。

例題：函數y=f（a）滿足在R上可導，且不等式-f（a）c，試證明bf（b）>cf（c）。

分析：題目中給出了三個條件：①y=f（a）滿足在R上可導；②不等式-f（a）c。從這三個條件進行分析，其中對解題最為關鍵的條件是第二個，必須從已知的這個不等式出發，求證bf（b）>cf（c）。

八、結語

數學課程與其它學科不同，其內容具有較強的邏輯性，尤其是在不等式的證明上，學生的思維邏輯一定要極其嚴謹，在教學中學生不僅應當能夠將不等式證明出來，還應當以最簡潔的方式進行證明，真正掌握科學的規律與科學的方法。作差法、縮放法、換元法、條件法等都是常用的證明方法，學生只有多加總結與練習，才能真正提高數學素養與能力。

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