創意平板折疊桌的模型分析與優化設計

吳　婧?。ㄎ骶W院，陜西　西安　710123）

創意平板折疊桌的模型分析與優化設計

吳婧
（西京學院，陜西西安710123）

本文對創意平板折疊桌的設計問題，應用木結構截面設計原則，通過建立桌面半徑、桌面長度、鋼筋位置相應的數學模型，描述了折疊桌的動態變化過程。同時對折疊桌的設計加工參數（桌腿木條開槽的長度）和桌腳邊緣線進行了數學描述。最后給出了合理的平板折疊桌設計參數。

桌面半徑；桌面長度；鋼筋位置；插值擬合

1　引言

創意平板折疊桌不但輕巧方便，而且美觀大方。創意平板折疊桌更注重于表達木質品的優雅和設計師所想要強調的自動化與功能性。這種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿由若干根木條組成，分成兩組，分別用兩根鋼筋貫穿兩側的木條，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度。使兩者只需提起木板的兩側，便可以在重力的作用下達到自動升起的效果，桌子外形由直紋曲面構成，造型美觀，相互對稱的木條宛如下垂的桌布。在設計折疊桌時如何確定其所需木板的最優尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長度格外重要。

本文對一長方形平板：長為120cm，寬為50cm，厚度為3cm，每根木條的寬為2.5cm，折疊后桌子的高度為53cm，且連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置。確定了其所需木板的最優尺寸，鋼筋的位置和每根桌腿的開槽長度；對桌腳邊緣線進行數學描述，同時描述了折疊桌的動態變化過程。

表1　各條桌腿的槽口長度

2　問題分析

在研究折疊桌確切圓的半徑時，我們假設兩種情況，即圓與已知平板內切和圓與已知平板近似外接，但這兩種情況圓的半徑均不符合已知設計要求，通過建立合適的方程，我們在圓環的內側尋找到最佳的半徑變化范圍，并在合理范圍內選合適半徑。利用割線位置的變化依次對圓進行割取，分別得到割線確切長度，因此求得每根桌腿木條的長度，通過鋼筋在不同狀態下在卡槽內的位置不同以確定卡槽的長度。對于桌邊緣線的描繪我們以最外側桌腿木條中點（鋼筋點位置）為坐標原點建立坐標系，并確定鋼筋穿過位置的坐標點和桌腿頂端坐標點，通過各個桌腿與各坐標軸的方向夾角確定了各個桌腿的方程，經計算得出桌腿下端點坐標，最終確定桌腳邊緣曲線。

本文所涉及到的符號作如下說明：x為一半的割線長度，z為半徑的變化范圍，M為內力彎矩，l為長板總長，d為圓木壓彎構件的截面，λ為構件柔度，為歐拉荷載。

3　模型建立與求解

3.1桌面半徑的確定

假設圓內切于長方形平板和外接于長方形平板，但這兩種假設條件下計算結果無法滿足桌子的高度，割線長度大小影響已知桌腿長度。假設模型如圖1所示。

而在圓環范圍內存在我們想要的理想半徑，因此我們在圓環范圍內尋找最佳的且最合適的圓半徑的變化范圍，并且建立恰當的計算公式：0.5（120-2x）＞50，x2/z+z=50+2z。整理得到：

z2+50z-100=0（1）

計算得到：z∈（0，1.9258）。因此合理的圓的半徑如圖2虛線圓所示，且割線長度可在x范圍內適當變化。

當我們得到合理圓盤直徑時，將圓盤依次進行割取得到相應的割線長度2x，然后分別求出各桌腿長度。桌腿擺動的角度影響著桌腿木條開槽長度和桌腳邊緣線。

3.2桌腿長度和鋼筋位置的計算

我們利用已知第一根桌腿長度與第一個余端長度以及夾角，運用三者間存在的余弦定理，得到第二根桌腿頂端到卡槽底端長度，并求出第二根桌腿頂端到卡槽底端長度與第一個余端長度之間的夾角，即可依次求得各桌腿頂端到卡槽底端長度

其中ai為第i個桌腿頂端到卡槽底端長度（i=1，2，…，21），bj為第j根桌腿腿長（j=1，2，…，21）

cω為第ω個余端長度（ω=1，2，…，20）。當平板長方形處于原始狀態時，鋼筋處于卡槽的最高處。當折疊成工作狀態時，鋼筋處于卡槽的最低處（不考慮鋼筋與卡槽間扭矩力），將兩者做差值，我們便得到各個腿長合理的卡槽長度?？ú坶L度見表1。

3.3桌腿底端邊緣方程建立

對于桌腳邊緣線的描繪我們以最外側桌腿木條中點（鋼筋點位置）為坐標原點建立坐標系0xyz，坐標系如圖3所示。

利用已知參數求得每根木條鋼筋位置的坐標點，以及桌腿木條頂端端點坐標點。將兩坐標點對應作差求出向量，利用各方向余弦夾角與向量的模確定該向量的空間位置。方向余弦公式如下：

用各桌腿的方程和已知數據確定了各桌腿空間位置方程，運用插值擬合算法得到了工作時桌子腿面的三維曲面圖。

設該桌腿邊緣位置方程為：

插值擬合計算出桌腳邊緣位置方程的系數a=4.53，b=-0.27，c=-12；方程次數為n1=1，n2=2，n3=1。

最后由各個桌腿的方程求得的坐標點確定了桌腳邊緣曲線。邊緣曲線如圖5所示。

3.4桌腳邊緣曲線連續變化

我們通過不同角度下計算得到桌角位置數據，得到桌腳邊緣曲線連續變化三維曲面圖6。利用桌角位置數據，我們擬合得到桌腳邊緣曲線連續變化的曲面方程如下：

結語

本文建立了每條桌子腿的空間曲線方程，求得桌腿邊緣坐標，通過插值擬合到了空間方程，確定了其所需長方形平板材料的大小和折疊桌的最優設計加工參數。本文設計的產品穩固性好、加工方便、用材最少。

[1]韓佳成，RobertVanEmbricqs.平板折疊邊桌[J].設計，2012（08）：23-24.

[2]陳載賦.建筑結構設計手冊[M].成都：四川科學技術出版社，1994.

[3]任治章，王洪杰.確定木結構壓彎構件最佳截面尺寸的簡便方法[J].吉林建筑工程學院學報，2002，19（01）：18-19.

基金項目：本文得到國家自然科學基金（61473237），西京學院科研基金項目（XJ130245，XJ130244，XJ140116）的資助。

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