高階調制下極化碼的構造研究*

章新城，林燈生，李少謙

（電子科技大學 通信抗干擾技術國家級重點實驗室，四川 成都611731）

高階調制下極化碼的構造研究*

章新城，林燈生，李少謙

（電子科技大學 通信抗干擾技術國家級重點實驗室，四川 成都611731）

為了避免利用傳統方法在高階調制時無法確定極化碼的碼元噪聲功率的問題，提出一種將高階調制信道分解成多個平行的并具有固定噪聲功率的二進制輸入子信道的方法，將高階調制下極化碼構造問題轉化為一般的二進制輸入信道的極化碼構造問題，從而實現了高階調制時的極化碼構造，并針對格雷映射8-PSK調制和PAM/QAM調制等常用的高階調制進行特定設計。仿真結果表明，采用推薦方法可以帶來明顯的性能提升。

極化碼；高階調制；編碼調制；平行信道

0 引言

Arikan提出的極化碼[1]是一種可以理論證明在任意二進制輸入離散無記憶信道下容量可達的碼。該碼自被發明以來一直引起廣泛關注和研究，相關的成果也不斷涌現，這些研究集中在極化碼的容量限[2-4]、極化碼構造[5]以及譯碼[6-7]等方面。

極化碼是一類信道特定碼，即不同的信道參數具有不同的極化碼，困此如何構造極化碼對于所使用的極化碼來說至關重要。通常情況下，除了二進制刪除信道(Binary Erasure Channel，BEC)，精確的極化碼構造具有很高的復雜度。Arikan在文獻[1]提出基于蒙特卡洛仿真的方法實現極化碼的構造，而文獻[5]提出一種基于密度進化[8]的極化方法，該方法無論在復雜度還是性能方面相比蒙特卡洛的方法都具有一定的優勢。

然而，目前有關基于密度進化的方法還只能在二進制輸入離散無記憶信道中進行，對于多進制，特別是基于高階調制的信道并沒有特別好的方法。這是由于在高階調制中，每個符號對應的比特出錯概率不相同[9]，而且出錯概率會隨著發送符號的不同而改變。困此，如果要將極化碼直接使用高階調制進行傳輸，則極化碼的構造過程也隨著碼字變化而變化。為了解決這個問題，本文提出一種基于平行信道的方法，將高階調制極化碼的構造問題化簡為一般的二進制輸入信道的極化碼的構造問題，巧妙地避免了對高階調制符號直接進行極化碼構造帶來的困難。當然，本文方法與文獻[10-11]中提出平行信道概念有本質的不同，文獻[10]提出利用極化碼在平行信道間進行編碼以實現發射機在未知信道狀態信息情況下達到平行信道容量的目的，文獻[11]則研究在發射端已知不同信道的狀態信息情況下如何實現平行信道傳輸，而本文中提出的方法利用傳統的平行信道理論無法解決。

本文針對兩類最常見的高階調制：相移鍵控(Phase-Shift Keying，PSK)和正交幅度調制(Quadrature Amplitude Modulation，QAM)開展研究。對于PSK重點研究最常用的8-PSK，而QAM調制可以分解成兩個正交的脈沖幅度調制 (Pulse Amplitude Modulation，PAM)[12]，所以主要以PAM作為研究對象，PAM調制結果可以自然延伸到QAM調制。另外，格雷映射是調制中最常用的映射方式，困此本文中位到符號的映射全部采用了格雷映射。

1 高階調制下的極化碼構造

1.1 8-PSK調制

圖1給出了基于一種格雷映射的8-PSK星座圖。圖1中所有星座點都均勻地分布在一個單位圓上，定義8-PSK的每個星座點對應的比特序列為 b3b2b1。假定本文中的高階調制都經過一個均值為0、方差為N0的AWGN信道。下面將分析星座點對應比特序列的出錯概率。

圖1 一種格雷映射的8-PSK星座

對于高階調制，當信道信噪比較高時，PSK的某個比特出錯概率主要由該比特的取值相反且最近的星座點之間的歐氏距離 dmin決定[12-13]，且該比特的出錯概率可以表示為：

其中，Q(x)為 Q函數[12]，Eb/N0表示單位比特的信噪比。對于 b1bit，由于采用格雷映射，困此，總是可以從相鄰星座點中找到與發送 b1相反的星座點，困此，無論 b1為何值，最小歐式距離都是圖中的 D1。對于 b2bit，則要分兩種情況，一種是當b1=0時，從圖1中可以看出，其出錯的最小歐式距離為 D2，如發送星座點為 000，其最易出錯星座點為010，即最小歐式距離為D2(困為已知 b1= 0，所以不可能錯成 011)；另一種是當 b1=1時，從圖中可以看出，其出錯的最小歐式距離為D1，如發送星座點為001，其最易出錯星座點為 011，即最小歐式距離為 D1。同理，對于 b3bit，它與 b2情況恰好相反，即 b1=0時，最小出錯概率為D1，而 b1=1時，最小歐式距離為 D2。其中D1=2sin(π/8)，D2=2sin(3π/8)，并根據文獻[12]得出 D1和D2所對應的二進制輸入的AWGN信道的等效噪聲方差分別為：

利用以上規律，可以將3個bit等效成3個平行信道，其中 b1對應的信道，其噪聲方差始終為，而為了保證b2、b3對應信道的噪聲方差能夠固定，則先要知道b1的取值，然后通過 b1值來確定是否交換 b2和 b3的值。在接收端，通過譯碼器譯出的b1判斷b2和b3的值是否進行交換。具體實現過程如圖2所示。首先，依據參數和和碼長 N，并采用文獻[5]中的方法構造出 3個碼長均為N的極化碼C1、C2和C3，假設C1和C2對應的方差為，C3則為。為了讓C2和C3通過固定噪聲方差的信道，在進行8-PSK調制前需要根據C1中每一個碼元取值對C2和C3中同一位置的碼元進行交換，即當C1中碼元為0時，C2和C3相同位置的碼元進行交換，否則就不交換。然后將經過交換處理后的3個碼元送入8-PSK調制器進行調制。這樣，8-PSK調制的噪聲方差為N0的信道就等效為噪聲方差分別為的3個二進制輸入的AWGN信道。在接收端，先對8-PSK信號進行軟解調[13]，解調完畢后，將解調器輸出中 b1對應N個軟解調值送入相應譯碼器進行譯碼并通過反編碼恢復出，注意：由于譯碼可能出錯，這里有可能與C1不一致，這會造成錯誤，但通過合理的設計可以降低該錯誤出現的概率。接著與發射端處理方式一樣，根據中碼元的取值決定是否交換對應位置的軟解調值。

中國已成為世界上糖尿病第一大國，糖尿病患者控制血糖已成為我國重要的公共健康問題。臨床研究顯示：控制血糖不能單純依靠藥物，還需對患者飲食、運動、血糖監測等方面進行行為干預[1]，幫助患者創建有效的自我管理行為是糖尿病行為干預的最佳模式之一[2]。高郵市人民醫院內分泌科利用微信群語音功能宣教飲食-運動療法對該院健康體檢中心確診的糖尿病前期患者的自我管理行為進行干預，改善其生活方式。結果顯示該方法在延緩2型糖尿病進展上取得了一定的效果?，F報告如下。

圖2 8-PSK極化編碼調制的編譯碼過程圖

1.2 M-PAM調制

對于M-PAM調制，也可以像8-PSK調制一樣等效成多個噪聲固定的平行信道。假設基于一種格雷映射的M-PAM的星座點集合為{Si}，其中 i=0，1，2，…，M-1，M=2m。假定M-PAM的星座點按照下標從小到大順序排列，每個星座點與相鄰星座點歐氏距離相等，均為2d，星座點對應的比特序列表示為 bmbm-1…b2b1，則該星座圖有如下規則：

(1)M-PAM可以與 8-PSK一樣劃分出若干不同的二進制輸入的AWGN信道，且等效信道有M/2種。將這M/2種等效信道按照對應的M/2種歐氏距離從小到大的順序排列，并將排序后的第k個等效信道對應的歐氏距離記為Dk，k=1，2，…，M/2，則Dk可以表示為：

且根據文獻[12]同樣可以得到歐氏距離 Dk所對應的等效信道的噪聲方差為：

(2)對應任意一個比特序列中的 bj，j=1，2，…，m，將會經過第1到 2j-1個等效信道中的一種。

(3)假設 bj選擇的是第l個等效信道，則當 bj=0時，選擇第(2j-1+l)個等效信道作為 bj+1的信道，而當bj=1時，則選擇第(2j-1-l+1)個等效信道作為 bj+1的信道。

依據上述規律，可以將M-QAM調制等效成多個具有固定信噪比的二進制輸入AWGN信道，整個過程以遞歸的方式進行。首先根據規則(2)先確定b1的信道，由于該情況下只有一種信道k=1，相應噪聲方差為；接著確定 b2bit的信道，根據規則(3)及 b1的取值不同，b2有兩條可選的信道：當b1=0時候，選擇第2個信道，當b1=1時，選擇第1信道；以此類推。

2 仿真結果分析

首先分析8-PSK調制時極化碼的性能。如圖3所示，極化碼的碼長分為N=256和N=512兩種情況，根據公式(2)計算出兩種等效噪聲方差，分別為 6.828 4 N0和1.171 6 N0，其中 N0根據仿真需要來設定，并選擇 b1、b2和 b3碼率為 0.51、0.51、0.98，平均吞吐量為 2 bit/符號，然后依據這些參數利用文獻[5]的方法進行極化碼的構造。

圖3 8-PSK極化編碼性能仿真圖

由圖3可以看出，與同樣吞吐量為2 bit/符號的正交相移鍵控(QPSK)比，兩個碼在誤碼率都保持在 10-4時，分別有1.9 dB和2.4 dB的性能增益。另外，也給出了兩種碼長下接收端理想已知C1(傳輸b1的極化碼記作C1)和依靠譯碼器接收結果的C1兩種情況的性能對比，從圖3可以看出，非理想情況與理想情況的性能差異都在0.3 dB以內，性能惡化不是很嚴重。

圖4 16-QAM極化編碼性能仿真圖

圖4 給出了采用16-QAM調制時候(兩路4-PAM)極化碼的誤碼率性能，對于每個4-PAM調制，極化碼的碼長分為 N=256和 N=512兩種情況，根據式(3)、式(4)可以算出其兩種等效噪聲方差為 N0和 0.111 1 N0，其中d=1。選擇 b1碼率為 0.42，b2是由兩個碼長為 N/2的極化碼組成，碼率分別為0.38和0.78，此時一個4-PAM的平均吞吐量為1 bit/符號。

由圖4可以看出，與同樣吞吐量為2 bit/符號的QPSK相比，在誤碼率為 2×10-5時，其增益分別有 1.3 dB和1.8 dB。同樣，在圖4中，也給出了兩種碼長下接收端理想已知C1和依靠譯碼器接收結果的C1兩種情況的性能對比，并且，性能惡化也不是很嚴重。

3 結論

本文先是分析了格雷映射下PSK調制和PAM/QAM調制星座圖的特點，并根據各自特點，得出了可以將高階調制信道分解成多個平行的并具有固定噪聲功率的二進制輸入子信道的結論，并利用此結論，將高階調制極化碼的構造問題轉化為一般的二進制輸入信道的極化碼的構造問題，從而避免了傳統方法在高階調制時候無法確定信道噪聲功率的問題，實現了高階調制時的極化碼的構造。本文最后還針對PSK調制和QAM調制在采用推薦方法后的性能進行了仿真，仿真結果也表明了采用推薦方法可以帶來較為顯著的性能提升。

[1]ARIKAN E.Channel polarization:a method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels[J].IEEE Trans.Inf.Theory，2009，55(7)：3051-3073.

[2]ARIKAN E，TELATAR E.On the rate of channel polarization[C].IEEE Int.Symposium on Inf.Theory，Seoul，Korea，2009：1493-1495.

[3]KORADA S B，SASOGLU E，URBANKE R.Polar codes：characterization of exponent，bounds，and constructions[C].Proc.2009 IEEE Int.Symposium on Inf.Theory，Seoul，Korea，2009：1483-1487.

[4]HASSANI S H，KORADA S B，URBANKE R.The compound capacity of polar codes[C].47th Annual Allerton Conference，Illinois，U.S.A.，2009：16-31.

[5]MORI R，TANAKA T.Performance and construction of polar codes on symmetric binary-input memoryless channels[C].IEEE Int.Symposium on Inf.Theory，Seoul，Korea，2009：1496-1500.

[6]TAL I，VARDY A.List decoding of polar codes[C].Proc.IEEE Int.Symposium on Inf.Theory，St.Petersburg，Russia，2011：1-5.

[7]Niu Kai，Chen Kai.Stack decoding of polar codes[J].Electronics Letters，2012，48(12)：695-697.

[8]RICHARDSON T，URBANKE R.Modern coding theory[M].U.K.：Cambridge University Press，2008.

[9]MASNICK B，WOLF J.On linear unequal error protection codes[J].IEEE Trans.Inf.Theory，1967，4(3)：600-607.

[10]HOF E，SASON I，SHAMAI S，et al.Capacity-achieving polar codes for arbitrarily permuted parallel channels[J].IEEE Trans.Inf.Theory，2013，59(3)：1505-1516.

[11]Chen Kai，Niu Kai，Lin Jiaru.Practical polar code construction over parallel channels[J].IET Communications， 2013，7(7)：620-627.

[12]GOLDSMITH A.無線通信[M].北京：人民郵電出版社，2007.

[13]Lin Dengsheng，Xiao Yue，Li Shaoqian.Low complexity soft decision technique for gray mapping modulation[J].Wireless Personal Communications，2008，52(2)：383-392.

[2]ZHANG S，LIEW S C，LAM P P.Hot topic：physical-layer network coding[C].ACM MobiCom′06，Calfomia，2006：358-365.

[3]Maria Claudia Catro，Bartolomeu F.Uchoa-Filho.Improved joint turbo decoding and physical-layer network coding[C].IEEE ITW 2012，Lausanne，2012：742-746.

[4]Li Jun，Chen Wen，Lin Zihuai，et al.Design of physical layer network coded LDPC code for a multiple-access relaying system[J].IEEE Communications Letters，2013，17 (4)：749-752.

[5]Chen Zhiyong，Xia Bin，Hu Zixia，et al.Design and analysis of multi-level physical-layer network coding for gaussian two-way relay channels[J].IEEE Transactions on Communications，2014，62(6)：1803-1817.

[6]VAZE R，HEATH R.On the capacity and diversity-multiplexing tradeoff of the two-way relay channel[J].IEEE Transactions on Information Theory，2011，57(7)：4219-4234.

[7]KIM S J，MITRAN P，TAROKHV.Performance bounds for bi-directional coded cooperation protocols[J].IEEE Transactions on Information Theory，2008，54(11)：5235-5241.

[8]LI X，RITCEY J A.Bit-interleaved coded modulation with iterative decoding using soft feedback[J].Electronics Letters，1998，34(10)：942-943.

[9]Guillen i Fabregas A，Martinez A，Caire G.Bit-interleaved coded modulation[J].Foundations and Trends in Communications and Information Theory，2008，5(1-2)：1-135.

(收稿日期：2014-12-24)

作者簡介：

袁全盛(1991-)，通信作者，男，碩士研究生，主要研究方向：無人機信息處理與傳輸技術，E-mail：yuanquan140@126.com。

胡永江(1977-)，男，講師，主要研究方向：無人機信息處理與傳輸技術。

王長龍(1965-)，男，教授，主要研究方向：無人機信息處理與傳輸技術。

Research on channel polarization of polar codes with high-order modulation

Zhang Xincheng，Lin Dengsheng，Li Shaoqian
(University of Electronic Science and Technology of China，National Key Laboratory of Communications，Chengdu 611731，China)

To avoid the channel polarization problem of the various noise power of the coded bits caused by high-order modulation based on the traditional methods，we propose a method to divide the channel of high-order modulation into a couple of parallel binary-input channels with constant noise power so that the traditional channel polarization method for binary-input channel is available to polarize the channel of high-order modulation.We also give the design in detail for 8-PSK modulation and PAM/QAM modulation.Finally，the simulation results are given to demonstrate the advantage of the proposed methods in terms of performance.

polar codes；high-order modulation；coded modulation；parallel channels

TN911

A

10.16157/j.issn.0258-7998.2015.07.025

章新城，林燈生，李少謙.高階調制下極化碼的構造研究[J].電子技術應用，2015，41(7)：88-91，95.

英文引用格式：Zhang Xincheng，Lin Dengsheng，Li Shaoqian.Research on channel polarization of polar codes with high-order modulation[J].Application of Electronic Technique，2015，41(7)：88-91，95.

2015-01-14)

章新城(1982-)，男，博士研究生，主要研究方向：無線通信技術、信道編碼。

林燈生(1974-)，男，博士，副教授，主要研究方向：信道編碼、調制技術、協同通信。

李少謙(1957-)，男，碩士，教授，主要研究方向：移動通信與無線通信、個人通信、抗干擾通信技術、擴頻與跳頻通信、通信專用集成電路。

國家基礎研究計劃“973”資助項目（2013CB329001）；國家自然科學基金資助項目（61371105）；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20110185120025）