浦長宇
所謂星狀多邊形,指的是如圖(1)的形狀.像這樣,只要n是大于1的奇數,那么不管多大的數目,都可以把它看做一個星狀n角形來考慮.
什么是它們的內角和呢?與三角形的內角和概念類似,例如星狀五角形是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E,而星狀七角形則是∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G.
活動一 動手實驗 —— 發現問題
同一小組(每小組6人)的每個成員,選擇2種不同的星狀多角形,使用量角器度量它們的各個內角,記錄各自的測量數據,計算它們各自的內角和.
每小組成員交流,匯總各小組的實驗結果,得出實驗猜想.
活動二 動腦思考 —— 分析問題
先從簡單的星狀五角形開始考慮.為了求出內角和,試著畫出如圖2中的輔助線CD.
然后,以下的數學式就會成立.
∠B+∠E=∠____+∠___(兩者都等于圖中的∠α)
因此,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G就等于__________________.
其次是星狀七角形,如圖3,畫輔助線BG.
那么∠C+∠F=∠____+∠_____ (兩者都等于圖中的∠β)
接下來要求的內角和,就等于新的星狀五角形______的內角和,之前已經證明過等于_____.
活動三 反饋成效——解決問題
問題1.星狀多角形的內角和是多少?
星狀九角形的內角和可以歸結成________,然后又可以歸結為____________內角和,并最終歸結為_________的內角和,等于______°
由此,星狀多角形的內角和是___________.
問題2.通過這個問題的探究,我們在碰到較復雜的問題時,應如何思考?
活動四 拓展應用——聯想轉化
在看過星狀奇數角形之后,應該會對星狀偶數角形的情形產生疑問.
如圖4,這些圖形的內角和是多少呢?
首先,不妨做個預測,你覺得星狀偶數角形的內角和是多少?
如圖5,偶數角的圖形,把星狀奇數角形的尖端部分切掉之后得到.
相反地,星狀偶數角形就是添加三角形變成奇數角形.
我們遵循由簡單情形開始的規則,首先要計算的是星狀十角形.假設星狀十角形的內角和是x,接著在五個頂端加上三角形(如圖6),那么
這里出現的所有角度,會是星狀十角形內角和x再加上五個三角形的內角和,表示為:_______________.
接下來可以再把它看做_______個平角加上星狀五角形的5個內角和,表示為:________.
那么可以列出x的方程:______________,
所以x = ____________.
這種方法,也可適用星狀十四角形.
不過,如圖7新增的三角形個數變成7個,平角就有14個.
請探索星狀偶數角的多角形內角和.
(作者單位:江蘇省常熟市古里中學)