非歐幾何

林革

大家都知道，《幾何原本》是數學史上的經典之作。幾乎所有的人都堅信，歐幾里得幾何是物理空間的正確抽象，歐幾里得的公設是不證自明的真理;有些數學家卻不這么看，甚至還有點苛刻和較真。他們習慣于用懷疑的眼光去打量這些真理。對于歐幾里得幾何中的第五公設，即平行公設（如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小于1800，那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內角和小于1800的一側相交），這些數學家更是疑慮重重，由于第五公設的真理性不像其他的公設那樣明顯，所以缺乏絕對的說服力，必須加以證明。

歐幾里得

非歐幾何的誕生，就始于人們努力消除對歐幾里得平行公設的懷疑這一過程中。

數學家們認為，第五公設如果不作為公理，就應該作為定理可以從其他公理中推證出來。所以，從希臘時代到公元1800年的2000多年里，許多著名的數學家都加入到了證明第五公設的大軍中。他們嘔心瀝血，試圖證明該公設的正確性，但都徒勞無功。其中有不少數學家興高采烈地宣布，自己已經證明了第五公設;但沒過多久，就被他人指出其中的錯誤，使得結論無法成立。以至于1759年法國數學家達朗貝爾把平行公設問題稱為“幾何原理中的家丑”。

第一位從證明第五公設大軍中覺醒的，是被譽為“數學王子”的德國著名數學家高斯。高斯是18世紀最偉大的數學家，也是數學史上最負盛名的大師之一。他在數學上的非凡造詣和杰出成就，使其享有“歐洲數學之王”的美譽。作為廣受尊敬和稱贊的數學巨匠，高斯一生中唯一為人所詬病的正是他參與求證第五公設后的表現。

當時，人們已經認識到第五公設和平行公理是等價的。平行公理是：“過直線外一點，只能作一條直線和給定的直線平行?！彼^等價，就是說，如果把第五公設作為公理，那么平行公理就可以由第五公設推證出來，這時平行公理就成了定理;反過來，如果把平行公理當成公理，同樣可以把第五公設作為定理證明出來。由于平行公理的敘述比第五公設簡單、明確，因此，證明第五公設實則上就是證明平行公理。后來，數學家又發現，平行公理和“三角形內角之和等于1800”也是等價的，如果能證明出“三角形內角之和等于1800”，也就等于證出了平行公理和第五公設，所以，大家又轉向證明這個結論。

高斯起初也在這樣的思維軌道上努力;可當他竭盡全力仍一籌莫展時，逐漸意識到平行公理是不可證明的。1817年，高斯在寫給朋友的信中已經提到這個猜想;而且，更可貴的是，高斯在“不能證出”思路的啟發下繼續研究，竟發現了一種前所未有可謂驚人的新幾何學。1824年，47歲的高斯給朋友寫信時提到：“三角形內角之和小于1800，這個假定引向一種特殊的、和我們的幾何學完全不相同的幾何，這種幾何是完全相容的，當我發現它的時候，結果完全令人滿意?！?/p>

最初，他把這種新幾何稱為“反歐幾何”;后來，改稱“星空幾何”;最后，稱其為“非歐幾何”。

遺憾的是，高斯終生也沒有公開發表這種與歐氏幾何迥然相異的新幾何學發現。因為在當時，康德的唯心主義空間理論占據著統治地位。這種理論認為，人生下來就有空間觀念，這個空間就是歐幾里得空間，它是唯一的空間。所有的人包括數學家對此都深信不疑。高斯擔心，自己石破天驚的發現會引發世俗的驚異和譏諷，令自己有丟失名譽的風險，所以一直不敢把研究結果公之于世，只是謹慎地把部分成果寫在日記和書信中，直到他死后才被披露出來。

當高斯保持緘默時，一位匈牙利數學天才小波約伊卻率先提出了這一新幾何學。

“數學王子”高斯

說起來，高斯與小波約伊二人獨立研究的不謀而合似乎在冥冥之中早已注定。因為小波約伊的父親老波約伊是高斯的同窗好友，這位數學家的畢生心血都傾注在平行公理的證明上，但是沒有成功。當小波約伊知道父親一生未果的事業是證明平行公理時，天生的基因、家庭的熏陶和強烈的好奇也把小波約伊吸引到證明平行公理的行列。老波約伊知道兒子的所為后非常緊張，害怕他也和自己一樣，搭上一生求證，到頭來竹籃打水一場空。所以，老波約伊不停地寫信，勸阻小波約伊退出這一領域。

可父親的苦口婆心并沒有使小波約伊停下探索研究的腳步，天賦異稟的他很快就得出了與高斯相同的結果。他于1823年激動地把自己的發現寫信告訴父親，并決定發表自己的研究成果。當時的小波約伊只有21歲。

1832年，老波約伊出版了一本幾何著作，這本書以附錄的形式發表了小波約伊的一篇題為《關于一個與歐幾里得的平行公理無關的空間的絕對真實性的學說》的論文，雖然全文只有24頁，但其中關于非歐幾何的觀點已經非常清楚。

不過，這并非小波約伊的最終目的，他非常希望自己的觀點能得到數學權威高斯的支持，所以他給高斯寫信征求意見;可高斯在回信中只是贊揚他有數學天分，并沒有對小波約伊提出的新幾何學給予熱情支持。這讓小波約伊頗為失望，研究的熱情受到極大挫傷。

到1848年，當他驚奇地讀到羅巴切夫斯基的德文譯著時，才發現，這位俄國數學家和自己幾乎是同時發現了非歐幾何?？吹饺绯鲆晦H的詳盡內容和理解被公之于眾，小波約伊失落痛苦的心情可想而知，他對自己的發現沒有得到應有的認可非常惱怒，繼而變得十分消沉沮喪，從此放棄了對數學的研究。

一個非凡的數學天才就此被無情埋沒，不免令人惋惜。

1826年，在喀山大學的一次物理學會議上，俄國數學家羅巴切夫斯基宣讀了他的第一篇關于非歐幾何的論文，其中稀奇古怪的內容和命題讓與會的數學家目瞪口呆。諸如，三角形的內角和小于1800，銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。

1829年，羅巴切夫斯基又撰寫發表了一篇題為《幾何學原理》的論文。這篇論文重申了第一篇論文的基本思想，并且有所補充和發展，宣告了非歐幾何的創立。

因為羅氏幾何動搖了舊的傳統空間觀念，而且還與人們的日常經驗相背離;所以，羅巴切夫斯基遭遇到高斯當初所擔心的一切：嘲笑譏諷、歪曲貶低、非難謾罵、人身攻擊。學術界也持不屑一顧和冷漠否定的態度，以至于彼得堡科學院對其著作給出的鑒定是：“看來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。顯然，他達到了自己的目的……這部著作謬誤連篇，荒誕不經，因而可以忽略不計?！?/p>

令人嘆息的是，在這個關鍵時刻，高斯并沒有挺身而出，他再次選擇了沉默。

客觀地說，當高斯看到羅巴切夫斯基的德文非歐幾何著作《平行線理論的幾何研究》時，內心是極其矛盾的：一方面，他私下在朋友面前高度稱贊羅巴切夫斯基是“俄國最卓越的數學家之一”，并下決心學習俄語，以便直接閱讀羅巴切夫斯基的全部非歐幾何著作;另一方面，他又不準朋友向外界泄露他對非歐幾何的認可，也從不以任何形式對羅巴切夫斯基的非歐幾何研究工作加以公開評論。他積極推選羅巴切夫斯基為哥廷根皇家科學院通訊院士;可是，在評選會和他親筆寫給羅巴切夫斯基的推選通知書中，對羅巴切夫斯基在數學上的最卓越貢獻——創立非歐幾何避而不談。

憑著高斯當時在數學界的聲望和影響，只要他振臂一呼，公開支持非歐幾何，至少會改變學術界一邊倒的局面，不讓羅巴切夫斯基在冷漠輕慢和苦悶抑郁中走完生命最后一段坎坷的歷程。然而，在頑固的保守勢力面前，高斯喪失了堅持真理的勇氣，僅僅為了自身的利益和地位，選擇了沉默和觀望。高斯的表現不僅斷送了他成為非歐幾何創始人的可能，而且客觀上也助長了保守勢力對羅巴切夫斯基的攻擊，導致了羅氏幾何遲遲不被公認，實際上阻礙了數學的發展。

非歐幾何創始人羅巴切夫斯基

俗話說，真金不怕火煉。歷史是公允的，非歐幾何最終得到了學術界的公認。這是人類認識史上一個富有創造性的偉大成果，它的創立不僅帶來了近百年來數學的巨大進步，而且對現代物理學、天文學以及人類時空觀念的變革都產生了深遠的影響。

雖然高斯、小波約伊和羅巴切夫斯基都是獨立發現者，但只有羅巴切夫斯基公開發表了他的研究成果;所以，人們把這種新幾何稱為“羅氏幾何”，羅巴切夫斯基亦被贊譽為“幾何學中的哥白尼”。

盡管這是姍姍來遲的肯定，對于歷經磨難的羅巴切夫斯基來說，也還算是幸運的。相比較而言，被軟弱和沉默所埋沒的小波約伊，無疑是令人婉惜的;幸免于難的高斯則是不幸的，因為他給自己留下了永遠不能彌補的缺憾。

【責任編輯】趙 菲