初三學生函數概念的表征對函數題解的影響分析

馬騫

【摘 要】主要研究函數概念表征對初三學生函數題解的影響，分析了數學表征和數學學習、函數題解之間的關系，并對基于雙重編碼的函數表征方法和基于雙重編碼理論的學生函數概念表征進行了討論，最后著重分析了函數概念表征對函數題解的影響。

【關鍵字】初三；函數概念；表征

表征是從認知心理學發展到數學學習的過程中對數學對象的替代，通過表征能夠幫助學生建立對數學知識點的編碼。在大量的教學實踐中發現，想要幫助學生對數學題建立編碼，需要學生具有相當的知識儲備。函數概念表征的形成同樣是學生在函數知識學習過程中形成的編碼心理，函數概念表征能夠提高學生的函數題解能力，在初三數學函數教學中的應該能夠加深學生對函數知識的理解。

一、數學表征

主要討論了數學表征和數學學習之間的關系，并介紹了一種基于雙重編碼的函數表征方式，對指導初三函數教學有著一定的意義。

（一）數學表征與數學學習能力

學術界對于數學表征概念并沒有達成共識，但是基于認知心理學、教育心理學的表征概念理解比較貼合數學教學實際。一般認為，表征就是學生在數學學習過程中將知識點、定義、概念編碼化的過程，對知識點的編碼有助于學生加快對數學題目的理解，大多數學者都認為，數學表征是學生在理解學習數學知識點時的一個參照物。數學表征有內在表征和外在表征之分，外在表征主要是學生解題過程中，通過觀察直接形成的表征，是對題目中的文字、圖像以及數字元號的編碼化，內在表征則是學生在解題時直接觀察頭腦中已經形成的抽象編碼。由此可以看出，不同數學學習能力的人內在表征能力是存在差異的，一些對數學符號不夠敏感的學生將難以形成固化的內在表征，文字、圖案編碼化程度低，速度慢。

（二）基于雙重編碼的函數表征

雙重編碼函數表征理論基于人類的信息編碼組織系統理論，佩維奧的研究結果表明，人類有語言系統和心象系統兩個信息編碼處理系統，其中語言系統專門處理語言相關符號信息，而心象碼處理非語言系統的信號表征。無論是心象系統還是語言系統，都能夠為內部或外語符號所啟動。人的表征系統是多元的，有著多種感受通道，視覺、聽覺、觸覺，其內部又表現為層級性，言語碼一般表現為序列的，心象碼則以共時性為主要特征，有整體性、嵌套以及動態共時的特點，在信息加工中，語言系統和心象系統相互獨立又密切相關，雙重編碼理論就是利用了兩個系統之間的相互關系，同時從語言和心象兩個方面幫助學生形成編碼。

根據雙重編碼理論，學生對某個數學學習對象的深入學習理解必將內化為心象表征和言語表征，且兩種編碼之間可以相互轉換，而在數學教學中，轉換是一種非常重要的數學思想，解方程的同解變換就屬于言語表征轉換，數學模式、幾何形體等體積轉換就屬于心象表征轉換。

二、應用函數概念的表征對函數題解的影響

函數表征會直接影響函數題解的能力，在一定程度上，函數表征直接影響學生編碼與解題速度，所以學生能否在數學學習中形成系統全面的函數概念表征，對學生函數題解能力有著直接影響，而解題質量和速度和解題數量之間的關系并不強，因此對于初三學生來說，單純依賴增加計算量對提高學生函數題解的能力貢獻不大。

（一）函數概念多元化外在表征呈現

多元外在表征優化的目的是促進學生盡快形成內在表征，方便學生盡快整合知識形成多元碼。多元表征能夠實現角色互補，實現限制解釋以及建構等高級認知功能。在數量上，優化后的多元表征具有對某數學對象完整、互補的全息信息，這一類信息能夠促成學生在學習過程中對深層次語言碼和心象碼形成持續的強化記憶，爭取最終形成整合碼。

（二）提高學生符號化水平

函數概念表征能夠幫助學生提高文字符號化的程度，減少學生將文字、圖像、數字轉變為符號的時間，這樣學生在解函數題時就能夠更快的形成函數的概念圖，解題方式更加靈活直觀，函數概念表征還能夠方便進行學生數學認知的調節，學生能夠更快從整體上掌握題目要表達的意圖，通過大腦內的編碼迅速的完成題目理解，加快解題速度。函數概念表征同樣還能夠培養學生的多向思維，幫助學生盡快形成全面立體的概念認知。然而教師應該注意，概念認知形成的過程本身比較復雜而難于控制，而快速的轉換難度很大，學生要具有扎實的基礎知識，所以這種教學方式的門檻較高，一些學習能力較差的學生難于掌握。為了避免這種情況，教師在課堂上要有意識的幫助學生完成文字的翻譯工作，刺激學生形成對函數題目的直覺，引導學生積極應用符號化概念圖解決函數問題。

（三）提高學生解題準確率

幫助學生形成完善系統的函數概念表征，對學生掌握靈活巧妙的函數解題思路有著重要意義，函數概念表征能夠在解函數題時自然的形成概念圖，而函數的內在表征并不僅僅局限于簡單的知識編碼，而是形成了全面系統的知識結構，對函數習題解碼過程中出現的錯漏能夠有效規避，最終得出正確的解法。

函數表征在激活知識編碼的同時，對學生發展函數概念內在表征也有著一定的幫助，使得學生在解函數題時可以自己察覺更多的解題方法，產生多元化的編碼方法，對所掌握的函數概念快速整合和符號化，學生解題能夠更有邏輯性，真正實現函數概念的系統化學習。

（四）幫助學生形成優化函數認知結構

傳統的函數課堂教學中教師大量應用語言化表征，導致學生形成的認知結構存在著語言表征的顯著特點，表現為孤立、破碎、缺乏生長點，函數概念圖的應用則能夠彌補語言表征的這些缺陷，平衡學生左右腦之間的負擔，同時建立函數概念的語言表征和心象表征。

在大量的教研工作中，都發現應用概念圖進行函數教學能夠十分清晰的為學生展示各種復雜函數關系，對幫助學生形成自己的想法和解題步驟有著一定的幫助，能夠帶動學生主動應用排序、比較、分類等解題策略靈活的完成函數計算。采用概念圖的形式建立的數學知識信息結構方便學生接收新的知識，便于對錯誤進行修改，彌補知識結構中的空缺。

三、結語

建立對函數概念的正確認知是初中數學函數學習中非常關鍵的一步，建立對函數概念的雙重表征，無論對學生函數題解能力的提高還是之后的數學學習都有很大幫助，對于初三學生來說，函數概念表征對培養學生的數學和函數思維有著一定幫助，促進學生完成從概念理解到具體解題方法的轉變，因此，教師在初三函數教學中應該將函數概念表征作為非常關鍵的一個授課內容，讓學生盡快將抽象文字表征轉變為概念圖等形式的心象表征，培養學生函數表征思維能力。

參考文獻：

[1]朱新明，李亦菲著.架設人與計算機的橋梁西蒙的認知與管理心理學[M].武漢：湖北教育出版社，2011（03）.

[2]王兄，湯服成.概念圖及其在數學學習中的現實意義[J].數學教育學報，2014（03）.

[3]李善良.現代認知觀下的數學概念學習與教學[M].南京：江蘇教育出版社，2012（15）.

[4]喻平.數學學習心理的CPFS結構理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2012（03）.

[5]向日光.數學概念的心理表征活動與恰當心理表征的建立[J].理工高教研究.2011（02）.