追尋自然的數學教學

焦肖燕

一、數學是自然的

何謂數學？培根認為“數學是打開科學大門的鑰匙”，黑格爾認為“數學是上帝描述自然的符號”，而最為人們耳熟能詳和廣泛認同的是恩格斯關于“數學是研究現實生活中數量關系和空間形式的科學”的論斷。從數學發展歷史來看，雖然不同時期對數學的理解不斷變化，但從每位名人名家的詮釋中都能看到數學的自然力量。數學是將大自然中存在的各種規律，用數字與公式的形態表示出來。例如：為了方便對自然界中事物數量的統計才產生了自然數；隨著時代的發展，人們發現很多事物不能用自然數計量時，就出現了分數、小數、負數等；為了方便研究自然界中物體的特性，就產生了各種幾何圖形；為了揭示自然界中各種事物的普遍規律，數學家們得出了很多定義、定理、推論等。再例如，為了求解自然界中很多未知事物，人們往往通過建立數學模型來解決這些問題……類似的例子舉不勝舉，可見數學的產生是自然的，是對自然規律的一種客觀反映；數學本身是自然的，在自然的前提條件下得到自然的結論；數學探究過程是自然的，是一種遵循邏輯順序的自然推進過程。數學和歷史一樣都只是生物的活動在自然界留下的印記，數學是一門源于自然、依賴自然界客觀存在的規律而發展形成的學科。

二、數學教學也是自然的

數學是自然的，數學教學也應該是自然的，是水到渠成的。記得人教版高中《數學》教材主編劉紹學先生在《主編寄語》中有這樣一段話：“教科書中出現的數學內容，是人類長期實踐中經過千錘百煉的數學精華和基礎，其中的數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應用以及它與其他概念的聯系，你就會發現，它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味，這將有助于大家學習?！币虼?，學生的數學學習過程實際上是對自然的數學知識“再創造”的過程。教師應該遵循數學知識的發生發展規律，使學生能大致經歷數學家獲得數學發現時的思維過程，為學生的“再創造”創造條件。另外，由于人類本身也是自然界的產物和存在物，其包括數學在內的整個科學思維方式和規則也是在長期改造自然現實的漫長活動中形成的。所以對于學生來說，自然是他們的天性，學生并不是空著腦袋走進教室，日常生活和以往的學習經驗已經使他們具備了豐富的經驗背景。在教學中，教師要順著學生的思維自然地提出問題、分析問題和解決問題。在教給學生知識之前，教師首先要了解學生的知識結構中已經有了什么，他們的知識基礎如何，在此基礎上確定學生的“最近發展區”，那種無視學生知識基礎的教學是對學生最大的不尊重。教學只有關注到學生的內在需求，才能讓他們積極主動地投入學習，從而在一種自然的、主動的狀態下完成“再創造”的過程。

三、實現自然數學教學的策略：順木之天，以致其性

如何追尋自然的小學數學教學呢？一句話概括，那就是順木之天，以致其性。順應知識發生發展的自然規律，尊重學生的原有知識基礎和身心特點，做到貼著學生的思維脈搏進行教學，學生的智慧和天性才能得以自然地成長。下面筆者結合自己的教學實踐談談對“追尋自然數學教學”的一些思考。

1.認識、把握和順應知識本身的發展規律

（1）在追溯中感受知識的自然原型。每一個新的概念、方法、公式、定理的產生，都源于一定的需要，這種需要的前提和背景就是數學知識的本源。在教學中，教師要讓學生了解數學知識產生的背景和發展過程，知道其來龍去脈，也就把握了知識本源和數學思想方法。比如，兒童對自然數概念的理解和認識就與人類對自然數概念的認識走過了幾乎相同的道路，如果教師能夠讓學生體驗自然數概念的形成和發展過程，就能更好地幫助學生理解自然數。像十進制計數法和十進位值制，就是兩個不同的概念。因為人一共有10個手指，所以產生十進制并不為奇，但十進制計數法到十進位值制卻走過了一段漫長的路。位值制的發明是計數歷史上的一個劃時代的奇跡，正是有了位值制，人們才可以用有限的幾個數字表示出無限多個自然數，因此馬克思在他的《數學手稿》中稱十進位值制為“最奇妙的發明之一”。如果教師了解這段歷史，知道人類發明十進位值制的艱辛和不易，就能知道“位值”對于學生來說是非常抽象的，并且在自然數的認識中是相當重要的。教學中教師切忌不能一帶而過，而是要根據學生已有的生活經驗，充分利用直觀的計數材料，像數位筒、計數器或者算盤等，設計有趣的數學活動來使學生深刻理解“位值”的概念，感受這一計數方法的優越性。

（2）在抽象中經歷知識形成的自然過程。數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式上的本質屬性的思維方式，如果生硬地灌輸給學生，而不讓學生經歷抽象概括的過程，那么，在學生的頭腦中，這些數學概念只是一種形式上的符號，而缺乏現實意義。對于整數，學生并不感到陌生，在入學之前，學生已對具體的數有了比較豐富的感知，他們會讀、會寫、會說一些具體的數。但這時學生頭腦中的數還是與具體的事物聯系在一起的，比如2個人、3個玩具等。在教學中我們要關注從現實情景抽象出數的過程，例如，從具體的2匹馬、2棵樹、2頭牛、2個人，抽象出“2”這個數，這時用一個數字也是一個特殊的符號來表示數量，已經把具體的單位和這個數量的具體含義去掉，抽象為數“2”了。反過來， “2”也可以表示任何具有這樣數量特征的事物。

（3）在多元表征中豐富知識的自然形態。一個數學概念或者數學問題，往往可以通過多元的形式來表征它。不同的表征形式是為了對概念或者問題進行不同的解釋，即從不同的角度、不同的視角對其本質進行視覺化或體驗化的闡述，使學生獲得更深刻的體驗，從而達到對數學本質的感悟。其中，每一種表征形式都是基于信息本質的基礎上，經過信息系統的加工處理生成的，使信息及其相關聯的表征一起形成了一個表征系統。所以不同形式的表征不僅豐富了知識的內涵和外延，而且每種表征形式之間相互補充、相互完善。比如：學生在學習萬以內數的認識時，可以通過幾何圖形的點、線、面、體，使學生在頭腦中建立“一、十、百、千”的幾何模型。通過圖像表征，讓學生體會10 個一是十，10 個十是一百，10 個一百是一千，10 個一千是一萬……從而在學生的頭腦中建立一個清晰的模型——“滿十進一”，這對于學生理解計數單位和位值制有很大幫助。

（4）在整體把握中溝通知識的自然聯系。數學知識具有很強的系統性，前一個概念也許是后一個概念的基礎，而后一個概念也可能是前一個概念的發展。這種縱向關系，溝通了前后概念，形成了一個概念系統。像自然數、分數、小數，它們都有著千絲萬縷的聯系：當使用的度量單位能夠順利測量時，就看累加了多少個度量單位，那么測量結果就可以用自然數來表示，反之當度量單位太大，不能順利測量時，就需要將度量單位平均分成n份，以其中的1/n為單位，數出m個單位，則測量結果可以用m/n這樣的分數來表示，當n=10，100，1000……這個量的大小就用十進分數也就是小數來表示。所以教學中教師是否能夠對所教內容的本質與其長遠教育價值進行深入細致的分析，就決定了我們數學課的高度和厚度。

2.認識、把握和順應學生自身的認知規律

（1）要基于學生已有的經驗基礎進行教學。數學教學的對象是學生，影響學生學習最重要的因素是學生已經知道了什么。因此，在教學中教師要基于學生原有的數學認知結構，要在學生的“最近發展區”展開教學。比如：五年級“小數的意義”教學，之前學生在三年級已通過人民幣單位和米制單位的轉化，從數和量兩個方面初步感知了一位小數，感受到了小數與生活的聯系。因此到五年級繼續學習小數時，完全可以應用概念的同化方式，從數學本身的邏輯關系展開教學，從學生已有的一位小數的學習經驗類推出兩位小數、三位小數……從而抽象概括出小數的意義。心理學家認為：概念可以從大量的同類事物的不同例證中獨立發現，這種概念的獲得方式叫概念的形成。也可以用定義的方式向學生直接展示，學生利用已有認知結構中的有關知識來理解新概念，這種概念的獲得方式就是概念的同化。教師運用哪種方式進行教學才是最有效的，關鍵取決于學生已有的知識經驗，只有基于學生已有知識經驗的教學才能使學生學得主動、學得積極。

（2）要基于學生身心發展規律進行教學。蘇霍姆林斯基曾說過：在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者，在兒童的精神世界里這種需要特別強烈。因此，教師應創設情境，提供指導，讓學生帶著問題，在愉悅的氛圍中進行有效的自主探索，以自然、人本的方式展開學習。例如，在教學蘇教版三年級《數學》下冊 “24時計時法”時，教師可以創設這樣的問題情景：“一天有24小時，但鐘面上只有12個數字，怎樣用這12個數字來表示一天中的24個時刻呢？”或者創設這樣的問題情景：“小明九時在上課，小紅九時卻在睡覺，同樣是九時，怎么一個在上課一個在睡覺呢？”通過創設問題情境，激發學生的好奇心和求知欲，讓學生帶著問題，在矛盾沖突中展開學習。

總之，自然的數學教學就是要追尋知識的本源，溝通知識的聯系，做到教師自然地教；了解學生發展的局限性和潛在的可能性，順應學生身心發展的規律和已有的經驗基礎，做到學生自然地學；在和諧、自然的狀態下讓師生共同享受教與學的樂趣。