一種基于廣義特征向量的改進ESPRIT測向算法

徐保根，謝 偉，萬義和，湯四龍，龔 輝，丁學科

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一種基于廣義特征向量的改進ESPRIT測向算法

徐保根1，謝 偉2，萬義和1，湯四龍1，龔 輝1，丁學科1

(1. 同方電子科技有限公司 江西九江 332007; 2. 電子科技大學電子工程學院 成都 611731)

基于信號子空間的ESPRIT算法不需要進行譜峰搜索，但是估計方差大于MUSIC算法。該文提出了一種基于廣義特征向量的ESPRIT算法，利用信號子空間旋轉不變關系矩陣的廣義特征向量估計信號波達方向，得到了比基于廣義特征值算法更準確的方向估計結果。該算法充分利用了信號子空間的旋轉不變特性，通過利用信號子空間與陣列流形的關系進行波達方向估計，實驗證明該算法能夠在保持小計算量的優勢下達到與MUSIC算法相近的性能。

波達方向; 廣義特征向量; 最小二乘; 陣列流形

陣列信號處理廣泛地應用于雷達、聲納、無線通信、地震學等領域，波達方向估計(空間譜估計)作為陣列信號處理中的一個重要研究方向，近幾十年來吸引了大批學者進行研究，以最大似然算法(ML)[1]為代表的子空間擬合類算法估計精度最高，但該算法需要求解一個多維非線性優化問題，運算量相當大，不利于工程應用。

子空間類算法中MUSIC算法[2]以分辨力強、穩定性好以及在一定條件下能夠逼近克拉美-羅界[7]而得到了很大的重視，但是需要譜峰搜索。而作為MUSIC算法的孿生算法，ESPRIT算法[3]應用信號子空間的旋轉不變特性得到波達方向估計的閉式解，避免了計算量大的問題。但是ESPRIT算法僅利用到信號子空間旋轉不變關系矩陣的廣義特征值，而由于噪聲的影響導致自相關矩陣估計存在誤差，這對特征值的估計造成了波動[4]。

針對傳統ESPRIT算法估計方差大的問題，本文利用波達方向與廣義特征值向量的關系進行求解，通過關系矩陣與陣列流形的關系，進行信號波達方向估計。該方法計算量低，可以得到多個估計值，將其平均以達到對波動抑制的效果，最終達到與MUSIC算法逼近的估計性能。

1 信號模型

(2)

(4)

2 旋轉不變特性

ESPRIT算法最基本的假設是存在兩個完全相同的兩個子陣，針對本文信號模型可選取陣列的前個陣元為子陣1，后個陣元為子陣2，兩個子陣接收的數據分別為和：

由陣列流形的范德蒙特性易得到陣列流形旋轉不變性關系：

(6)

在信號不相關的假設下可知，陣列流形與自相關矩陣的信號子空間具有相同的值域。因此存在一個唯一的非奇異矩陣使得下式成立：

(8)

(10)

3 基于特征向量的ESPRIT算法

3.1 基于廣義特征向量的ESPRIT算法

然后，由陣列流形的范德蒙特性有：

(16)

3.2 廣義特征向量矩陣的求解

廣義特征向量的求解可以采用QZ分解[8]。在式(10)中給出了信號子空間旋轉不變關系矩陣同陣列流形旋轉不變關系矩陣的關系：，從而可以將求解廣義特征向量和廣義特征值的問題轉化為求解，并通過的特征分解得到特征向量和特征值[12]。

(18)

(20)

迭代求解算法包括STLS算法[10]、SLS算法[5]和CTLS算法[6]等。但這類算法借助高斯迭代或逆迭代求解大大增加了運算量，因此對這類算法不做考慮。

3.3 算法流程及分析

根據上述分析可以得到基于廣義特征向量的波達方向估計算法流程如下：

2) 對自相關矩陣進行奇異值分解，通過提取大特征值對應的特征向量劃分信號子空間，如式(8)所示；

4) 對式(18)或式(20)進行特征值分解或者利用QZ分解求解廣義特征值分解，得到廣義特征向量矩陣估計；

6) 利用式(16)對波達方向進行估計。

基于廣義特征向量的ESPRIT算法具有傳統ESPRIT算法計算量小的優點，增加的計算量集中體現在式(14)及式(16)的上，僅僅增加了次乘法運算及次加法運算。不考慮ESPRIT算法與MUSIC算法都存在的計算過程，MUSIC算法譜峰搜索需要計算量為，為網格劃分數。而以QZ算法為例，需要[8]，加上增加的計算量仍然遠遠小于MUSIC算法(一般有)。

4 實驗仿真

為了討論基于廣義特征向量的ESPRIT算法的性能，在同一環境下分別采用基于譜峰搜索的MUSIC算法、基于廣義特征值的ESPRIT算法以及基于廣義特征向量的ESPRIT算法進行波達方向估計的3個實驗。

仿真條件為8個陣元組成的均勻線陣，陣元間隔為1/2個波長，噪聲均為高斯白噪聲。為了討論在不同條件下的性能，每個試驗都重復進行了500次獨立實驗。

4.1 實驗設置

實驗一：信噪比的影響

實驗設置3個非相關的遠場窄帶高斯信號源分別從-20.1°、1°及29.2°入射到陣列。每次實驗快拍數均取20。為了討論信噪比對算法估計的影響，信噪比取值范圍為-5 dB到20 dB，每隔3 dB取一個值，針對每個信噪比設置進行實驗。結果如圖1所示。

圖1 均方根誤差隨信噪比變化曲線

實驗二：快拍數的影響

信號源個數以及來波方向設置如實驗一?？炫臄等≈捣秶鸀?0～100，每隔5取一個值。針對每個設置的快拍數分別進行實驗。信噪比均設置為10 dB。實驗結果如圖2所示。

實驗三：多目標估計效果

設置信噪比固定為10 dB，快拍數為20。為了考慮估計目標個數對算法性能的影響，分別進行了7次實驗。第()次實驗分別取[-50.35°,-35.75°,-19.6°,-4.2°,10.41°,24.3°,43.8°]中的前個值為入射信號的角度，入射信號均為非相關遠場信號，實驗結果如圖3所示。

圖2 均方根誤差隨快拍數變化曲線

圖3 均方根誤差隨信號個數變化曲線

4.2 實驗結果分析

從3個實驗看出，基于廣義特征值分解的ESPRIT算法不管在任何情況下估計性能均優于基于特征值的ESPRIT算法，特別在信噪比小或快拍數小的情況下，基于廣義特征向量的ESPRIT算法與MUSIC算法的均方根誤差曲線接近重合。

為了度量基于廣義特征向量的ESPRIT算法對基于廣義特征值的ESPRIT算法的改進程度，引入改進率概念：

綜合3次試驗的結果，在不同信噪比、快拍數下，基于廣義特征向量的ESPRIT的平均改進率達到了18%。在不同信源個數下的改進率分別為[15% 12% 10% 8% 5% 2% 0]。

5 結束語

旋轉不變矩陣特征值含有波達方向信息，但是利用該信息估計波達方向誤差較大。本文在ESPRIT算法框架下提出利用廣義特征向量對波達方向進行估計。首先建立驅動矢量與廣義特征向量的關系；然后利用陣列位置及信號波長的先驗信息反演出波達方向，提高了ESPRIT算法的估計精度。

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編 輯 張 俊

An Improved ESPRIT Algorithm Based on Generalized Eigenvectors

XU Bao-gen1, XIE Wei2, WAN Yi-he1, TANG Si-long1, GONG Hui1, and DING Xue-ke1

(1. TongFang Electronic Science and Technology Co. Ltd. Jiujiang Jiangxi 332007; 2. School of Electronic Engineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

Estimation of signal parameters via rotational invariance techniques (ESPRIT) algorithm does not need spectral peak searching, but the estimated variance is greater than the multiple signal classification (MUSIC) algorithm. This paper proposes a generalized eigenvector-based ESPRIT algorithm, which makes full use of generalized eigenvectors of rotation invariant relationship matrix and obtains a better performance when compared with traditional ESPRIT algorithm. The experimental results show that the proposed algorithm can achieve the similar performance of the MUSIC algorithm while keeping a low computational complexity.

direction of arrival; generalized eigenvector; least squares approximations; matrix manifold

TN911

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.02.007

2013-04-01；

2015-01-13

國家自然科學基金(61401069)

徐保根(1965-)，男，高級工程師，主要從事陣列信號處理方面的研究.