最值到底在哪里

黎源

北師大版九年級數學下冊第二章《二次函數》的第六節《何時獲得最大利潤》與課本配套《練習冊》上有這樣一道題：“某居民小區在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園，花園一邊靠墻，另外三邊用總長為40m的柵欄圍成，如圖，求花園的最大面積。

學生解：設BC=x米，則AB= 米，設花園的面積為y平方米，∴y=x· =- x2+20x;

∵- <0，拋物線的開口向下，

∴函數有最大值，最大值為= =200。

答：最大面積為200m2。

這個解法中存在的問題的根源是學生機械套用二次函數的最大值公式，而忽視了二次函數自變量的取值范圍和二次函數圖像之間的關系。而自變量的取值范圍和函數圖像的關系又是學生學習函數中的一項重要內容，對于這個問題我設置了如下問題：

已知：y=（x-1）2-4，分別在下列條件下畫出函數的圖像并求出函數的最大、小值。

①一切實數;②3≤x≤4;③-2≤x≤0;④0≤x≤3;⑤-1≤x≤2。

解：由y=（x-1）2-4得出開口向上，對稱軸為x=1，頂點坐標為（1，-4）。

①x是一切實數，函數圖像是整支拋物線，∴x=1時y有最小值-4，無最大值。

②當3≤x≤4時圖像如圖2，此時y隨x的增大而增大?！喈攛=3時，y有最小值0;x=4時，y有最大值5。

③當-2≤x≤0時，圖像如圖3，此時y隨x的增大而減小?！喈攛=0時，y有最小值-3;x=-2時，y有最大值5。

④當0≤x≤3 時，圖像如圖4?！喈攛=1時，y有最小值-4;x=3時，y有最大值0。

⑤當-1≤x≤2時，圖像如圖5?！喈攛=1時，y有最小值-4;x=-1時，y有最小值0。

在解決這個問題時，利用輔助多媒體的幾何畫板和學生一起分析。接著又把函數解析式變成y=-（x-1）2-5，其它條件不變，和學生一起總結當自變量的范圍在a≤x≤b之間時，如何求二次函數的最值方法。

最后和學生一起小結：

當開口向上時：

①對稱軸在x的取值范圍的左側，y隨x的增大而增大。

②對稱軸在x的取值范圍的右側，y隨x的增大而減小。

③對稱軸在x取值范圍上，最小值在頂點處，哪一個端點離對稱軸遠，哪一個端點的函數值就大。

當開口向下時：

①對稱軸在x的取值范圍的左側，y隨x的增大而減小。

②對稱軸在x的取值范圍的右側，y隨x的增大而增大。

③對稱軸在x取值范圍上最大值在頂點處，哪一個端點離對稱軸遠，哪一個端點的函數值就?。磳ΨQ軸在x的取值范圍的中點的左側，右側端點處取最小值;對稱軸在x的取值范圍的中點的右側，左側端點處取最小值）。這樣，不提閉區間，也不用字母表示各種情況，學生掌握起來難度就小很多，效果也很好。

課堂練習：

某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元。市場調查發現，若以每箱50元的價格銷售，平均每天銷售90箱;價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（2）求該批發商平均每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？