對數螺旋線在磨漿機磨齒設計中的應用

王成昆 王 平

（天津科技大學機械工程學院，天津，300222）

對數螺旋線在磨漿機磨齒設計中的應用

王成昆 王 平

（天津科技大學機械工程學院，天津，300222）

根據對數螺旋線的特性，將其應用到磨漿機磨齒的設計中，磨齒在徑向呈對數螺旋線形狀，使得其在磨漿過程中動磨片（或轉子）和靜磨片（或定子）的磨齒交叉角度始終保持恒定。采用這種磨片可以使漿料在相同條件下，得到充分的處理并有效地保留纖維長度，改善磨漿質量。

對數螺旋線；磨片；設計；盤磨機

在造紙行業素有“三分造紙，七分打漿”的說法，而磨片作為打漿的核心部件，是磨漿機的“心臟”。磨片齒形的設計、選擇合理與否，將直接影響磨漿機打漿質量和效能。在磨（打）漿過程中漿料在兩個相對旋轉磨片之間的間隙中，沿著磨齒的引導邊緣在齒槽中移動。位于兩個相對旋轉面之間的磨齒重疊形成了瞬時交叉角，交叉角是影響漿料剪切和前緣覆蓋能力的關鍵因素之一。

對于常規的盤磨機直形齒磨片，動磨片和靜磨片的磨齒交叉角度在15°～40°之間變化，平均交叉角度為30°。交叉角度的變化，會造成磨片間纖維流動的不穩定和纖維的斷裂，使漿料在磨片不同位置磨出的纖維質量不一致。

根據對數螺旋線動點運動方向和極徑夾角恒定的特性，將其運用到錐形磨漿機轉子磨齒的設計中，在增加了磨齒切刃長度的同時，也保證了轉子和定子在磨漿時磨齒交叉角度的恒定。在整個磨漿過程中，漿料在相同條件下得以處理，保證了纖維的質量。本文介紹了對數螺旋線在磨漿機磨齒設計中的應用。

1 傳統磨片磨齒和對數螺旋線的應用現狀

1.1 傳統磨片磨齒

傳統磨片磨齒呈徑向放射狀排列，為防止漿料因離心力作用快速泵出磨漿區，在齒槽中設置漿檔，有效地延長了漿料在磨漿區的停留時間。磨片從內徑到外徑通?？蓜澐譃?個區，即破碎區、粗磨區、精磨區。

磨齒一般分為直形齒和弧形齒兩種形狀，但弧形齒應用不及直形齒普遍，磨齒示意圖如圖1所示。

在一定長度的線段上，弧形齒較直形齒要長，在齒數一定的情況下，弧形齒可以提高磨片的切斷長。齒紋的排列在國內紛繁雜亂沒有標準模式，但總體可分為扇塊分區齒和圓環分區齒兩大類。其中扇塊分區齒一般為直長齒，圓環分區齒可分為直長齒、弧形齒以及直長齒和弧形齒相結合3種。國外磨齒則相對簡化統一，均為扇塊直長齒，變化的只是齒數和切斷長［1﹣4］。

圖1 磨齒分類示意圖［2］

1.2 磨片磨齒設計的理論依據

磨片磨齒的幾何參數包括齒寬、齒高、齒傾斜角、齒槽寬、漿檔及齒紋排列分布等。對于現有的磨漿機，無論是盤磨機還是錐形磨漿機齒形設計選擇的主要理論依據都是比刀緣負荷（Specific Edge Load，SEL）理論［5］，計算見式（1）。

式中，SWL為比刀緣負荷，W·s/m；N為打漿有效功率，W；L為每轉切斷長（轉刀齒與定刀齒每轉交匯的長度），m/r；n為磨漿機轉速，r/s；Zt為轉刀齒數；Zn為定刀齒數；I為刀齒齒長，m。

由轉刀齒數、定刀齒數和刀齒齒長決定切斷長，間接表征了磨片的齒形，是描述打漿性能的重要參數。因此設計選擇磨片磨齒時，首先根據不同的漿種和打漿方式選擇合適的SEL值，再計算L，最后進行磨齒幾何形狀的設計。槽寬等于或大于所處理漿料纖維平均長度的2～3倍；齒寬3．5～6．5 mm；齒寬和槽寬之比控制為≤1；齒高一般選擇5．5～7．5 mm，限制在齒寬的1～2倍；齒傾角度一般選10°～20°；漿檔寬度選齒寬的2/3，高度選齒高的1/2～3/5［6﹣8］。

1.3 對數螺旋線及其應用現狀

1.3.1 對數螺旋線及方程

動點運動方向始終和極徑ρ保持定角λ的動點軌跡，稱之為對數螺旋線［9］（見圖2），其方程見式（2）和式（3）。

式中，a、m為常數；θ為極角；ρ為極徑。

圖2 對數螺旋線［10］

1.3.2 對數螺旋線的應用現狀

在機械設計與制造工程領域中，由于受傳統制造技術的限制，本該使用對數螺旋線的地方卻使用了其他近似曲線代替，使得對數螺旋線的優越性未得到充分發揮。但隨著先進制造技術的發展，使得復雜曲面形狀的加工成為了可能，對數螺旋線也逐漸受到人們的重視。

由對數螺旋線的定義可知，λ是一個定值，所以動點的運動方向（即曲線的切線）與極徑垂線的夾角α也是一定值。這一性質在工程應用中的成功案例有：在曲線偏心夾緊機構中，由于升角恒定，可使夾緊升程限制較少，自鎖性能良好；在無鍵型面連接中，可實現自動定心，載荷分布均勻，承載大的優點；作為鏟齒成形刀具的鏟背曲線，保證刀具的切削性能［10］。

2 對數螺旋線在磨齒設計中的研究與應用

在磨漿過程中，位于兩個相對旋轉面之間的磨齒重疊形成了瞬時交叉角，交叉角是影響漿料剪切和前緣覆蓋能力的關鍵因素之一。所以本文主要探究如何運用對數螺旋線來保證磨齒交叉角的恒定。

2.1 對數螺旋在盤磨機磨片設計上的應用

本設計的初衷是將對數螺旋線應用到磨漿機的磨齒設計中，尤其是錐形磨漿機。為了更好地理解該設計理念在錐形磨漿機轉子上的應用，首先把該理論在盤磨機磨片上的應用做簡單介紹。

圖3為在盤磨機磨片上運用對數螺旋線設計的磨齒。該磨片不同于傳統磨片，沒有破碎區故適合于精漿。

圖3中的1、2、3分別為粗細不同的磨區，在不同磨區由于齒槽和磨齒的寬度不同以達到精漿的要求；每個區的磨齒都遵循對數螺旋形狀，當然也可以是只有兩個或者一個磨區有螺旋線磨齒分布，比如只有磨區1或磨區1、磨區2有曲線磨齒，其余磨區設計為其他形狀；特定的形狀參數γ角在每個區域可以不同，但形狀參數在動磨片和靜磨片相同磨區上最好是相同的；如果只有一個磨片上的磨齒具有對數螺旋線的曲線分布，而與之對應的磨片是一個傳統的磨齒模式，相對于兩個磨片都是傳統磨齒的磨漿機，仍能有效地減少磨齒交叉角的變化。

形狀參數γ角的定義如圖4所示。

圖3 對數螺旋線齒形在盤磨機磨片上的應用［11］

圖4 形狀參數的定義［11］

從圖4可知，β為兩條對數螺旋線的切線t1和t2之間的夾角，兩條對數螺旋曲線C1和C2相交于Pi（即彎曲磨齒的前沿交叉點）。螺旋曲線的切線與通過中心點Pc的母線L成γ角。

形狀參數γ角具有很大的靈活性，可取±90°范圍內的數值，圖5（a）和圖5（b）是γ角分別取60°和-30°時的磨齒彎曲示意圖。

值得注意的是，因為在螺旋線上靠近徑向內緣位置的點所擬合的曲線，可能不完全符合理論對數螺旋線。所以在實際生產制造時，通過確定起始半徑和角度建立的完整曲線（代表“母齒”的引導線），近似地接近數學表達式所確定的螺旋線。而后確定磨齒寬度并對該螺旋線偏移做出母齒，通過母齒的復制和旋轉形成一個完整的扇形磨片單元。

在實際生產中，安德里茲公司推出的ANDRITZ MDF Spiral磨片就是應用恒定磨齒交叉角設計磨齒的典型實例。該機型在磨漿時不僅提高了纖維的質量，而且在能耗和磨漿效率以及生產能力方面較之常規磨片，都有著良好的表現。且該磨片可用于任何制造商生產的熱磨機，適用性較好。

圖5 γ分別取60°和-30°時的磨齒彎曲示意圖［11］

2.2 對數螺旋線在錐形磨漿機轉子磨齒設計上的應用

以下主要介紹對數螺旋線在錐形磨漿機轉子磨齒設計中的應用。極坐標系中的兩個坐標ρ和可以由式（5）、式（6）和式（7）轉換為直角坐標系下的坐標值。

當m取0時，ρ=a即為平面圓形。

式中，ρ是磨齒沿徑向中心線的長度；a是磨片半徑ρ的尺度參數；γ是任何交叉角曲線的切線與母線之間夾角；在γ=90°或-90°的情況下，對數螺旋線上任何點的切線都是和母線正交的，曲線即為一個半徑為a的圓。

本文所描述的對數螺旋線是以X、Y平面定義的。在運用到錐形轉子的過程中，曲線形成了X、Y、Z三個方向的變化，加上錐形表面的傾斜和曲率使得在投影長度與在X、Y平面有所不同。這導致了在磨齒寬、交叉角度、齒槽寬度和邊緣引導線長度的變化。但對數螺旋線相對于圓錐母線交叉角恒定的性質仍然存在。圖6為對數螺旋線在圓錐面上的形狀。

結合圖4推導出對數螺旋線的形狀參數在平面和錐體上的變換函數見式（8）。

式中，γ為磨齒交叉角曲線的切線與母線之間夾角；γc為錐形磨漿機轉子磨齒交叉角曲線的切線與母線之間夾角；ε為圓錐體的半錐角。

圖6 對數螺旋線在圓錐面上的形狀［12］

角度γc意味著對數螺旋線在錐形磨漿機轉子磨齒的目標角度，而角γ則指在原有X、Y盤磨平面上對數螺旋磨齒角度的數值。

在交叉角度變化的同時，磨齒寬和齒槽寬度也參與這種轉變，變換函數關系見式（9）和式（10）。

式中，bw為在X、Y平面或盤磨機磨片上磨齒寬度；bwc為在錐形磨漿機轉子上的磨齒寬度；gw為在盤磨機磨片上的齒槽寬度；gwc為在錐形磨漿機轉子上的齒槽寬度。

為了更好地理解以上公式的含義，可以借助圖7～圖9加以說明，圖7為一個實施該設計的錐形磨漿機轉子。

圖8為在X、Y平面生成對數螺旋線的設計，在這種情況下，定義在盤磨機磨片上磨齒的形狀參數角度γ為恒定的54°。

當取錐體半錐角ε為20°時，通過式（8）即可計算出在錐形磨漿機轉子磨片上γc這個角度的變化，計算結果為25°，如圖9所示。

此外，磨齒的其他物理參數，如齒高、齒寬、槽寬等都可以通過上文中盤磨機磨齒設計理論依據這部分內容進行設計計算。

為了使纖維在齒槽和齒面上交換，避免纖維未叩解而直接通過磨區，可在齒槽內設置漿檔。設計原則是防止漿檔弧心與磨片圓心同心，原因是當同心時兩個相同磨片為同一磨區，兩磨片漿檔重合造成磨區內壓力變大，通漿阻力驟大，不利于磨片穩定工作。蔣小軍等人［13］的新型磨漿機磨片專利中漿檔的設計可以參考，此外Luc Gingras［14］的可變角度的磨齒中其深淺不同的漿檔也具有較大參考價值。

圖7 應用對數螺旋線設計的錐形磨漿機轉子［11］

圖8 在盤磨機磨片上的形狀參數［11］

圖9 在錐形轉子上所對應的形狀參數［11］

3 結 語

傳統磨漿機磨齒的幾何形狀，無論是平行齒或是弧形齒，在打漿過程中都不可避免的存在磨齒交叉角度的變化，而交叉角度的變化，會造成磨片間纖維流動的不穩定和纖維的斷裂，使漿料在磨片不同位置磨出的纖維質量不一致。

根據對數螺旋線動點運動方向和極徑夾角恒定的特性，將其運用到了磨漿機磨齒的設計中去。在增加了磨齒切刃長度的同時，也保證了動磨片（或轉子）和靜磨片（或定子）在磨漿工作時磨齒交叉角度的恒定。使得漿料纖維在相同的條件下得以進行磨漿處理，保證了纖維的質量。

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（責任編輯：董鳳霞）

Logarithm ic Spiral and Its Application in the Design of Refiner Plate

WANG Cheng﹣kun*WANG Ping
（College of Mechanical Engineeting，Tianjin Univetsity of Science&Technology，Tianjin，300222）（*E﹣mail：wangchengkun1990@163．com）

Logarithmic spiralwas applied to the design of disc refiner plate and conical refiner rotor based on its features．The teeth on the surface of refiner plate in the radial show logarithmic spiral shape，so that the refiner teeth intersecting angle of the rotor and stator remained constant during the refining process．The refiner with such plate could increase fiber collapse and effectively retained fiber length under the same conditions，and improved the refining quality．

logarithmic spiral；refiner plate；design；disc refiner

王成昆先生，在讀碩士研究生；研究方向：磨漿造紙機械的研究。

TS733+．3

A

0254﹣508X（2015）09﹣0037﹣05

2015﹣03﹣30（修改稿）