基于數學建模的創意平板折疊桌的加工設計研究

李成麗 楊靜靜 李海萍 張 妮

基于數學建模的創意平板折疊桌的加工設計研究

李成麗 楊靜靜 李海萍 張 妮

（興義民族師范學院， 貴州 興義 562400）

基于數學建模思想，利用Lingo軟件處理數據，充分整合了數學、計算機及美學等多學科知識，具有較強的創新性。根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，能使桌子滿足造型及靈活度上的要求，減少了誤差，最后給出了創意平板折疊桌的動態展示圖。

數學建模；折疊桌；加工設計；LINGO

一、問題的提出

桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板（見圖1、圖2）。

圖1

圖2

桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度（見圖3）。桌子外形由直紋曲面構成，造型美觀。

圖2

1.給定長方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。試建立數學模型描述此折疊桌的動態變化過程，在此基礎上給出此折疊桌的設計加工參數（例如，桌腿木條開槽的長度等）和桌腳邊緣線的數學描述。

2.折疊桌的設計應做到產品穩固性好、加工方便、用材最少。對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優設計加工參數，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對于桌高70cm，桌面直徑80cm的情形，確定最優設計加工參數。

3.公司計劃開發一種折疊桌設計軟件，根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。

二、模型假設

1.假設從最外側到中間的桌腳長差距大小為等差數列且用于連接桌腳的鋼筋固定于最外側桌腳木條的中心位置。

2.假設最外側四條桌腳與地面接點間連線呈矩形。

3.木板各部分成分均勻，是理想材料，幾何參數一致，不存在加工上的困難；

4.桌腿相互間接觸，不存在間隙

三、符號說明

符號符號的意義hi 第i根木條上的鋼筋到對應木條頂點的垂直距離mi 第i根木條對應的桌腳到桌面圓心的距離b桌面的木條及桌腿的寬度n桌面的木條根數Y0 最內側木條所在的Y軸坐標θ1 第一根桌腿轉過的角度，也等于與地面所成的夾角θi 第i根桌腿轉過的角度Li 第i根桌腿的長度D桌面圓的直徑

桌面厚度（即板厚度）ιi` 桌面第i根木條的長度Hi 第i根桌腿上開槽的長度αi 第i根桌腿上開槽的頂點到桌腿頂端的距離x鋼筋在第一根桌ι腿上，距離桌腿底端的距離Z0 表示最內側木條所在的Z軸坐標d

四、模型的建立與求解

問題一：該問題已經給出木板的尺寸，只需通過木板的尺寸及要求通過建立模型得出此桌子折疊的動態過程，同時可以得出設計加工參數以及邊緣腳的曲線函數。

最外側桌腳長度為L1，其與地面夾角為60°，木條寬為2.5cm，根據勾股定理求得L1=57.74cm，k=4.52cm.（如圖4）

圖4

最短木條L10=35cm，因連接桌腳木條的鋼筋固定在最外側木條中心位置且木條長度差呈等差數列，故有，從第十根桌腳到最外側桌腳（以下凡是涉及桌腳位置的均以最外側的桌腳為第一根）的等公差d=L1-L10/=2.52。

由以上數據可分別得出木條長度：L1=57.74，L2=55.22，L3=52.70,L4=50.18，L5=47.66,L6=45.4，L7=41.62，L8=40.10,L9=37.58，L10=35.06(誤差均以四舍五入取值)。

圖5

圖6

設當折疊成桌子的時候最短木條上移H10,（即開槽最大距離）。如圖5所示，從最短木條頂點C連接桌面中心O，從最長木條頂點A作OC的垂線,垂點為B，qD為鋼筋所處位置，連接qC，qB，qA,qA=L1/2，qD=AB=m10=r=25cm,Bc=n10=r-k/2=22.74cm,h10=L10-L1/2=6.13cm（如圖 6），由勾股定理解得H10=11.66cm第九根木條長為37.58cm,設其中心上移為H9，h9=8.71cm，(如圖7)從第九根作OC的平行線交AB于點 G，連接 Fq，Eq=AG=m9=r-k=22.50cm，FG=nq=n10-d=20.22cm， (L1/2)2+=+ （h9+H9）2+，化簡得 28.872=20.222+ （8.71+H9）2，通過LINGO軟件解得 H9=11.9cm，H8=11.58,H7=10.81cm,H6=9.48cm,H5=8.09cm,H4=6.42cm,H3=4.

圖7

圖8

51cm,H2=2.37cm。如圖8所示，以兩側木條桌腿連線為X軸，垂直于其中線水平方向為Y軸，垂直于水平方向為Y軸，建立直角坐標系。設Z點坐標為（0，Y0，Z0），由上面可知 WS=CK,,DZ=17.21cm,DB=28.87cm，DC=17.79cm，CB=22.74cm。 如 圖 所 示 ，CDB 與ZDB相似。因此求出ZW=22.00cm。又由于CDKZDS相似，可得因為CK=WS=ZW-ZS,代入求得ZS=10.80cm，所以 Y0=10.80cm。則 CK=WS=11.20cm。根據題意，DQ=25cm.由于余弦定理得。=（DS2+ZS2-DZ2）(2*DS*ZS)，根據LINGO軟件求得DS=6.61cm，ZO=SQ=DQ-DS=18.39cm。根據勾股定理，代入求得QZ=21.60cm。

將空間問題轉化為平面，如圖9所示以q1q2所在的直線為X軸，以QZ所在的直線為Y軸建立直角坐標系。已知曲線上三點：q1（25,0），q2（-25,0），QZ（0，21.60）。設方程為 y2=a（x-25）（x+25）將 QZ點坐標代入解得 a=-0.75。所以方程為 y2=-0.75（x-25）（x+25）化簡得3x2+4 y2-1875=0。

圖9

問題二：構建立體直角坐標系，以圖中（0,0,0）點（桌面邊緣，中軸線正下方，地面上）為坐標原點，在人面對桌子坐著的時候，右側x軸正方向，右側為Y軸正方向，正上方為X軸正方向；再假設人坐在椅子上時，腹部到桌面距離為C，那么人的腹部中心（0，-c,b）點；由于人有兩條腿，假設大腿外側距離大腿內側為d，那么人的右大腿外側位于（d,-c,b），左大腿的大腿外側位于（-d,-c,b）.假設人的腳一直緊貼地面，那么可以設右腳的坐標是（x,y,0）,左腳的坐標是(-x,y,0)，右膝蓋的坐標是（x1，y1,z1）,左膝蓋的坐標是（-x1,y1,z1）,且

可以根據大腿長度、小腿長度、人坐在椅子上時腹部到桌面的距離等參數算出（x1，y1,z1）、（-x1,y1,z1）、（x,y,0）、（-x,y,0）的外側極限，從而得到桌子支起來后，木條必須離開的區域。

如果技術滿足不了，則放寬要求，只求人的腿緊閉或伸得不太開時腿不能接觸木條的條件下（x1,y1,z1）、（-x1,y1,z1）、（x,y,0）、（-x,y,0）的外側極限。

對于桌高70cm，桌面直徑80cm的情形。應用材料最少的要求，方形平板，得出直徑為80cm，半徑為40cm?？稍O想每根木棒寬度為4cm，共80/4=20根。設木板總長度為X，最邊緣木棒長度為：

X/2-=X/2-≈X/2-12.5，先不考慮桌面厚度的情況下，要求桌面高度為 70cm，即：X/2-12.5≥70，且X≥165，同時需要有一定的傾角以固定穩定性，在考慮桌面厚度的情況下，桌腳長度可取170cm，得出建議使用桌面規格長170cm，寬80cm。

又設每根木條寬度為，木條根數為S=（）最短邊長度為l10=a-b/2=45.又桌腳間距離成等差數列固有公差d=3.98cm，由此可得以下數據：

l1=80.83，l2=76.85，l3=72.87，l4=68.89，l5=64.91，l6=60.93，l7=56.95，l8=52.9，l9=48.99，l10=45.01（單位：

第九根木條的長度為48.99cm，設折疊成桌子時，木 條 上 移 H9，AG=r-x=(40-x)，FG=BC-d=32.02，h9=l9-l1/2=40.415，qa=40.42cm， 由 勾 股 定 理 得Aq2=FG2+(h9+H9)2求得H9=16.09cm，以此類推，H8=16.61cm，H7=15.94cm，H6=14.56cm，H5=12.58cm，H4=10.08cm，H3=7.13cm，H2=3.77cm，所以對于桌面直徑為80cm的情況下，長方形平板的尺寸為170。鋼筋位于最外側木條的中心位置。從最外側到最中間的木條開槽長度分別為H10=13.79cm，H8=16.61cm，H7=15.94cm，H6=14.56cm，H5=12.58cm，H4=10.08cm，H3=7.13cm，H2=3.77cm。

問題三：我們設定桌子的高度為65cm，桌面邊緣線為半長軸為30cm，半短軸為20cm，即厘米cm）鋼筋位置位于最外側木條中心位置，如圖10所示，從最短木條頂點A作OC的垂線垂直于B，連接AB，qD為鋼筋所處的位置，連接qC，qB，qA，設折疊成桌子時最短木條上移H10（即為開槽最長距離）

由勾股定理得

解得 H10=13.79cm

①對賦值，令x=0，則|y|=30cm，D=60cm。即平板的寬度為60cm。

③求出所有的木條長度 和 ，其中 要用到θ1這個變量來表示。這里i=1,2，…..12。

第一根桌腿的長度：

④通過對四個方程的整合，得到下式：

⑤通過對兩個方程的整合，得到下式：

及下式：

利用MATLAB軟件計算槽長度之和取最小值，得到θ1為90°，x為28.3cm是最優的加工參數。計算出所有的桌腿的長度 、開槽長度 、槽的頂部到桌腿的頂部的距離 ，如下表所示：

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 62.5 58.5 56 54.1 52.6 51.4 50.4 49.7 49.1 48.7 48.35 48.2 0 4.1 6.9 9.1 11.0 12.5 13.8 14.7 15.5 16.0 16.4 16.6 34.2 30.2 27.7 25.8 24.3 23.1 22.1 21.4 20.8 20.4 20.1 19.9

最后，我們得到創意平板折疊桌的動態展示圖，如圖11所示。

圖11

五、小結

本項目基于數學建模思想，利用Lingo軟件處理數據，通過Photoshop軟件畫出研究過程中所產生的圖片，充分整合了數學、計算機及美學的多學科知識，具有較強的創新性。根據客戶任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，能使桌子滿足造型及靈活度上的要求，減少了誤差，最后給出了創意平板折疊桌的動態展示圖。

比起普通折疊桌，本項目研究的折疊桌方便收放攜帶且造型獨特美觀，可作為外出野餐野營等的最佳伴侶，造型美觀且可收放因此可用作擺設，又可作為餐桌、咖啡桌，不占空間使用價值卻極高，無論是房屋里面、茶餐廳還是狹窄的空間又或是野外草地上均可使用，所謂物超所值，既能給人以美的享受，又能在使用方面帶來極大的便捷。

不足的是，模型考慮到桌面邊緣線的曲線已經桌角邊緣線的函數曲線，不易獲取。應用函數擬合只能大體上估計，存在一定的偏差，得出的桌腳邊緣線函數不夠精確。

本模型的改進方向是，應該進一步考慮外界對其的影響，木板的尺寸應易于存放，采用適用最廣泛最實惠的木材進行加工，考慮折疊桌的用途估算出其受載，再建立數學模型設計出模型結構。

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].高等教育出版社，2007.

[2]袁新生,邵大宏，郁時煉.LINGO和Excel在數學建模中的應用[M].科學出版社，2013.

[3]王紅衛.PS摳圖秘技[M].機械工業出版社，2011.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].高等教育出版社，2011.

[5]同濟大學航空航天與力學學院.材料力學[M].上海：同濟大學出版社，2010.

Study On Processing Design Flat Folding Table Based On Mathematical Modeling

LICheng-li YANG Jing-jing LIHai-ping ZHANG Ni
（Xingyi Normal University for Nationalities,Xingyi,Guizhou 562400,China）

Based on the ideaof mathematical modeling,using Lingosoftware toprocessdata,the full integration of multidiscipline knowledgeof mathematics,computer and aesthetics,with astronginnovation.According to thegeneral shapeof folding tableheight,arbitrarilysetthedesktop clientedge lineshapesizeand the footofthetableedge,theshapeand thesizeoftheplatematerialand practicaloptimaldesignofmachiningparameters,the folding table isproduced ascloseaspossible to thecustomersof thedesired shape,canmeetrequirementsoftableshapeand flexibilitydegree,reducetheerror,thecreativeflatfoldingtabledynamicdisplaychartaregiven.

mathematical modeling of LINGO process design of folding table

1009—0673（2015）02—0110—07

O29

A

2015—01—01

興義民族師范學院2014年大學生項目（項目編號：14XYXS13，本項目獲2014年全國大學生數學建模競賽貴州賽區二等獎。）

李成麗（1995— ），女，貴州織金人，興義民族師范學院信息技術學院信息與計算科學專業2012級學生；指導教師：張妮（1982— ），女（壯族），廣西南寧人，興義民族師范學院信息技術學院副教授，教育學碩士，主要從事信息與計算科學的教學和研究。

責任編輯：李玨