考試數據分布特征量在學風建設中的應用

劉長虹 郝杰 楊晨 陳凱倫

摘 要： 根據教育統計學理論，考試數據的前四階矩，即均值、標準差、偏度、峰度，用于分析學生的學習狀態。通過對不同年級、專業的考試數據所做的前四階矩計算分析，提出考試數據的前四階矩可以分別反映出班級學生的學習情況。因此，可以根據各個班級考試成績數據分布特征量，有針對性地提出改善班風、學風的建議。

關鍵詞： 學風建設 考試數據分布 統計分析 前四階矩

在高校教學過程中，各門課程的考試成績是衡量教學質量、學生知識掌握程度、學習能力、保研出國深造及就業的重要評價指標之一。實際上，教育統計學對于學生考試成績的分析研究早已成為一門專門的學科，在教育學領域中得到了廣泛應用[1，2]。隨著數據挖掘技術的發展和應用，將考試數據挖掘研究應用于對教學質量分析上，取得了很大的進展[3]。但是如何將考試成績的統計分析，應用于指導學生學習和學風建設中，目前還少有論述。下面試著對上述問題進行討論。

1.考試成績數據分布的特征量

考試成績數據分布的特征量，指數據統計中的前四階矩[2，4，5]。由于考試成績數據服從概率分布已是公認的事實，通常各個教學部門都會統計考試數據的前兩階概率矩，即考試成績的均值、標準差。但是從事教學工作的教師都清楚，各門學科的考試成績并不一定服從正態分布。因此，考試成績的前兩階矩無法全面評價學生成績的情況。根據概率統計理論，一般采用前四階概率矩就可以近似逼近任意概率分布函數[6]。

描述考試數據前四階矩，也就是均值、標準差、偏度和峰度的計算公式如下[6]，

是偏倚度，如果概率密度函數對稱時，其值為零。而α4g是峰度，在正態分布情況下，其值為3。

2.考試成績的前四階矩

考試成績的前四階矩分別是均值、標準差、偏度和峰度。其中，均值表示考試成績的平均分數，標準差表示考試成績的分散程度。偏度衡量實數隨機變量概率分布的不對稱性，當偏度為負（稱為負偏態），意味著在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的考試分數值（包括中位數在內）位于平均分數的右側；偏度為正（正偏態）就意味著在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（包括中位數在內）位于平均值的左側；偏度為零，表示考分相對均勻地分布在平均分數的兩側，但不一定意味著是對稱分布。峰度是描述考試分數概率密度函數分布形態陡緩程度的統計量，是和正態分布相比較的量，當峰度值是3，其考試數據服從正態分布。

下面分別對不同年級、專業班級的考試數據進行計算，根據上述公式，得到相應考試數據的前四階距。為了舉例說明，表1列出其中三個班級的三門基礎理論課程考試成績的前四階矩。為方便起見，分別稱三個班為A、B、C。

由表1可以看出，各個班級的考試成績分布并不全是服從于正態分布和對稱分布的，在9個項目的考試成績峰度值中，只有A班大學物理、C班線性代數和電工技術三項成績的峰度值接近3，近似于正態分布的峰態屬于常峰態。B班偏度接近于0為0.0113，即考分分布近似對稱分布于平均分數兩側。

其次，如果均值和標準差很接近，就不能保證考試成績分布一致。以大學物理考試成績為例，三個班級的均值在75分上下，方差在11到15分之間，盡管三個班考試成績的均值和方差均相差不大。但是三個班的偏度和峰度卻相差較大。三個班級中只有班級A的大學物理考試分布近似為正態分布，其余兩個班的考試成績則不服從正態分布。

在表1中，只有B班線性代數的偏度大于零，偏度大于零表示該班大于平均分數的人數多于小于平均數人數。如果假設線性代數考試難度一致無差異的前提下，與其他兩個班級的成績相比，說明B班大部分同學對這門課程掌握程度最好，A班次之，C班最差。

在電工技術考試成績中，B班偏度最小為-2.09，標準差也是最小為7.74，而峰度為最大值8.39，結合上述三個指標，說明有較多同學低于平均分數，但是多數學生分數的差距不大。如同一個陡峭山峰一樣，分數緊密靠在一起，說明盡管B班總體上不如其他兩個班對這門課程掌握得好，但是在班級內對該門課知識掌握的差距不大。通過進一步的調查發現，B班通常采取集體復習方式，所以大部分同學復習充分得分較高，導致最大峰度值。

在表1中，A班是標準差最大的班級，該班分數分散性最大，結合峰度情況，表示該班級同學們學習成績分散性較強。事實證明，該班級在學習方面，同學之間協作少、獨立性最強。因此，在班風建設時，應鼓勵同學們在學習中相互幫助，有意識地培養全班同學集體自習的習慣。

除了大學物理成績外，B班考試的平均分數最高，標準差是三個班中最小的。標準差小即分數離散程度低，說明該班級同學對知識掌握差異性較小，或者在學習方面團結性最強。調查表明，B班是在各科學習時相互幫助、協作性最強的班級。

盡管C班各科平均成績均處于中間水平，而且峰度值較大。但是標準差也較大，偏度為較大的負值，說明盡管大部分同學在平時學習上相互協助較好，特別是物理成績峰度為6.2，體現該班大部分同學能夠參加集體自習，但是由于有少數同學學習狀態差距較大，為此拉低了全班成績，使得考分標準差較大。因此，應該提倡班里采取成績優秀的和成績差的同學“結對子”，以提高全班平均成績，降低成績的標準差。

3.結語

通過上述對于各個年級、班級考試成績的前四階矩計算分析，得出以下結論：考試平均分代表整體學生學習的平均水平；成績的標準差代表考試分數的離散程度，與學生對知識掌握程度的差異有關，班級中好和差成績相距較大；偏度則表示考試分布是否高于或低于平均水平的程度。當峰度為負值時，表示有較多同學考試成績高于班平均分，該班學風較好；峰度則表示考試分數是否像陡峭山峰聚集在一起的程度，體現出班級在學習中團結程度。因此，通過綜合分析考試成績的前四階矩，可以了解學生的學風和班風情況，從而對癥處理，在班風、學風建設中取得更好的效果。

參考文獻：

[1]劉新平，劉存俠.教育統計與測評導論[M].北京：科學出版社，2003.

[2]王孝玲，趙必華.教育統計學[M].北京：北京師范大學出版集團，2008.

[3]劉小桃，林延慶.數據挖掘技術在高校學生學習成績分析中的應用[J].考試周刊，2014，41：108-109.

[4]常振江.學生成績分布與一種簡便的評估試卷命題質量的方法[J].遼寧師范大學學報（自然科學版），2003，26（1）：109-112.

[5]許年春，劉東燕，夏文靜，黃林青.高校學生課程考試成績的正態化換算方法研究[J].重慶科技學院學報（社會科學版），2014，7：143-146.

[6]李超，劉長虹.蠕變損傷概率的Edgeworth級數近似分布函數的研究[J].機械設計與制造，2013，9：124-129.