創意折疊桌加工參數的優化設計

趙店，朱家明，繆靈均，廖夢雨

（1.安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經大學 國際經濟與貿易學院，安徽 蚌埠 233030）

創意折疊桌加工參數的優化設計

趙店1，朱家明1，繆靈均1，廖夢雨2

（1.安徽財經大學 統計與應用數學學院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財經大學 國際經濟與貿易學院，安徽 蚌埠 233030）

針對創意折疊桌設計加工參數，依據所給條件，綜合考慮桌子穩定性、加工使用材料量等因素時確定最優加工參數等問題，通過創建幾何空間、非標準單葉雙曲面函數的構造、空間曲線擬合等方法，分別構建非標準的桌子直紋曲面函數、多元函數極值等模型，使用MATLAB，CAD等軟件編程和繪圖，得到最優設計加工參數的數學模型。

創意折疊桌；空間幾何；直紋曲面；單葉雙曲面；多元函數；MATLAB；CAD

創意平板折疊桌的創意最初來自于荷蘭設計師obert van Embricqs［1］。桌子中巧妙地利用了條狀機構，讓它在需要的時候可以形成穩定的三角支撐變成桌子，不需要的時候可以變回原來的平板狀態，具有折疊的功能，節約空間，收放自如。折疊桌的設計形式多種多樣，攜帶方便，便于裝卸搬運，加工經濟方便，這正是生產者所追求的。本文就所給平板折疊桌的相關參數，從定量的角度進行建模分析，既給出了既定參數下直紋曲面的方程，又給出了在穩固和用材少的情況下折疊桌的設計方案，并按顧客需求給出了合理的優化設計方案（詳細數據見2014全國大學生數學建模競賽B題［2］）。

1　折疊桌的數學描述及分析

1.1研究思路

1.1.1建立三維坐標

以桌面底面圓心為坐標原點，左側桌腿方向為x軸，垂直桌腿的方向為y軸，豎直方向為z軸，建立如圖1所示的空間直角坐標系。 根據桌腿的長度及寬度計算出各個桌腿、切割處、鋼筋等端點的坐標。根據坐標關系求解出點與點之間，線與線之間的距離及以下問題。

圖1　空間直角坐標示意圖

1.1.2動態變化說明

鋼筋的變化過程可以看作是一根棍子圍繞與它平行的一條直線進行圓周運動，故該鋼管的運動軌跡是以其中一組桌腳最外側兩根桌腿的連線為旋轉軸，最外側即最長木條與桌面連接處到鋼管固定處距離為半徑旋轉而成的圓柱體。木條開槽是在收起和折疊時起到固定作用，開槽長度決定桌子高度和穩定性。在桌子收起作為普通木板時，鋼管剛好處于木板最中間位置；在完全折疊后，鋼管則剛好處于該木條的頂端。兩次最短木條連接處到鋼筋的距離差即為中間木條開槽長度：

1.2研究方法

1.2.1非標準直紋曲面函數模型

按照圖1的空間直角坐標系，假設各端點坐標集為｛（Xm， Ym， Zm）（m=1， 2， …i， …j， …n）｝，則兩點之間距離S可表示為：

由于鋼管旋轉形成的圓柱面的母線與y軸平行，故其曲面方程［3］與y無關：

設一組桌腿最外側兩個端點坐標分別為?。▁α，yα）， B（xb， yb）；平板水平放置時鋼管兩個固定點及中點坐標分別為C （xc， yc）， D （xd， yd）， N （xn， yn）；最短木條與桌面連接處（兩個端點，這里只考慮其中一個端點）的坐標為M （xm， ym）；鋼管旋轉至底部時，兩個固定點及中點坐標變為C1（xc1， yc1）， D1（xd1， yd1）， N1（xn1， yn1）；則木條開槽長度l表示為：

記鋼管旋轉至某一狀態木條底端坐標為｛（xi， yi）i = 1， …， 20｝，單葉雙曲面函數為：

根據單葉雙曲面函數構建類單葉雙曲面函數：

MATLAB中使用程序計算出折疊桌上每個端點的坐標，表1是一側桌腳在鋼管最終狀態下木條底部端點的坐標。

表1　最終狀態桌腳端點坐標值

利用MATLAB確定桌子折疊的最終狀態是：

在鋼管旋轉30°時，直紋曲面方程［4］被確定為：

運用MATLAB軟件畫出該折疊桌最外側桌腿旋轉角度分別為30°和75°時直紋曲面圖，見圖2、圖3。

圖2　折疊角度為30°折疊桌曲面圖

圖3　折疊角度為74°折疊桌曲面圖

1.3結果分析

觀察圖2和圖3的直紋曲面，可以看出隨著最外側桌腿旋轉角度的增大，該曲面的凹度更深，而且桌腳邊緣線形成的空間曲線在Z軸方向表現得更立體。

隨著最外側桌腿旋轉角度的增大，其直紋曲面的凹陷程度更深，曲面方程的常數項更小。

利用MATLAB工具，求解出M， N， N′點坐標分別為M（25， 0， 0）， N（33， 5， 0， 0），N′（15.8， 0， - 24.99）。根據公式（1）求出槽的長度為：18.13 cm。根據表1最終狀態桌腳端點坐標值畫出兩條桌腳邊緣線的空間曲線圖，見圖4。

圖4　桌角邊緣線空間曲線圖

桌角邊緣線投影在平面xoz上擬合的曲線方程為：

該擬合曲線的可決系數為0.9997。

投影在平面yoz擬合的曲線方程為：

該擬合曲線的可決系數為0.9935。

投影在平面xoy擬合的曲線方程為：

該擬合曲線的可決系數為0.9958。

3條擬合曲線在4次擬合情況下可決系數值都大于0.99，說明4次擬合曲線具有很高的代表性，能夠說明投影在平面內曲線的趨勢。

2　折疊桌加工參數與穩固性、用材少的關系

2.1研究思路

設桌子平鋪時總長度為2a，鋼筋到圓心的距離為x，圓桌面的半徑為r，總長度與兩條最外側桌腿的長度差為20 cm，用桌子平鋪時的俯視圖表示，見圖5。

當桌腳旋轉至最低端時，最外側桌腿與中間位置的桌腿形成的是空間夾角。畫出兩條腿在平面xoz上的投影，投影見圖6。

圖5　俯視圖

圖6　投影圖

圖6中ΑB兩點所在的直線即為最短桌腿，CΑ兩點所在直線即為最長桌腿。根據鋼筋在最外側桌腿位置即旋轉角度可以確定鋼筋所在位置的豎坐標z和橫坐標x，從而得到Α點坐標即中間桌腿旋轉后鋼筋的所在點坐標。

2.2研究方法

根據坐標間關系寫出Α點和B點坐標表達式：?。?0 + （x-10） sinθ， 0， （x-10） cosθ ），B（r， 0， 0）其中

方程（2）中桌面高度和桌面直徑是給定的，但是在不同需求情況下其值是不斷變化的。將方程（2）用f （α， x）表示，對該二元函數求極值：

2.3確定加工參數

將問題二中要求的桌子高度和桌面直徑代入方程（2）中，得到：

使用MATLAB求出該二元函數取極值的結果：平板半長a 為84.07 cm，平板中心到鋼管的距離x為44.37 cm。

再使用問題一模型求解中間桌腿的凹槽長度為33.24 cm；最外側桌腿旋轉角度為70.9205°，中間桌腿旋轉角度為107.4866°，兩桌腿在平面xoz投影形成的夾角為11.45°。

3　平板形狀與折疊桌高度、桌腳邊緣線形狀之間的關系

3.1研究思路

桌面邊緣線反映了桌面的大致形狀，可以是圓形、橢圓形、菱形、跑道型［5］等。

桌腳邊緣線是一個空間曲線，桌腳邊緣線的確定也就是桌腿末端坐標點的確定，進而可以確定鋼筋的位置，桌子展開時每條桌腿所旋轉的角度。

設平板尺寸為2a×2b×2c，給定桌面高度為h，寬度2b，桌腿寬度d，則桌腿的個數為2b / d個，以平板的中心位置建立如圖1所示的三維坐標系，則初始鋼筋位置為（x， 0，0）。

3.2研究方法

由桌子的側視圖圖5所示，分別求出每根桌腿的長度：

固定鋼筋與桌子底面的距離：

桌腿在運動過程中鋼筋運動的弧形軌跡：

第i根桌腿中鋼筋的坐標為：

第i根桌腿木條開槽的長度：

由正余弦定理得：

得當α在所限制條件的范圍內取得最大值時，桌子的穩固性最好，因為支撐點與鋼筋在中間桌腿上的點形成一個穩固的三角形，所以此時的桌子是最穩固的，即為最優解。

3.3桌面為跑道型的動態分析

我們對問題第一問進行深化探究，給定平板尺寸，使平板的長度增加為145 cm，在寬度和厚度不變的情況下增加桌面的面積，把原來圓形的桌面改寫成跑道形狀的桌面。修改最長桌腿與地面的夾角，用MATLAB運行程序可得出桌子折疊的動態變化過程，在這里我們只取變化過程中夾角為30°和75°時折疊桌的折疊狀態，見圖7和圖8。

圖7　折疊角度為30°折疊桌曲面圖

圖8　折疊角度為75°折疊桌曲面圖

4　結束語

該文對折疊桌動態變化過程的描述不僅使用了多張反映動態變化的圖片，還計算出桌腿在空間變化時兩個不同位置所對應的類單頁雙曲面方程。巧妙地將穩定性問題轉化為角度問題，建立二元函數，進而通過求極值，解得最優參數，同時在考慮折疊桌穩固的情況下設計出用材最少的設計模型，最后設計的跑道型折疊桌滿足了人口較多的家庭的需求，打破傳統的圓形桌面，設計美觀。

［1］ 可折疊成平板的桌子［EB/OL］.（2012-02-22）［2015-03-03］. http://www.ixiqi.com/archives/42782.

［2］ 2014年高教社杯全國大學生數學建模競賽B題（14-09-11）［EB/OL］.（2014-09-11）.［2015-03-03］.http:// www.mcm.edu.cn/html_cn/block/c61dfec317d7a5bd9b2b8ef ed81c8af3.html.

［3］ 黃艷紅.二次曲面討論［J］.邢臺職業技術學院學報，2004（1）：15-16.

［4］ 沈守國，徐新成，趙中華.直紋曲面類零件的CAD/CAM技術研究［J］.制造業自動化，2013（2）：8-11.

［5］ 韓佳成，Robert Van Embricqs.平板折疊邊桌［J］.設計，2012（8）：24.

A Research on the Optimization of Processing Parameters of Creative Folding Table

ZHAO Dian1， ZHU Jiaming1， MIAO Lingjun1， LIAO Mengyu2
（1.School of Statistics and Applied Mathematics， Anhui University of Finance and Economics，Bengbu Anhui 233030， China； 2.School of International Economic and Trade， Anhui University of Finance and Economics， Bengbu Anhui 233030， China）

The paper determines the first-rate process parameters for making creative folding table mainly based on present conditions and taking the stabilization of the table， the quantities of material and other factors into consideration. We construct the models that are non-standard ruled surface function and the extreme value of multivariate function respectively， and then use the software of MATLAB， CAD to write program and paint in order to get the mathematic model with the first-rate designing process parameters through setting up geometry space，atypical uniparted hyperboloid function and space curve fi tting.

creative folding table； space geometry； ruled surface function； uniparted hyperboloid function；multivariate function； MATLAB； CAD

TS664.01

A

1674 - 9200（2015）06 - 0069 - 05

（責任編輯 劉常福）

2015 - 03 - 03

國家自然科學基金項目“隨機動力系統的非一致指數二分性及其數值模擬”（11301001）；安徽財經大學教研項目“數學建模競賽引領大學生科研創新的研究”（acjyzd201429）。

趙 店，安徽財經大學統計與應用數學學院2012級本科生。

朱家明，安徽財經大學統計與應用數學學院副教授，碩士，E-mail:zhujm1973@163.com。