田紅亮 鄭金華 方子帆 朱大林
(三峽大學 機械與動力學院,湖北 宜昌 443002)
將式(4)代入式(7)得
沖量為U(量綱是N·s)的脈沖力[1]為
物體動量的增量等于它所受合外力的沖量
將式(4)代入式(7)得
當t>0+時,脈沖力作用已結束,故t>0+時得
將式(11)和式(12)代入式(9)得
將式(15)代入式(13)得
二階常系數齊次微分方程(16)的特征方程[2]為
特征方程(17)的兩個根為
方程(16)的通解[2]為
P(t)在t=τ的沖量為U=P(τ)dτ,脈沖響應為
++kx=P(t)在x0及下的響應為
若y=y1(x)+iy2(x)是微分方程y″+py′+qy=f1(x)+if2(x)的解,則y1(x)與y2(x)分別是微分方程y″+py′+qy=f1(x)與y″+py′+qy=f2(x)的解,其中y1(x)、y2(x)、f1(x)、f2(x)都是x的實函數.
由式(18)可得方程(41)特征方程的根r1,2=-ζωn±iωd,故iω不是根.方程(41)具有形如以下特解[2]
則方程(40)的特解為
根據式(20)和式(53)可得方程(40)的通解為
將式(60)代入式(57)可得方程(40)的通解為
將式(51)代入式(50)可得方程(40)的穩態響應
式中,φ=[φe1φe2…φen]T為特征向量.
只有當系統中存在無慣性自由度時,才會出現半正定的情況[3].假設K為半正定實對稱矩陣,φTKφ≥0,M為正定實對稱矩陣[4],φTMφ>0.λ是非負數.
將式(75)和式(73)代入式(63)得
方程(76)存在非零解(至少2組解)φ的條件是[5]
根據式(76)可得第i個特征向量φi滿足
當是特征多項式的單根時,式(80)的n個方程中有一個且只有一個是不獨立的,不妨設最后一個方程不獨立,將它劃去,且將含有φi的某個元素(例如φen)的項全部移到等號右端,得
式(81)不同于文獻[1].若方程組(81)左端的系數行列式不是零,則此方程組有且僅有唯一組解[5],可以解出用φen表示的φe1,φe2,…,φe,n-1;否則應將含φi的另一個元素(如φe,n-1)的項移到等號右端再解方程組.使計算簡單,讓φen=1,第i階主振型為
根據式(73)可得第i階主振動為
故方程(63)的通解[2]為
由式(76)得
若i≠j時,ωni≠ωnj,由式(94)得
當j=i,式(95)和式(96)分別為2個實二次型
將式(95)和式(97)代入式(102)得
將式(96)和式(98)代入式(104)得
由式(86)得
將式(101)代入式(106)得
將式(100)代入式(119)得
根據式(103)和式(113)得
根據式(105)、(120)和式(108)得
式(84)可改寫為
將式(95)和式(97)代入式(125)得
將式(101)代入式(124)得
將式(128)代入式(63)得
用正則振型矩陣作坐標變換矩陣,式(128)成為
將式(133)代入式(63)得
將式(122)和式(123)代入式(135)得
將式(15)代入式(11)得
由式(62)可得方程(151)的穩態響應為
將式(152)代入式(124)得
將式(101)代入式(144)并考慮簡諧激振力得
初始條件為零[6],對式(139)作Laplace變換
根據式(157)得
式(162)不同于文獻[1]中的式(4.227)G(s)=
將式(101)、(103)、(145)和式(105)代入式(164)得
將式(161)中的s用iω取代后,可得頻率特性[7]
對式(139)兩邊作Fourier變換[6]得
式(148)除以式(100)得
將φi=[φ1iφ2i…φri…φni]T和=[φ1iφ2i…φsi…φni]代入式(177)可得H(ω)的第r行第s列元素[5]
由式(42)與式(47)可得單自由度的復頻響應函數
當k=1N/m,圖1示出單自由度復頻響應函數.
圖1 單自由度系統的復頻響應函數
圖2中m=1kg,其單位符號kg不同于文獻[8]中的 Kg,k=987N/m,k′=217N/m,c=0.628 4N·s/m,c′=0.062 8N·s/m,P1(t)=P01sinωt.
圖2 有阻尼兩自由度系統
代入式(76)得
=987(rad/s)2,ωn1=31.42rad/s,fn1==6Hz.fn2比fn1大20%.由式(108)和式(101)得
由式(103)和式(143)得
由式(110)和式(148)得
設方程(185)具有形如以下特解
將式(179)代入式(187)得
將式(188)代入式(186)得
故方程(184)的特解為
式(190)與式(156)相同.將式(187)展開得
由式(178)得
圖3示出有阻尼二自由度系統復頻響應函數.
圖3 固有頻率相差大時二自由度系統的復頻響應函數
將第3.1節中的兩個參數改變為:k′=10N/m,c′=0.003 1N·s/m,其它參數不變.
ω2n1=987(rad/s)2,ωn1=31.42rad/s,fn1=5Hz,ω2n2=100 7(rad/s)2,ωn2=31.73rad/s,fn2=5.05Hz.fn2比fn1僅大1%,相當接近.由式(108)和式(101)得
由式(103)和式(143)得
由式(110)和式(148)得
由式(178)得
式(192)不同于文獻[1]的下面具體數據
圖4示出有阻尼二自由度系統復頻響應函數.
圖4 固有頻率偏差小時二自由度系統的復頻響應函數
[1] 倪振華.振動力學[M].西安:西安交通大學出版社,1988:61,82,185,203,243-253.
[2] 同濟大學數學系.高等數學(上冊)[M].6版.北京:高等教育出版社,2011:325-326,332-335,341-342.
[3] 程耀東,李培玉.機械振動學(線性系統)[M].修訂版.杭州:浙江大學出版社,2006:99-107,159.
[4] 諸德超,邢譽峰.工程振動基礎[M].北京:北京航空航天大學出版社,2005:67.
[5] 姚慕生,高汝熹.高等數學(二)第一分冊線性代數[M].2版.武漢:武漢大學出版社,2000:46,53,59-60.
[6] 張元林.工程數學積分變換[M].4版.北京:高等教育出版社,2004:34,81-82.
[7] 楊叔子,楊克沖,吳 波,等.機械工程控制基礎[M].5版.武漢:華中科技大學出版社,2006:120.
[8] 毛寬民,陳天寧,黃協清.外力沖擊二級隔離系統參數設計 DEM 研究[J].應用力學學報,2000,17(2):100-104.