具有自旋軌道耦合的冷原子費米氣中的拓撲超流和FFLO超流*1

王 俊， 高先龍

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

具有自旋軌道耦合的冷原子費米氣中的拓撲超流和FFLO超流*1

王 俊， 高先龍

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

研究了具有自旋軌道耦合的冷原子費米氣在外磁場作用下的物理性質.通過自洽求解Bogoliubove-de Gennes方程，發現了在不同磁場強度和粒子填充數下，體系分別存在拓撲超流態和Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov超流態.當體系處于拓撲超流態時，存在零能Majorana費米子.

自旋軌道耦合；拓撲超流；Majorana費米子；FFLO超流

0 引 言

最近幾年，冷原子物理實驗取得了突破性的進展，實驗人員先后實現了多種凝聚態強關聯體系的模擬，如費米超流、Hubbard模型[1]等.但是由于原子是中性粒子，所以利用冷原子模擬帶電粒子在電磁場中的運動一直是件困難的事.不過自2009年以來，美國國家標準局的Spielman小組根據雙光子拉曼耦合方案，先后實現了人造規范場、自旋軌道耦合的玻色-愛因斯坦凝聚體[2].隨后,山西大學王鵬軍等[3]實現了費米子的自旋軌道耦合.這些技術的突破不僅為模擬研究許多量子現象提供新的實驗平臺，也為理論研究帶來了更大的機遇與挑戰.

研究發現，當s波配對的簡并費米氣加上自旋軌道耦合和外磁場后，可以形成一種新的量子態：拓撲超流態[4-5]，它具有零能的準粒子激發態，正是所謂的Majorana費米子[6].Majorana 費米子遵循非阿貝爾[7]交換統計，并且不受局域微擾影響而導致退相干，可以用來進行拓撲量子計算[8]，因此，在更多的材料中找到Majorana費米子已成為最近研究的熱點[9].

另外，當簡并費米氣體不存在自旋軌道耦合、只加入足夠大的外磁場時，研究表明，此時體系也會發生奇異的、質心動量不為零的Cooper配對，即所謂的Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)配對[10-11].FFLO 超流不同于拓撲超流，并不產生零能的Majorana費米子.因此，在具有自旋軌道耦合的費米氣中，能否發現FFLO 超流態，也引起了關注[12-13].

本文主要研究了一維光晶格中具有自旋軌道耦合的量子簡并費米氣體，探究其在不同外磁場強度和不同粒子填充數時的狀態性質.因為在冷原子物理實驗中，已經能夠實現人造磁場、自旋軌道耦合等技術，并且參數完全可控.所以,該理論模型研究可以應用到冷原子實驗中，為實驗研究提供理論依據.

1 理論模型

考慮光晶格中具有自旋軌道耦合和外磁場的一維簡并費米氣體.該體系的哈密頓量可描述為

H=H0+HZ+HSO. (1)

式(1)中，第1項就是標準的費米哈伯德模型：

式(2)中：t表示躍遷振幅；μ是化學勢；U為吸引相互作用.

另外,式(1)中第2項是Zeeman場項:

式(1)的第3項是自旋軌道耦合項：

對上述哈密頓量進行平均場處理，可以得到一個有效哈密頓量

式(5)中，Δi=-U〈ci↓ci↑〉為超流配對序參量，它描述了格點i處由吸引相互作用誘發的s波配對的強度.由于在一維s波配對體系中引入自旋軌道耦合，所以通過自旋軌道耦合效應并利用外磁場破壞時間反演對稱性，可得到類似于p波配對的超流體，而Kitaev已經論證了一維p波配對體系的兩端會出現Majorana費米子[14].

這里

h0=-t(δi+1j+δi-1j)-μiδij+hδijσz+iσyα(δi+1j-δi-1j).

(8)

(9)

式(10)中，函數θ(En)表示零溫時的費米-狄拉克分布.通過粒子平均占據數方程(9)和超流序參量方程(10)，BdG方程(6)可以自洽地求解.在下面的分析中，令躍遷振幅t為單位能量，吸引相互作用強度U=4.5，自旋軌道耦合強度α=1.0，并選用開邊界條件.

2 結果分析與討論

2.1拓撲超流與Majorana費米子

筆者用數值求解了體系在平均粒子填充數n=0.3時的情況,發現當磁場強度h≥1.0時，能譜的能隙關閉，即出現零能解，且此時超流序參量并不為零.上述特征表明，體系進入到拓撲超流態.另外,也可以通過探測Majorana費米子是否存在來作為體系是否進入拓撲超流態的依據.在實驗上，可以運用空間分辨的射頻譜(radio-frequency spectroscopy)技術[17]測量局域態密度來探討Majorana費米子.其中,局域態密度定義為

圖1 h=1.1時，自旋向上粒子的局域態密度ρ↑(i,E)

圖2 h=1.1時，自旋向下粒子的局域態密度ρ↓(i,E)

圖3 h=1.4時，配對序參量Δi隨格點的變化

圖1和圖2分別為外磁場強度h=1.1時，自旋向上粒子的局域態密度ρ↑(i,E)和自旋向下粒子的局域態密度ρ↓(i,E).從圖1和圖2可以看到，在零能附近，局域態密度于體系的兩端各有一個極大值，這正是來自于一對Majorana費米子波函數的貢獻.另外，筆者還發現，區別于其他準粒子，Majorana費米子局域在體系的兩端彼此空間分離.

2.2FFLO超流現象

在不考慮自旋軌道耦合時,自旋向上的粒子和自旋向下的粒子由于外磁場對電子磁矩的作用使得2種費米子的費米面錯開.兩費米面的自旋完全極化，配對只能發生在2個費米面之間.若此時2組分不均勻(N↑≠N↓)，則可發生FFLO配對，其特點是配對序參量Δi隨格點振蕩.但是，當體系存在自旋軌道耦合時，自旋軌道耦合會使自旋發生翻轉.這時處于同一費米面的2個粒子也有可能發生配對，形成BCS超流[18].所以,當體系存在自旋軌道耦合時，FFLO超流現象是否還能存在引起了我們的關注.

通過研究發現，在平均粒子填充數n=1.0附近，當外磁場的強度達到一定值時，體系仍然可以發生FFLO超流現象.當外磁場強度h=1.4時，體系的配對序參量如圖3所示.從圖3中明顯可以看到，序參量Δi隨格點振蕩，這正是體系處于FFLO超流態的特征.

3 總 結

本文研究了一維光晶格中具有自旋軌道耦合的冷原子費米氣體系的物理性質，發現存在自旋軌道耦合時，當外磁場的強度增大到一定值時，能譜會出現零能簡并，體系會進入拓撲超流態,并且此時會有一對Majorana費米子分別局域在體系的兩端.另外,筆者還發現，具有自旋軌道耦合時，在粒子填充數n=1.0附近體系仍然可以發生FFLO超流現象.

下一步，筆者將進一步研究不同自旋軌道耦合強度、吸引相互作用強度等對體系狀態的影響，解決各個參數平面下的相圖問題.另外，若在體系中引入無序，考慮無序對該體系狀態的影響，也是一個有意義的問題.

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(責任編輯 杜利民)

TopologicalsuperfluidsandFFLOsuperfluidsinspin-orbitcoupledatomicFermigases

WANG Jun, GAO Xianlong

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was investigated the properties of spin-orbit coupled atomic fermi gases under a Zeeman field. By solving the Bogoliubove-de Gennes equation self-consistently, it was found that the system supported the topological superfluid state and the Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov superfluid state respectively when the system under the different strength of Zeeman field and filling factors. When the system turned into topological superfluid state, a pair of zero-energy Majorana fermions were found.

spin-orbit coupling; topological superfluids; Majorana fermion; FFLO superfluids

10.16218/j.issn.1001-5051.2015.02.002

2015-01-10

國家自然科學基金資助項目(11374266;11174253)

王 俊(1989-),男，浙江臺州人，碩士研究生.研究方向：凝聚態物理.

高先龍.E-mail: gaoxl@zjnu.cn

O562.4

A

1001-5051(2015)02-0129-04