基于隨機共振的微弱信號檢測適應性研究

范　劍

基于隨機共振的微弱信號檢測適應性研究

范劍

（臺州學院機械工程學院，浙江臺州318000）

不是所有類型的微弱信號經隨機共振系統處理后都能被有效識別，因為隨機共振的信號處理方法由于系統的躍遷和非線性等因素，會使系統輸出波形相對于原信號產生一定程度的畸變，勢必影響對原微弱信號的識別。本文首先從隨機共振動力學機理的角度逐一分析了單頻正弦信號、混頻信號及非周期方波等信號的隨機共振系統處理過程，然后結合隨機共振系統自身的輸出特性分析了對于不同類型信號檢測的適應性問題。研究認為，隨機共振作為一種信號處理方法，其本質是屬于時域的，它的“兩態輸出”特性使之更適合于識別各類單周期微弱信號的周期特征，而系統的躍遷特性能用于大致地展示具有“兩態特征”的非周期連續微弱信號。

微弱信號檢測；隨機共振；檢測適應性

0　引言

利用隨機共振（SR）系統的雙穩態及其躍遷特性，可以借助噪聲使淹沒在其中的微弱信號以大幅值躍遷形態的方式凸顯出來，以此識別其中微弱信號的頻率特征。近年來國內外學者對于隨機共振理論已有大量的研究［1-8］，胡崗等利用本征函數微擾展開方法進一步發展了隨機共振理論［9-10］并進行了一系列隨機共振的模擬實驗［11-12］；在微弱信號檢測方面，冷永剛等提出了參數調節隨機共振［13］、變尺度和二次采樣隨機共振［14］以及級聯雙穩隨機共振［15］等檢測方法，胡蔦慶等在研究隨機共振原理的基礎上實施了對微弱信號檢測的應用［16］，本文作者所在的研究團隊對其他類型的隨機共振系統也做了有益探索［17-18］并進行了自適應隨機共振微弱信號檢測的應用研究［19］。上述研究為基于隨機共振的強噪聲背景下微弱信號檢測應用提供了理論和實驗依據。

但同時我們也注意到，已有隨機共振的理論研究都是以單頻正弦信號為研究對象的，而在已有基于隨機共振的微弱信號檢測仿真或實驗研究中所提到的信號檢測對象也大多是單頻正弦信號或方波信號［15，20-21］。然而，這個檢測方法能否適用于其它類型信號的檢測呢？由于隨機共振系統的非線性及其非自治性，目前還無法獲得該系統輸出的解析解，這也導致我們難以從數學的角度分析隨機共振信號檢測適應性的問題。不過隨著我們對隨機共振非線性動力學機理研究［22］的進一步深入，可以嘗試從新的角度去分析這類問題。本文首先對比分析了隨機共振系統對單頻正弦信號、混頻信號及非周期方波等信號的處理過程，然后結合隨機共振系統自身的信號處理特性進一步分析了隨機共振系統的微弱信號檢測適應性。研究隨機共振的微弱信號檢測適應性，可以更好地明確該檢測手段的適用范圍，有利于充分發掘該檢測方法的潛力，對基于隨機共振的微弱信號檢測工程應用具有重要的實際意義。

1　不同類型信號的隨機共振處理過程分析

隨機共振技術之所以常被用來提取淹沒在強噪聲環境下微弱信號的頻率特征，無疑是希望系統能輸出與微弱信號保持一致的同頻躍遷信號，所以系統的輸出首先要能發生“躍遷”，然后還要“同頻”。然而相對強噪聲而言，有用信號畢竟是微弱的，所以要積極調動系統內部和外部一切有利因素促成系統輸出的“躍遷”，我們在文獻［22］的研究中已經明確：在激勵信號周期足夠長的前提下，隨機共振系統存在兩種躍遷行為：如果內秉信號（即微弱信號）的幅值大于躍遷閾值，則系統以發生“自然躍遷”為主；反之，如果內秉信號的幅值小于躍遷閾值，則只可能在噪聲的誘發作用下發生躍遷；作用于隨機共振系統的內秉信號能推動系統動點沿吸引子曲線移動，它對系統的輸出起內在的和本質的作用，而噪聲在一定條件下能夠誘發系統產生躍遷行為。那么剩下的問題是：系統輸出的躍遷信號能否與原微弱信號保持“同頻”。然而，經隨機共振系統處理后的輸出信號由于躍遷和非線性的作用已經發生了波形的畸變，它還能否有效地保持“同頻”呢？這個問題需進一步分析?？紤]到本文是針對隨機共振系統發生躍遷后的輸出信號進行分析，此處為了使問題的描述更為直觀，我們直接使用內秉信號來驅動隨機共振系統發生自然躍遷，而不采用噪聲誘發躍遷的形式，故在后文的討論中如無特別聲明，均略去系統噪聲的作用。接下來，我們有必要簡要闡述隨機共振非線性動力學機理，然后從這個角度去分析不同類型信號的隨機共振處理過程。

取如式（1）所示的Duffing方程：

式中：k為阻尼系數，a、b分別為線性和非線性項系數，c為作用于系統的激勵值，它一般由微弱信號和噪聲組成。通過文獻［22］的研究，我們可以得到式（1）的吸引子曲線，如圖1所示。

圖1　SR系統的吸引子曲線Fig.1 Attractor curve of SR system

該曲線上各點的縱坐標表示作用于系統的激勵值c（t），橫坐標表示對應于該激勵作用下系統動點的位置（亦即系統方程x的值）。通過該曲線上的激勵-位置映射關系，我們可以根據系統當前的激勵值獲知系統方程的x值。曲線上兩個極值點A、B為躍遷點，其縱坐標值為。系統動點位置的變化由激勵信號驅動，并始終沿著該吸引子曲線移動，當激勵值往上越過A點或往下越過B點時，系統的輸出便會發生從左向右或從右向左的躍遷。

1.1隨機共振系統對單頻正弦信號的處理

構建參數為k=0.1，a=1，b=1的隨機共振系統，取一單頻正弦激勵信號，考慮到該信號的周期應足夠長，此處取其頻率為0.1Hz，并取能夠發生自然躍遷的激勵信號幅值為0.5（大于該系統躍遷閾值的絕對值0.385）。把該單頻正弦信號作為系統的激勵輸入系統，其輸入和輸出波形如圖2所示。圖中的兩條水平虛線為躍遷閾值線，激勵信號（圖中表示為點劃線）的上升沿與它有相交，如圖中P點所示，也就意味著隨著激勵值繼續上升，它將大于躍遷閾值，必然導致系統輸出發生躍遷，如圖2中的實線曲線CD段所示；隨著激勵信號增加到正的最大值然后又逐漸減小，并朝負值方向變化，當激勵值變化至圖中的Q點以下時，它又將引起系統動點反方向的躍遷，如圖中輸出波形曲線的EF段所示。我們把這一過程置于吸引子曲線圖中去理解，將會變得更為直觀，如圖3所示，隨著激勵值超越A點，系統發生從C到D段的躍遷，同理，當激勵值減小到B點以下時，系統輸出發生從E到F段的躍遷。在這兩個圖中都可以看出，由于激勵幅值的對稱性，在正半周期的激勵會超越正的躍遷閾值，從而發生從左向右的躍遷，負半周期激勵值同樣也會超越負的躍遷閾值，于是動點就發生從右向左的躍遷，然后又如此周而復始，使得躍遷的過程也表現出與原信號一致的周期性。然而由于在隨機共振處理過程中存在吸引子曲線映射的非線性及躍遷等因素，其輸出波形與原信號波形有很大程度的畸變，通過Fourier變換可以看到頻譜圖上有一系列幅值逐漸衰減的倍頻信號，如圖4所示，有的文獻將這一特點用于輔助判斷微弱信號的頻率成分［23］。

圖2　單頻正弦信號及其SR輸出信號波形Fig.2 Single sinusoidal input signal and its output signal of the SR system

不過須要指出的是，隨機共振的微弱信號檢測過程是在調節系統參數、觀察系統輸出的過程中做逐步對比來甄別的，此處我們通過調節參數a、b的值來改變躍遷閾值，也就是改變圖2中水平虛線的高度位置，從圖中可以發現，只要信號的幅值大于系統的躍遷閾值，那么，根據前述分析可知，系統的輸出必然會呈現周期性的往復躍遷，且能與原信號較好地保持同頻。所以，隨機共振的檢測方法對于單周期正弦信號而言，是具有較好檢測適應性的。

圖3　隨機共振系統的相圖Fig.3 The phase portrait of the SR system

圖4　單周期信號經隨機共振系統處理后的輸出信號頻譜Fig.4 Output signal spec trum of the SR system for single sinusoidal input signal

1.2隨機共振系統對混頻信號的處理

我們再隨機地取幅值、頻率和初相位都不相同的兩個正弦信號：S1=0.2sin（0.2t）以及S2=0.6sin（0.3t+ 0.6π），將其混合后輸入由參數為k=0.1，a=0.5，b=0.5構建的隨機共振系統中，系統的輸入信號、輸出信號波形及其頻譜如圖5所示。由圖5a可見，在混頻信號波形的正的激勵值上升段以及負的激勵值下降段與躍遷閾值線相交處，對應位置的系統輸出都有躍遷發生，在頻譜圖5b上也有比較明顯的一個主峰值以及其余的一些倍頻信號的幅值，該頻譜主峰值對應的信號頻率為0.3Hz，另一個次高的頻率對應為0.2Hz，但后者的幅值并不能顯著地區別于其它倍頻信號的幅值，而且這些倍頻信號幅值也不能說明是哪個原信號頻率的倍頻?？梢妰H憑這些信息并不能直接有效地甄別出原信號的頻率成分。那么我們繼續調整系統參數，根據圖5可以預見，如果減小系統的閾值，其輸出波形的躍遷規律與當前的狀態基本一致，所以系統輸出信號的頻譜不會有明顯變化。我們逐漸把躍遷閾值增大，比如取系統參數為k=0.1，a=1.8，b=1.8，將上述混頻信號加入到該系統中，可獲得經隨機共振系統處理后的輸出波形及其頻譜如圖6所示。這時的系統輸出信號波形與原信號相比較發生了嚴重畸變，而且從頻譜圖上也未能發現在輸入和輸出信號之間有直接對應關系的頻率信息。所以，對于類似這樣的混頻信號，我們認為隨機共振系統的檢測能力有限。

圖5　混頻信號及其經隨機共振系統處理后的輸出信號頻譜Fig.5 Mixing signal and its output signal spectrum of the SR system

圖6　閾值調整后的系統的輸出信號波形及其頻譜Fig.6 Input and output signal of the threshold adjusted SR system

1.3隨機共振系統對非周期方波信號的處理

同樣地，先構建參數為k=0.1，a=1，b=1的隨機共振系統，再取如圖7a圖中黑色實線所示的輸入信號，其中有連續的方波及間歇陣發性方波，這些方波的幅值為0.5，將該信號輸入到隨機共振系統可得到系統的輸出如圖7b圖藍色實線所示。由圖可以看出，輸出信號基本分居于零線的上下兩側，而且尤其值得注意的是，在間歇陣發性方波中幅值為零的各信號段所對應的輸出有所不同，原因就在于其前置的信號使得系統輸出發生了躍遷，有的是正向躍遷，有的是反向躍遷，這一點我們在圖1所示的吸引子曲線圖中可以看到，幅值為0的激勵信號對應有兩個吸引子位置，當前系統的動點處于哪個吸引子位置完全取決于其前置鄰接的那個躍遷狀態，又由于在同側吸引子曲線上，方波幅值對應的吸引子位置與零激勵的吸引子位置有一段距離，所以反映在輸出波形的高度方向上有“一小段落差”。

圖7　方波信號及經隨機共振系統處理后的輸出波形圖Fig.7 Rec tangu lar Input signal and its output signal of the SR system

由這個實例的分析可以發現，隨機共振系統對于方波信號的甄別能力也是有限的，它不能夠有效地區別出原信號是連續方波還是間歇陣發性的方波，因為在考慮噪聲的作用后，圖7b中所示的那“一小段落差”將會被震蕩波形取代?，F舉例示之：此處我們為了利用噪聲的誘發躍遷作用，將原方波信號幅值調整為0.1（小于系統的躍遷閾值），然后在該信號中加入強度為0.5的高斯白噪聲，把該混合后的信號輸入到參數為k=0.2，a=1，b=1所構建的隨機共振系統（此處把阻尼調整為k=0.2的目的，是為了有效濾除一部分噪聲，同時又保證系統能在噪聲的誘發作用下發生躍遷），其輸入及輸出波形如圖8所示。有文獻［23］指出可利用隨機共振系統來恢復含噪方波信號，但我們通過此例可以看出，該方法適合于連續方波，而不適合于對間歇陣發性方波信號的恢復。

圖8　加噪聲后的方波信號及經隨機共振系統處理后的輸出波形圖Fig.8 Noised rec tangular Input signal and its output signal of the SR system

2　隨機共振系統自身特性對微弱信號檢測的適應性

首先，根據輸入信號與隨機共振系統吸引子曲線的映射關系，可以定性地獲得系統的輸出信號。由于輸入信號的波形是時域的，于是經吸引子曲線映射而獲得的輸出波形也是時域的。所以，隨機共振系統作為一種信號處理方法，它在本質上是屬于時域的。另一方面，由于隨機共振系統的非線性及非自治性，我們還無法獲得隨機共振系統在時域與頻域之間的變換關系，所以還不能從理論分析的角度去考察該信號處理過程在頻域的表現形式。而且，從1.2節所展示的實例我們也未能在輸入信號的頻譜與系統輸出的頻譜中發現這兩者之間存在明顯和有效的對應關系；其次，隨機共振系統的躍遷閾值是由系統參數決定的，不同的躍遷閾值會使系統輸出的躍遷位置發生變化，從而使得輸出波形也將發生變化，有時甚至是劇烈變化，所以不能僅憑隨機共振系統的輸出波形去推斷、甄別原信號波形或者頻率成分；再次，在吸引子曲線上無論是發生躍遷還是映射，它對原信號的處理都是非線性的，必然使得系統輸出波形發生較大幅度的畸變，故而我們只能對畸變后的輸出信號做一些定性的分析和判斷。

但是，隨機共振系統具有鮮明的“對稱兩態性”：吸引子曲線在左右兩側各只有一段，所以系統的輸出“非左即右”，也就是說系統動點如果不出現在左側吸引子曲線段上，就一定在右側的吸引子曲線段上，而且這兩段吸引子曲線都是從兩個躍遷閾值點向兩外側延伸。于是，小幅值微弱信號經隨機共振系統處理后能以大幅值躍遷的形式表現來。而且，如果原信號是單周期的，那么其躍遷周期也能較好地表現為單周期，從而能夠呈現“同頻”狀態。所以隨機共振系統適合于處理和識別各類單周期的、波形呈對稱形態的微弱信號的周期特性，比如單周期正弦信號、單周期三角波、方波等信號；此外，利用隨機共振系統還可以大致地展示具有“兩態特征”的連續微弱信號，比如連續的周期或非周期方波等信號。

3　結語

隨機共振的信號處理方法突出的優勢在于它能以“大幅值躍遷”的形式呈現淹沒在噪聲中的微弱信號，但不是所有類型的微弱信號經隨機共振系統的處理后都能被有效識別；它在本質上是屬于時域的，不能簡單地從頻域的角度去考察該信號處理方法的性質和過程；然而其鮮明的“對稱兩態”輸出特性使它能更有利地去識別各類單周期的、呈對稱形態微弱信號的周期特征，系統的躍遷特性可用來大致地展示具有“兩態特征”的連續微弱信號。

［1］R Benzi，A Sutera，A VulPiani.The m echanism of stochastic resonance［J］.J.Phys.A，1981，14（11）:453-457.

［2］Benzi，G Parisi，A Sutera，A VulPiani.Stochastic resonance in climatie change［J］.Tellus，1982，34（1）:10-16.

［3］S Fauve，F Heslot.Stochastic resonance in a bistable system ［J］.Phys.Rev.Lett.，1983，97A（1-2）:5-7.

［4］Nicolis C.Stochastic aspects of climatic transitions-additive fluctuations［J］.Tellus，1981，33（3）:225-234.

［5］F.Combet， L.Gelman.Optimal filtering of gear signals for early dam age detection based on the spectral kurtosis［J］.M echanical System s and Signal Processing，2009，23（03）:652-668.

［6］Mitaim S，Kosko B.Adaptive Stochastic resonance［J］.Proc of the 1998 IEEE，1998，86（11）:2152-2183.

［7］Jung P，H？nggi P.Stochastic nonlinear dynam ic m odulated by ex ternal periodic forces［J］.Europhy.Lett. 1989，8（6）:505-510.

［8］Masolivers J.Robinson A Coheren t stochastic resonance［J］.Phys.Rev.E，1995，51（5）:4021-4026.

［9］G，Hu.Periodically forced Fokker-Planck equation and stochastic resonance［J］.Physical review.A，1990，42（6）:2030-2041.

［10］H.Gang.Stochastic resonance in a nonlinear system driven by an aperiodic force［J］.Physical review.A，1992，46（24）：3250-3254.

［11］Hu G.，Nicolis G.，Nico lis C.，Period ically forced fokker-p lanck equation and Stochastic Resonance［J］. Phys.Rev.A，1990，42（4）:2030-2041.

［12］秦光戎，龔德純，胡崗，等 .隨機共振的模擬實驗［J］.物理學報，1992，41（3）:369.

［13］Leng Yong-Gang，Wang Tai-Yong，Guo Yan et al.Study o f the property of the parameters of bistable stochastic resonance［J］.Acta Phys.Sin.，2007，56（1）:30-35.

［14］Leng Yong-Gang.Mechanism of parameter-adjusted stochastic resonance based on Kramers rate［J］.Acta Phys.Sin.，2009，58（8）:5196-5200.

［15］賴志慧，冷永剛，范勝波.級聯雙穩Duffing系統的隨機共振研究［J］.物理學報，2013，62（7）:070503.

［16］胡蔦慶，溫熙森，陳敏.隨機共振原理在強噪聲背景信號檢測中的應用［J］.國防科技大學學報，2001，23（4）:40-44.

［17］趙文禮，劉進，殷園平.基于隨機共振原理的中低頻信號檢測方法與電路設計［J］.儀器儀表學報，2011，32（4）:721-728.

［18］趙文禮，郭麗紅.隨機共振及其微弱信號的自適應檢測［J］.電子測量與儀器學報，2006，20（5）:21-25.

［19］王林澤，張亮，趙文禮.一種新的隨機共振模型的電路設計與信號檢測實驗研究［J］.電路與系統學報，2013，18（2）: 482-487.

［20］Lin Min，Huang Yong-Mei.Modulation and demodu lation for detecting weak periodic signal of stochastic resonance［J］.Acta Phys.Sin.，2006，55（7）:3277-3282.

［21］Zhu Guang-Qi，Ding Ke，Zhang Yu et al.Experimental research of weak signal detection based on the stochastic resonance of non linear system ［J］.Acta Phys.Sin.，2010，59（5）:3001-3006.

［22］范劍，趙文禮，張明路，等.隨機共振動力學機理及其微弱信號檢測方法的研究［J］.物理學報，2014，63（11）: 110506.

［23］Zhang Zheng-w ei， Fan Yang-Yu， Zeng Li.A nonlinear hybrid m ethod fo r detec ting the frequency of unknow n w eak com posite periodic signal［J］.Acta Phys.Sin.，2006，55（10）:5115-5121.

（責任編輯：耿繼祥）

Reseach on the Adaptability of W eak Signal Detection by M eans of Stochastic Resonance

FAN Jian
（School of Mechanical Engineering，Taizhou University，Taizhou 318000，China）

The method of stochastic resonance（SR）is often used to pick out the w eak signal submerged in noisy background.But the output signal of SR system can be severely distorted relative to the input，w hich can cause some difficulty in signal recognition.The SR procession of three types of signal such as single sinusoidal signal，m ixing signal and square wave are analyzed at first in this paper，and then the detection adaptability is studied according to the output property of SR system.Analysis of the result indicates that SR，as a signal processing method，belongs to time domain，and its tw o-state-output property means this processing method is especially suitable fo r recognizing singly periodic signal.Furthermore，the transition property of SR system can be app lied to recover the tw o-state aperiodic signal masked by heavy noise.

weak signal detection；stochastic resonance；detection adaptability

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2015.03.007

2015-01-19

國家自然科學基金（批準號：50875070），浙江省教育廳科研項目（批準號：Y201326915）。

范劍（1977-），男，江西豐城人，博士，主要研究方向為機械系統故障診斷、微弱信號檢測等。