有限使用時間內預防性維修策略優化

蓋京波，孔耀

（1.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國電子科技集團公司第54研究所，河北石家莊050081）

有限使用時間內預防性維修策略優化

蓋京波1，孔耀2

（1.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國電子科技集團公司第54研究所，河北石家莊050081）

機械裝備一般都是可維修設備。采取積極有效的預防性維修，合理安排預防性維修活動，對于減少裝備的故障次數及提高使用率具有重要的現實意義。以在有限使用時間區間內工作的機械裝備為研究對象，分別從維護成本及綜合考慮維護成本和可靠性兩個方面建立了預防性維修優化模型，并利用非線性優化軟件對其進行了求解，確定機械裝備在有限工作時間區間內最優的預防性維修次數以及預防性維修周期。算例表明，所提出的預測預防性維修次數和周期的方法是可行的，可為機械裝備制定預防性維修大綱、預測機械裝備使用壽命提供參考。

兵器科學與技術；有限時間；維修策略；優化

0 引言

預防性維修是在裝置頻繁出現故障之前，綜合采取各種可能的技術、手段和管理辦法，使裝置的性能得以完善，最終實現充分延長使用時間和提高使用率的目的。

維修策略是各種可用方法、手段的總稱。預防性維修策略研究已成為重要研究領域，自20世紀50年代就引起了國內外學者的重視。1960年，Barlow等首次提出最小維修的概念及定時維修的理念，并建立了最優維修周期的模型［1］。隨后越來越多的學者提出了更多模型，運用馬爾可夫過程、隨機點過程、幾何過程等數學基礎理論來確定最優的預防性維修間隔周期T及近似無限使用情況下的維修次數N［2-3］.但是，基于產品無限使用這一假設得到周期T和次數N明顯是不符合實際情況的。產品的自然壽命是有限的，并非無限使用。并且，初期大多數研究僅是從經濟性這個角度考慮，建立模型來確定最優的周期T和次數N，而忽略了對于一些重要裝置（例如國防設備）需要考慮可靠性的要求。

1 問題提出

早期的研究為了研究方便對優化模型常采取兩種較為理想的假設:1）修復后裝置修復如新；2）裝置故障后采取的是基本維修，只是使裝置的功能恢復了，而并沒有改變裝置的故障率。這兩種假設都有一定的局限性，對于一些劣化系統，這兩種假設明顯是不適用的。針對劣化系統的故障率，文獻［4-6］分別提出了役齡因子和故障率遞增因子。Malik［4］認為經過第n次預防性維修之后，裝置的故障率變為λn+1（t）=λn（t-αNTN），0＜t＜TN+1.

Nakagawa［5］則提出，經過第n次預防性維修后，裝置的故障率變為λn+1（t）=bnλn（t），0＜t＜TN+1，式中:bn＞1為故障率遞增因子。經過預防性維修后裝置的故障率雖然變為0（修復如新）.但是，故障率函數的變化率增大了。這比較符合實際使用中越修越壞的狀況?；诠收下蔬f增因子的順序預防性維修決策取決于裝置的故障率狀態［7］。因此，該維修方法操作性較強，大多數對于不完全維修研究采取的是此研究方法。

2 模型假設

假設1 裝置投入使用時是全新的；

假設2 忽略裝置故障維修時間，因為其相對時間T很??；

假設3 預防性維修使裝置的故障率下降到偶然故障階段的故障率（修復如新），但同時增大了故障率函數的變化率；

假設4 對于預防性維修周期內發生的故障只采取故障維修措施，不改變裝置的故障率以及裝置的故障率函數，且故障維修時間不計。

整個使用時間［0，T］內裝置的運行維修流程如圖1所示。

圖1 有限使用時間［0，T］內裝置工作維修時序圖Fig.1 Timing sequence chart of work maintenance of device in finite time horizon of［0，T］

3 以成本為目標的優化模型

3.1 模型構建

機械裝置在使用過程當中，有兩種類型的維護需求:預防性維修（事前維修）和故障維修（事后維修）。預防性維修次數過多將導致總維修成本增多，造成過維修；而預防性維修次數過少，將導致裝置故障次數增多，故障維修成本也增加，并降低了裝置的使用率，造成欠維修。所以，必須合理規劃在有限運行時間區間內預防性維修的次數，最終達到既能使裝置保持高利用率又使設備的總維修成本最少的目標。

既有的對預防性維修策略的研究主要集中在定期預防性維修上，按照事先規定的間隔時間T，當裝置運行時間達到時間T就進行一次預防性維修，且假設裝置“修復如新”。但這是不切實際的，因為: 1）修復往往難以達到“修復如新”的效果，大多數產品均屬于劣化性質的，即隨著維修次數的增多，故障率越大，即日常所說的“越修越壞”；2）對具有一定重要性裝置（如國防系統）僅考慮經濟性是不夠的，還需考慮裝置的可靠性、安全性、任務成功率等指標。

在裝置的使用時間區間［0，T］內，其維修成本C主要由三部分組成:在預防性維修周期內出現的故障維修費用C1、預防性維修費用C2和因進行預防性維修而造成的損失（如生產損失、人力損失等）C3.

構建的目標函數為

式中:

式中:ni為第i個預防性維修周期內預期發生的故障維修次數；Cmin為每次故障維修的費用；Cpm為單位預防性維修時間的費用；bi為故障率遞增因子；ti為第i次預防性維修所花費的時間；Ti為第i次預防性維修周期；Cl為因預防性維修而使裝置停用造成的單位時間損失。則優化模型的目標函數變為

根據前面的理論及假設，裝置在不同的預防性維修周期內故障率函數不同，則其發生的故障次數也不同，所以要獲得優化模型的解，必須先研究不同預防性維修周期的故障率形式。

對于劣化系統的故障率分析，Nakagawa［5］引入了故障率遞增因子

式中:

則

3.2 模型的具體化

裝置的壽命分布不同，則ni不同，以威布爾分布為例:，則第i次預防性維修后的故障率函數為

為了簡化研究，設每次預防性維修的效果相同，即bi相同，設bi=b（i≥1），則（9）式簡化為

此時優化模型的目標函數（5）式可簡化為

式中:bi、ti、Ti、n為決策變量。

約束條件為

式中:tmin為預防性維修允許的最小時間。

可見，目標函數是一個非線性函數，則優化模型是一個目標函數是非線性而約束條件是線性的數學規劃問題。根據數學規劃的基本理論，目標函數最優解的存在性可通過函數的凹凸性來判斷。

對目標函數求解時，對n取不同的數值，目標函數便變為一個非線性規劃問題，可使用非線性規劃求解軟件lingo或Matlab編程進行求解，得到不同的總維修費用C及預防性維修周期Ti，再通過比較總維護費用大小從而確定最優的預防性維修次數n以及預防性維修周期Ti.

3.3 實例計算

某國防機械裝置的故障時間符合m=2，η=75的威布爾分布，其他參數為:選取裝置的使用時間為一年，即T=8 760 h；裝置因預防性維修而造成的單位時間損失Cl=80萬元；裝置每次故障維修的費用Cmin=60萬元；設裝置的預防性維修時間最小為tmin= 1.5 h；預防性維修的成本函數為Cpm（bi，ti，Ti）= 200+50biTi+30ti.

假設故障率遞增因子為1=b0＜b1=b2=…= bn=1.03.

將上述參數值帶入目標函數，得到該機械裝置使用一年的預防性維修策略的優化模型。由于模型計算量略大，在Matlab軟件下對模型進行編程求解，計算結果表1所示。

由表1得知，如果裝置在一年內不進行預防性維修，其總維修費用最高，可達到81.853 44萬元。隨著預防性維修次數n的增加，裝置的總維修費用不斷減少，當預防性維修次數n=16時，裝置的總維修費用有極小值，當預防性維修次數繼續增加，裝置的總維修費用慢慢增加，裝置運行若干年的總維修費用與預防性維修次數n的關系如圖2所示。

從圖2中的局部放大圖得知，裝置在有限使用時間區間內合理安排預防性維修能夠有效降低裝置的運行成本，則若裝置運行一年中預防性維修次數小于16次，則將造成欠維修，大于16次，則造成過維修，兩種情況均將增加維修費用。

裝置實際使用維修中，要求維修活動花費時間越短越好，盡快使得裝置恢復使用狀態，實例中維修時間最短不能短于1.5 h，進行線性規劃尋優，得到每次預防性維修的時間均是最短時間，符合實際情況。分析最優預防性維修次數下的各個預防性維修周期，發現呈遞減的趨勢，也很好地符合前文所述的劣化系統越修越壞的情況。

表1 預防性維修次數n及維修總費用Tab.1 Preventive maintenance frequency n and maintenance costs

圖2 預防性維修策略優化結果Fig.2 Optimization results of preventive maintenance policy

表2 n=16時各個預防性維修周期時間TiTab.2 Preventive maintenance cycle time Tifor n=16

4 考慮可靠度的優化模型

對于一些機械裝置而言，除了考慮經濟性以外，裝置的可靠性、可用度、任務成功率等均是裝置需要考慮的指標。結合以可靠性為中心的維修（RCM）理論，綜合考慮裝置的經濟性和可靠性兩個指標，對工作在有限工作時間區間內的機械裝置建立優化模型。

4.1 可靠度約束

僅考慮裝置的經濟性而得到的最優的預防性維修次數n，可能導致第n次維修后裝置剩余工作（無維修）時間過長，導致裝置可靠性低，無法完成規定的任務?？紤]可靠性的要求，可以在預防性維修間隔期內裝備或產品保證完好率或完好數量，以滿足裝備作戰訓練或產品設備的使用要求。

為了限定裝置在預防性維修周期內以及第n次維修之后的工作時間區間內的故障次數，要求裝置在周期內的可靠度不得低于某一限定值，即設備的可靠度下限R0.根據產品的可靠度函數定義，可知可靠度函數在任意的時間區間內均是不增函數，所以只需滿足裝置在進行第i次預防性維修時裝置的運行可靠度大于等于可靠度下限即可。Ri為第i個預防性維修周期內的裝置運行可靠度，即需滿足不等式Ri≥R0，而

裝置進行n次（最后一次）預防性維修后，其可靠度為

另外，生物教師應該多接觸學生，上課提前到班，利用課間時間與學生聊聊天、開開玩笑；中午時間，與學生在辦公室內聊聊天（我認為課后師生是朋友關系，不是師生關系）。在平等的關系中，縮短了彼此間的距離，學生易接受和領悟教師的一些意圖，暗示效果好。教師要告訴學生，你能行，你會更好等。

為求解最少的預防性維修次數，需充分增大各預防性維修周期時間，即裝置在每個預防性維修周期內均在可靠度下限下運行，可保證最大限度利用使用時間，使得預防性維修次數最少，此時

式中:λ1（t），λ2（t），…，λn（t）的計算采用（6）式即

將（17）式帶入（16）式，帶入具體的數值b，便可求出各預防性維修周期時間Ti，此時求得的預防性維修周期時間為裝置滿足可靠度要求的極限值，對應的預防性維修次數也是最少的，n為滿足不等式

的最小值。

4.2 預防性維修周期的確定

按照可靠度約束所求的各預防性維修周期及最小的預防性維修次數n雖然滿足可靠度要求，但從經濟性的角度來看并非是最優策略［9-10］。對于優化模型，加入兩個約束條件:Ri≥R0，Rl≥R0，則構成綜合考慮維修費用和裝置運行可靠度的優化模型，優化模型的目標函數為

約束條件為

式中:ti、Ti、bi、n為決策變量。

對于優化模型，是一個非線性約束下的線性模型，因此，只要保證Cpm（bi，ti，Ti）是凸函數就可求得最優解，且對于一個確定的n，模型即轉化為一個非線性規劃問題，對于次數n，則有n個非線性規劃。因此只需確定bi及裝置的初始故障率λ（t），對n依次取不同的數值，可使用非線性規劃求解軟件lingo或Matlab進行優化求解，即可得到n取不同數值的總維修費用，最后再加以比較，篩選出最優的預防性維修次數以及預防性維修時間Ti.

4.3 實例計算

設某國防機械裝置的壽命服從威布爾分布，參數m=2，η=100.有限運行時間為一個月，即T= 720 h，因為預防性維修占用裝置而產生的單位時間損失為Cl=80萬元，每次故障維修花費Cmin= 60萬元，預防性維修最少需1.5 h，而且必須在1 d內完成，即tmin=1.5h，tmax=24 h.預防性維修的成本函數為Cpm（bi，ti，Ti）=200+50biTi+30ti.假設故障率遞增因子1=b0＜b1=b2=…=bn=1.02.

將上述參數帶入優化模型（16）式、（18）式和（19）式，得到裝置在有限使用時間T=720 h的預防性維修優化模型。

1）設裝置在每個預防性維修周內的可靠度下限R0=0.7.

最小預防性維修次數n通過（16）式和（18）式求得為12次，各個預防性維修周期內的最大運行時間如表3所示。

表3 僅考慮可靠度要求的n為12的預防性維修周期Tab.3 Preventive maintenance cycles only in consideration reliability for n=12

則此時計算維修費用公式

帶入數據計算得到在最小維修次數為12次情況下的維修費用為C=39 271元.此時求出的維修并不是在最小維修次數n=12的最小維修費用，因為預防維修周期內以可靠度下限運行必然導致進行12次預防性維修后的裝置運行可靠度過高。將n= 12帶入優化模型目標函數進行規劃求解，得到優化后的最小維修費用為C=37 733元，此時各預防性維修周期時間如表4所示。

表4 考慮可靠度下n為12的預防性維修周期優化時間Tab.4 The optimization times of preventive maintenance cycle in consideration of reliability for n=12

由表4發現，優化后的各預防性維修周期的運行時間表現為第1次是以最大運行時間即可靠度下限運行的，后續的預防性周期運行時間均小于最大運行時間。

2）設裝置在每個預防性維修周內的可靠度下限R0=0.8.

當各預防性維修周期內的可靠度下限為0.8時，求得最小的預防性維修次數為n=15，此時裝置的總維修費用C=39 424元，各個預防性維修周期內的最大運行時間如表5所示。

表5 僅考慮可靠度要求的n為15的預防性維修周期Tab.5 The preventive maintenance cycles only in consideration of reliability in consideration of reliability for n=15

將n=15及其他參數帶入公式進行優化求解，解得此時總維修費用最少為C=39 182元，各個預防性維修周期時間具體如表6所示。

由表6發現，當各預防性維修周期內的可靠度下限為0.8時，優化后的各預防性維修周期的運行時間表現為前面10次均是以最大運行時間即可靠度下限運行的。

3）設裝置在每個預防性維修周內的可靠度下限R0=0.9.

當各預防性維修周期內的可靠度下限為0.90時，求得最小的預防性維修次數為n=23，此時裝置的總維修費用C=42 760元，各個預防性維修周期內最大運行時間如表7所示。

將n=23及其他參數帶入（19）式進行優化求解，解得此時總維修費用最少為C=40 513元，各個預防性維修周期時間具體如表8所示。

表6 考慮可靠度下n為15的預防性維修周期優化時間Tab.6 The optimization times of preventive maintenance cycle in consideration of reliability for n=15

表7 僅考慮可靠度要求的n為23的預防性維修周期Tab.7 The preventive maintenance cycles only in consideration of reliability in consideration of reliability for n=23

表8 考慮可靠度下n為23的預防性維修周期優化時間Tab.8 The optimization times of preventive maintenance cycle in consideration of reliability in consideration of reliability for n=23

由表8發現，預防性維修周期可靠度下限達到0.90時，優化后的各預防性維修周期的運行時間表現為前面5次均是以最大運行時間即可靠度下限運行的。

4）設裝置在每個預防性維修周內的可靠度下限R0=0.95.

當各預防性維修周期內的可靠度下限為0.95時，求得最小的預防性維修次數為n=34，此時裝置的總維修費用C=460 25元，各個預防性維修周期內的最大運行時間如表9所示。

表9 僅考慮可靠度要求的n為34的預防性維修周期Tab.9 The preventive maintenance cycles only in consideration of reliability in consideration of reliability for n=34

將n=34及其他參數帶入（19）式進行優化求解，解得此時總維修費用最少為C=45 810元，各個預防性維修周期時間具體如表10所示。

表10 考慮可靠度下n為34的預防性維修周期優化時間Tab.10 The optimization times of preventive maintenance cycle in consideration of reliability in consideration of reliability for n=34

分析表3～表10，不難發現，使每一預防性維修周期均以可靠度限定值運行確定的預防性維修次數及預防性維修周期并非是最優的，這是因為在有限運行時間區間內，若各預防性維修周期均是滿足可靠度的最大運行時間，將導致預防性維修后剩余時間小，可靠度高，沒有考慮全局，使得維修費用沒有達到最優。在確定預防性維修次數后，從全局出發，綜合考慮可靠性和維修成本，優化得到各預防性維修周期，使得維修費用達到最低。

圖3為裝置的可靠度下限與最小預防性維修次數的關系圖，圖4為最小維修成本與最小預防性維修次數的關系圖。從圖3及圖4可以分析得知，增加預防性維修次數可以增大裝置的可靠度，但同時也增加維修費用，當維修次數達到23后，可靠度增加緩慢，而維修費用急劇增加，造成“過維修”。而對于該裝置，如果裝置的可靠度允許極限值為0.9，那么此時得到較優的維修策略。

圖3 可靠度下限與最小預防性維修次數的關系Fig.3 The relationship between the minimum operating reliability and number ofminimum preventive maintenance

圖4 最小維修費用與最小預防性維修次數的關系Fig.4 The relationship between minimum maintenance cost and number of minimum preventive maintenance

5 結論

本文主要以有限運行時間范圍內的機械裝置為研究對象，用理論分析方法研究了在有限時間內預防性維修策略的優化問題，主要研究結論如下:

1）運用故障率遞增因子的概念可對預防性維修與故障率間的動態變化關系進行表述。

2）對現有預防性維修成本的數學模型進行了修正，討論了裝置維護成本最低時，以及綜合考慮維護成本最低及滿足可靠度約束時維修次數和預防性維修周期的優化問題。只有在綜合考慮維修成本及可靠度約束得到預防性維修周期才是最優的，并能夠使得成本最低。

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Optimization Strategy of Preventive Maintenance in Finite Time Horizon

GAI Jing-bo1，KONG Yao2
（1.College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，Heilongjiang，China；2.The 54th Research Institute，China Electronics Technology Group Corporation，Shijiazhuang 050081，Hebei，China）

Mechanical devices are repairable.Taking an effective preventive maintenance and reasonably arranging the preventive maintenance activities are very important to decrease the failure frequency and improve the utilization ratio.The mechanical device working in finite time horizon is studied.Maintenance cost and comprehensive consideration of maintenance cost and reliability are modeled，a nonlinear optimization software is used to solve the optimization model，and the optimal times and cycles of preventive maintenance in finite time horizon are determined.The examples show that the method of forecasting the preventive maintenance frequency and cycle is feasible.This optimization policy model can provide references for making the preventive maintenance program and predicting the service life of mechanical devices.

ordnance science and technology；preventive maintenance；maintenance strategy；optimization

TB114.3

A

1000-1093（2015）11-2164-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.11.022

2014-11-18

中央高?；究蒲袠I務費專項基金項目（HEUCF130208）

蓋京波（1976—），男，副教授，碩士生導師。E-mail:gaijingbo@hrbeu.edu.cn